Probleme: Unghiuri orientate

1. Considerati un triunghi ABC. Convingeti-va ca sau pentru toate cele trei semidrepte AB, BC, CA “varful ramas” se afla in semiplanul de la stanga, sau el se afla in semiplanul de la dreapta pentru toate. Enuntati teorema asupra sumei unghiurilor unui triunghi considerand unghiuri orientale.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri orientate 1

≯(AB, AC)+≯(BC, BA)+≯(CA, CB)=180°

In al doilea caz se obtine – 180° care este considerat la fel cu 180°.

2. Aratati ca teorema asupra sumei unghiurilor unui triunghi obtinuta in problema precedenta ramane valabila si pentru trei puncte coliniare. (dar distincte doua cate doua).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri orientate 2

≯(AB, AC)=0°, ≯(BC, BA)=180°, ≯(CA, CB)=0°=>

≯(AB, AC)+≯(BC, BA)+≯(CA, CB)=180°

3. Desenati un patrat ABCD astfel incat C si D sa fie in semiplanul din stanga semidreptei AB. Care sunt masurile unghiurilor orientate ≯(AB,AC),≯(CB,CD),≯(DB,DA),≯(AD,AB), etc?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri orientate 3

≯(AB,AC)=-45°; ≯(CB,CD)=-90°;

≯(DB,DA)=-45°;≯(AD,AB)=-90°

4. Desenati un hexagon regulat ABCDEF astfel incat C, D, E, F, sa se afle in semiplanul din dreapta semidreptei AB. Care sunt masurile unghiurilor orientate

≯(BC,BA),≯(CD,CA),≯(FC,FB),≯(EA,ED) etc.?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri orientate 4

≯(BC,BA)=-120°,≯(CD,CA)=-90°,

≯(FC,FB)=30°,≯(EA,ED)=-90°

5. Se dau doua drepte a, b concurente in O si pe fiecare se alege cate o semidreapta a’, b’ cu originea in O. Cate valori poate lua masura unghiului orientat ≯(a’,b’) (prima semidreapta fiind cea de pe a)? Aratati ca 2 ≯(a’,b’) ia aceeasi valoare in toate cazurile descrise.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri orientate 5

Daca inlocuim a’ cu a” obtinem:

≯(a”,b’)=≯(a”,a’)+≯(a’,b’)=180°+≯(a’,b’)  .

 Deci o astfel de inlocuire duce de la valoarea x la valoarea x + 180°. O noua inlocuire va duce la x + 180° = x, etc.

Deci doua valori x; x +180°. Dublul lui da valorile 2x, 2x + 360°, deci una singura.

6. Se dau doua semidrepte h, k de origine O. Cate semidrepte b de origine O exista astfel ca ≯(h,b)=≯(b,k)? Dar astfel ca ≯(h,b)=-≯(b,k)?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri orientate 6

Geometric doua: bisectoarea ≯(h,k) si “prelungirea” ei. Se poate si prin calcul ≯(h,k)=≯(h,b)+≯(b,k) deci 2≯(h,b)=≯(h,k), dar putem adauga un multiplu la 360° deci ≯(h,b)=\frac{1}{2}≯(h,k)+180°n. Se obtin doua valori distincte \frac{1}{2}≯(b,h) si  \frac{1}{2}≯(h,b)+180°.

7. Oricum ar fi punctele A, B, C, D diferite doua cate doua, avem ≯(AD,AB)+≯(BA,BC)+≯(CB,CD)+≯(DC,DA)=0°. Demonstrati aceasta in general si apoi considerati cazuri speciale ca exemple: patrulater convex, concav, exista un punct comun interioarelor segmentelor AB, CD etc.

Rezolvare:

≯(AD,AB)+≯(DB,DA)+≯(BA,BD)=180°

≯(CB,CD)+≯(BD,BC)+≯(DC,DB)=180°

Se aduna cele doua relatii si se tine cont de

≯(BA,BD)+≯(BD,BC)=≯(BA,BC)

≯(DC,DB)+≯(DB,DA)=≯(DC,DA)

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri orientate 7

Suma este – 360°

Suma este + 360°

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri orientate 8

Suma este 360° (si inca un caz in care este – 360°)

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri orientate 9

Suma este 0°.

8. Fie doua puncte pe o dreapta d, fie B alt punct in plan si C simetricul lui B fata de Avem ≯(OB,OA)=-≯(OA,OC).

Rezolvare:

 

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri orientate 10

≯(OB,OA)+≯(OB,OM)=180°; ≯(OA,OC)+≯(OM,OC)=-180°

OM este mediatoare=>≯(OB,OA)=-≯(OA,OC)

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.