Probleme: Trunchiul de piramida

1. Un trunchi de piramida triunghiulara regulata are latura bazei mari de 6\sqrt3\ m, latura bazei mici de 2\sqrt3\ m si muchia laterala de 5\ m. Sa se calculeze aria laterla si volumul trunchiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 1

r=\frac{2\sqrt3}{\sqrt3}=2;R=6;

OO^\prime=\sqrt{25-16}=3;

Fetele laterale sunt trapeze isoscel cu inaltimea:

a_l=\sqrt{25-12}=\sqrt{13};

A_l=3\cdot8\sqrt3\cdot\sqrt{13}\cdot\frac{1}{2}=12\sqrt{39\ }\ {cm}^2

V=\frac{3}{3}\left(3\sqrt3+27\sqrt3+\sqrt{3\cdot3\cdot27}\right)=39\sqrt3\ {cm}^3

2. Un trunchi de piramida patrulatera regulata are latura bazei mari L, latura bazei mici l si inaltimea Sa se calculeze, in functie de L, l si h, inaltimea piramidei din care provine trunchiul.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 2

A^\prime O^\prime=l\sqrt2;AO=L\sqrt2;

\bigtriangleup VA^\prime O^\prime\sim\bigtriangleup VAO=>\frac{A^\prime O^\prime}{AO}=\frac{VO^\prime}{VO}=>

\frac{l}{L-l}=\frac{VO^\prime}{h}=>VO^\prime=\frac{hl}{L-l}

=>VO=h+\frac{hl}{L-l}=\frac{hL}{L-l}

3. O piramida are aria bazei de 8 cm2 si inaltimea de 10 cm. Se sectioneaza cu un plan paralel cu baza dusa prin mijlocul inaltimii. Se cere volumul trunchiului de piramida.

Rezolvare:

V_{piramida\ mare}=\frac{1}{3}\cdot8\cdot10=\frac{80}{3};

V_{piramida\ mica}=\frac{1}{3}\cdot2\cdot5=\frac{10}{3}=>

V_{trunchi}=\frac{70}{3}

4. Intr-un trunchi de piramida hexagonala regulata se cunosc (notatiile fiind cele din figura 15.7): inaltimea A’P = 3 cm, distanta B’E’ = 8 cm si latura bazei mari DE = 8 cm.

  1. sa se calculeze volumul trunchiului de piramida.
  2. Sa se calculeze aria laterala a trunchiului de piramida.

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 3
fig. 15 7

Rezolvare:

B^\prime E^\prime=2r=>{r=B}^\prime C^\prime=4\ cm;

s=3\cdot16\cdot\frac{\sqrt3}{2};

S=3\cdot64\cdot\frac{\sqrt3}{2};

V=\frac{3}{3}\cdot\left(24\sqrt3+96\sqrt3+\sqrt{24\cdot96\cdot3}\right)= 168\sqrt{3\ }\ {cm}^3;

B^\prime B=\sqrt{9+16}=5;

\ H_{trapez}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}

A=6\cdot\frac{4+8}{2}\cdot\sqrt{21}=36\sqrt{21}\ {cm}^2

5. Se da o piramida regulata VABCD, avand baza un patrat ABCD si lungimea inaltimii egala cu 8 cm. La ce distanta de planul bazei trebuie dus un plan paralel cu planul bazei, astfel incat raportul dintre volumul trunchiului de piramida obtinut si volumul piramidei VABCD sa fie egal cu \frac{7}{8}?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 4

\frac{V_{ABCDA^\prime B^\prime C^\prime D^\prime}}{V_{VABCD}}= \frac{7}{8}=\frac{V_{VABCD}-V_{VA^\prime B^\prime C^\prime D^\prime}}{V_{VABCD}}=

\frac{\frac{1}{3}\cdot{AB}^2\cdot8-\frac{1}{3}\cdot{A^\prime B^\prime}^2\cdot h}{\frac{1}{3}\cdot{AB}^2\cdot8}= 1-\frac{{A^\prime B^\prime}^2\cdot h}{8\cdot{AB}^2};

\frac{A^\prime B^\prime}{AB}=\frac{h}{8}=> 1-\frac{h^3}{8^3}=\frac{7}{8}=>

\left(\frac{h}{8}\right)^3=\frac{1}{8}=> \frac{h}{8}=\frac{1}{2};

h=4;d=8-4=4

6. Intr-un trunchi de piramida triunghiulara regulata se cunosc: latura bazei mari L = 12 cm, latura bazei mici l = 0,6 dm si volumul V=63\sqrt3\ {cm}^3. Sa se afle inaltimea, apotema, muchia si aria laterala a trunchiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 5

r=2\sqrt3;O^\prime M=\sqrt3\;

