Propozitii despre puncte, drepte si plane

Punctul din geometria in spatiu este similar cu cel din geometria in plan. Nu are “intindere” si nu poate fi confundat cu o bulina.

Dreapta, de asemenea, este comparabila cu un fir bine intins, presupus “prelungit oricat”, dar spre deosebire de acesta nu are grosime. Se considera a fi o multime de puncte.

Planul este o suprafata, nu are grosime, nu este “strat”, contine drepte, este o multime de muncte.

Matematica Capacitate Propozitii despre puncte, drepte si plane 1
fig. 1 1

Consideram adevarate, de la inceput, urmatoarele propozitii:

P1. Prin doua puncte distincte trece o dreapta si numai una; orice dreapta are cel putin doua puncte distincte.

Prima parte a acestei afirmatii se mai poate formula si astfel:

Doua puncte determina o dreapta si numai una.

P2. Intr-un plan, printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o paralela la ea si numai una. (Postulatul lui Euclid.) (Acceptam deci implicit ca doua paralele sunt in acelasi plan.)

P3. Fiind date trei puncte necoliniare, exista un plan si numai unul care sa le contina; intr-un plan exista cel putin trei puncte necoliniare.

Prima parte a acestei afirmatii se poate formula:

Trei puncte necoliniare determina un plan si numai unul.

Daca punctul A este in planul α (fig.1.2) se scrie A∈ α si daca punctul B nu apartine planului α, se scrie B ∉α.

Matematica Capacitate Propozitii despre puncte, drepte si plane 2
fig. 1 2

Observatie. Propozitiile P1 si P2 erau adevarate si in geometria plana.

P4. Daca doua drepte distincte A si B sunt situate intr-un plan, dreapta determinata de ele are toate punctele in acest plan.

Altfel spus: Dreapta determinata de punctele A si B, situate in planul α, este continuta (sau situata) in planul α (fig.1.3).

Matematica Capacitate Propozitii despre puncte, drepte si plane 3
fig. 1 3

Din aceasta ultima propozitie rezulta ca un plan este nemarginit, asa cum afirmam in pagina anterioara.

P5. Daca doua plane distincte au un punct comun, atunci ele mai au inca cel putin unul.

Consecinta: Doua plane distincte, care au un punct comun, au o dreapta comuna.

Intr-adevar, daca planele α si β au un punct P comun, mai au inca un punct Q comun, deci au si dreapta PQ comuna (am notat, de data aceasta, dreapta, nu printr-o litera mica, ci prin doua din punctele ei) (fig.1.4)

Matematica Capacitate Propozitii despre puncte, drepte si plane 4
fig. 1 4

Observatie: Consecinta de mai sus nu exclude existenta a doua plane care n-au niciun punct comun (acestea se numesc paralele si ele vor fi tratate ulterior).

P6. Exista patru puncte nesituate in acelasi plan (necoplanare). Aceasta propozitie, impreuna cu P3 tine de geometria in spatiu.

In fiecare plan din spatiu consideram adevarate toate propozitiile (teoremele si axiomele) valabile in geometria plana.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.