Proiectii pe un plan

Definitie. Proiectia ortogonala a unui punct A pe un plan este piciorul perpendicularei dusa din acel punct pe plan.

Perpendiculara din punctul A pe plan se numeste proiectanta lui A. Proiectanta lui A pe un plan este unica. Intr-adevar, sa presupunem ca ar fi doua, unind picioarele perpendicularelor pe plan am obtine, impreuna cu punctul A, un triunghi cu doua unghiuri drepte, ceea ce este imposibil.

Evident, cand punctul se gaseste pe plan, atunci el coincide cu proiectia sa. (fig.8.4).

Matematica Capacitate Proiectii pe un plan 1
fig. 8 4

Pentru ca deocamdata nu cunoastem alta proiectie decat cea ortogonala ii vom spune acesteia, pe scurt, proiectie.

Prin proiectia unei figuri oarecare pe un plan, intelegem locul geometric al proiectiilor punctelor sale pe acel plan.

Teorema. Proiectia unei drepte pe un plan este o dreapta sau un punct.

Demonstratie. Cazul 1. Cand dreapta d nu este perpendiculara pe plan, atunci proiectia ei pe acest plan este o dreapta. (fig.8.5).

Matematica Capacitate Proiectii pe un plan 2
fig. 8 5

Consideram punctul A fix pe dreapta si punctul B mobil pe aceeasi dreapta. Fie A’ si B’ proiectiile acestor puncte pe planul dat. BB’, “sprijinindu-se” pe dreapta d si avand o directie data (aceeasi cu a lui AA’ – pentru ca doua drepte perpendiculare pe un plan sunt paralele), genereaza un plan. Intersectia acestuia cu planul initial α este evident o dreapta. Cea cautata. Evident, orice punct M’∈A’B’ este proiectia unui punct M∈AB, pentru ca daca o secanta intersecteaza o dreapta, atunci ea va intersecta orice paralela a ei.

Observatie. Daca dreapta este paralela cu planul, proiectia ei va fi paralela cu ea. Daca dreapta este continuta in plan, ea coincide cu proiectia ei.

Cazul 2. Dreapta este perpendiculara pe plan.

In acest caz, proiectia ei este un punct, deoarece proiectanta oricarui punct A de pe d pe α este d insasi. Deci proiectia lui d pe planul α se reduce la punctul de intersectie a lui d cu α (fig.8.6).

Matematica Capacitate Proiectii pe un plan 3
fig. 8 6

Observatie. Nu trebuie inteles insa ca daca proiectia unei curbe pe un plan este o dreapta, curba aceasta este o dreapta. Astfel, proiectia oricarei curbe plane pe un plan perpendicular pe planul ei este o portiune din dreapta de intersectie a celor doua plane (fig.8.7).

Matematica Capacitate Proiectii pe un plan 4
fig. 8 7

Teorema. Proiectia unui segment este tot un segment sau un punct.

Demonstratie. Cazul 1. Segmentul de proiectat nu este perpendicular pe plan.

Problema se reduce la o problema de geometrie in plan, in planul determinat de proiectante. (fig.8.8).

Matematica Capacitate Proiectii pe un plan 5
fig. 8 8

Cazul 2. Segmentul, care se proiecteaza, este perpendicular pe plan, atunci proiectia sa este un punct.

Intr-adevar, intreaga dreapta-suport a segmentului se proiecteaza intr-un punct. Deci si segmentul continut in ea.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.