R=4\sqrt3;ON=2\sqrt3;

s=\frac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3;

S=\frac{144\sqrt3}{4}=36\sqrt3;

V=\frac{I}{3}\cdot\left(9\sqrt3+36\sqrt3+\sqrt{9\cdot36\cdot3}\right)=

63\sqrt3=> I\cdot63\sqrt3=189\sqrt3=>

I=3\ cm;

MN=\sqrt{9+3}=2\sqrt3\ cm;

B^\prime B=\sqrt{12+9}=\sqrt{21}\ cm;

\ A_l=3\cdot\frac{18}{2}\cdot2\sqrt3=54\sqrt3\ {cm}^2

7. Intr-un trunchi de piramida triunghiulara regulata se cunosc: latura bazei mari L = 10m, raza cercului circumscris bazei mici r=\frac{4\sqrt3}{3}m si aria laterala A_l=168\ m^2. Sa se afle volumul si muchia laterala a trunchiului de piramida.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 6

C^\prime B^\prime=4;

\ A_{BCC^\prime B^\prime}=56=\frac{4+10}{2}\cdot MN=>MN=8;

O^\prime M=\frac{2\sqrt3}{3};

OA=\frac{10\sqrt3}{3}; ON=\frac{5\sqrt3}{3};

OO^\prime=\sqrt{64-3}=\sqrt{61};

AA^\prime=\sqrt{12+61}=\sqrt{73};

V=\frac{\sqrt{61}}{3}\cdot\left(\frac{100\sqrt3}{4}+\frac{16\sqrt3}{4}+\sqrt{25\cdot4\cdot3}\right)=

\frac{\sqrt{61}}{3}\cdot51\sqrt3=17\sqrt{183}

8. Un trunchi de piramida patrulatera regulata are diagonala de 9 m si laturile bazelor de 7 m si 5 m. Se cere aria laterala si volumul sau.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 7

A^\prime C^\prime=5\sqrt2;AC=7\sqrt2;\\

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 8

C^\prime M=\sqrt{81-72}=3;

C^\prime C=\sqrt{9+2}=\sqrt{11};

NP=\sqrt{11-1}=\sqrt{10};

A_l=4\cdot\frac{7+5}{2}\cdot\sqrt{10}=24\sqrt{10};

V=\frac{3}{3}\cdot\left(49+25+\sqrt{35}\right)=74+\sqrt{35}

9. Un trunchi de piramida are ca baze doua romburi cu laturile de 6 cm si 8 cm si cu cate un unghi de 120°. Inaltimea trunchiului este egala cu triplul diagonalei mari a bazei mari si uneste centrele romburilor. Sa se calculeze inaltimea piramidei din care provine trunchiul.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 9

Triunghiul ABD este echilateral =>

AB=BD=8\ cm;

AO=\sqrt{64-16}=4\sqrt3;

AC=8\sqrt3;

O^\prime O=24\sqrt3;

\frac{VO^\prime}{VO}=\frac{A^\prime B^\prime}{AB}=>

\frac{VO^\prime}{VO^\prime+24\sqrt3}=\frac{6}{8}=>

VO^\prime=72\sqrt3=>VO=96\sqrt3

10. O piramida are toate muchiile laterale congruente si ele formeaza cu planul bazei unghiuri de 45°. Baza este un trapez isoscel cu unghiurile ascutite de cate 60° si bazele de 6 cm si 8 cm. Se sectioneaza piramida cu un plan paralel cu baza, si care imparte inaltimea in doua parti egale. Sa se afle volumul trunchiului de piramida obtinut.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 10

MB=\frac{8-6}{2}=1; BC=2MB=2;

CM=\sqrt3;AO=OV;

\frac{A^\prime B^\prime}{AB}=\frac{VO^\prime}{VO}=> \frac{A^\prime B^\prime}{8}=\frac{1}{2}=>

A^\prime B^\prime=4;D^\prime C^\prime=3;

C^\prime M^\prime=\frac{\sqrt3}{2};

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 11

AN=ND=1;

AP=2\cdot AN=2;

PT=\frac{AB}{2}-AP=2;

\cos{30}=\frac{PT}{PO}=> PO=\frac{4}{\sqrt3};

OT=\frac{2}{\sqrt3}; OQ=\frac{2}{\sqrt3}+\sqrt3

OD=\sqrt{\frac{25}{3}+9}=\sqrt{\frac{52}{3}}= \frac{2\sqrt{39}}{3}=OA=H;

V=\frac{49\sqrt{13}}{12}

11. O piramida regulata are inaltimea de 12 cm. La ce distanta de varf trebuie sa se faca o sectiune, printr-un plan paralel cu baza, astfel incat aria laterala a piramidei mici, ce se formeaza, sa fie egala cu aria laterala a trunchiului de piramida regulata.

Rezolvare:

Se foloseste relatia \frac{p\cdot a}{P\cdot A}=\frac{1}{2} (p, a fiind perimetrul si apotema piramidei mici si P, A a celei mari). Daca notam cu x distanta de la varf la sectiunea in piramida, \frac{x^2}{144}=\frac{1}{2}

=>x=6\sqrt2\ cm.

12. Un trunchi de piramida regulata are ca baze doua triunghiuri echilaterale cu laturile a si respectiv 2a. Apotema trunchiului este agala cu 4a. Sa se calculeze, in functie de a, aria totala si volumul trunchiului de piramida.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 12C^\prime M=\frac{a\sqrt3}{2};

OM=\frac{\sqrt3}{6}a;

CN=a\sqrt3; ON=\frac{\sqrt3}{3}\ a;

NP=\frac{\sqrt3}{6}a=\frac{a}{2\sqrt3}

h^2=\left(4a\right)^2-\left(\frac{a}{2\sqrt3}\right)^2,\ h fiind inaltimea trunchiului de piramida,

A_t=\frac{75+5\sqrt3}{4}\cdot a^2,

V=\frac{7\sqrt{191}}{24}\cdot a^3.

13. Un trunchi de piramida triunghiulara regulata are latura bazei mari de b metri, latura bazei mici de a metri si unghiul format de muchia laterala cu muchia bazei mari, care pornesc din acelasi varf, egal cu 60°. Sa se calculeze, volumul trunchiului de piramida.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 13

AT=UC=\frac{b-a}{2};

m\left(\sphericalangle AA^\prime T\right)=30=>

AA^\prime=b-a; A^\prime T=\frac{\sqrt3}{2}\left(b-a\right);

O^\prime N=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt3}{2};

OM=\frac{1}{3}\cdot\frac{b\sqrt3}{2};

MP=\frac{\sqrt3}{6}\left(b-a\right);

NP=\sqrt{\frac{3}{4}\left(b-a\right)^2-\frac{3}{36}\left(b-a\right)^2}=

\left(b-a\right)\sqrt{\frac{8}{12}}=\frac{\left(b-a\right)2}{\sqrt6};

V=\frac{\left(b-a\right)2}{3\sqrt6}\cdot\left(\frac{a^2\sqrt3}{4}+\frac{b^2\sqrt3}{4}+\frac{ab\sqrt3}{4}\right)=

\frac{\left(b-a\right)}{6\sqrt6}\left(a^2+b^2+ab\right)=

\left(a^2b+b^3+ab^2-a^3-{ab}^2-a^2b\right)\cdot\frac{1}{6\sqrt6}=

\frac{b^3-a^3}{6\sqrt6}

14.*Un trunchi de piramida are ariile bazelor egale cu S1 si S2. Se face o sectiune printr-un plan paralel cu bazele, la aceeasi distanta fata de ambele baze. Sa se calculeze aria S a acestei sectiuni in functie de S1 si S2.

Rezolvare:

Daca notam cu H inaltimea piramidei din care face parte trunchiul si cu h inaltimea trunchiului, putem scrie:

\left(\frac{H-h}{H}\right)^2=\frac{S_1}{S_2};

\ \left(\frac{H-\frac{h}{2}}{H}\right)^2=\frac{S}{S_2}=>

h=\frac{H\left(\sqrt{S_2}-\sqrt{S_1}\right)}{\sqrt{S_2}}\ ;

\ \frac{H-\frac{h}{2}}{H}=\frac{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}}{2\sqrt{S_2}}=>

\left(\frac{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}}{2\sqrt{S_2}}\right)^2=\frac{S}{S_2}

=>S=\frac{{(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})}^2}{4}

15. Un trunchi de piramida are ariile bazelor S si s si inaltimea I. Sa se calculeze, in functie de S, s si I, volumul piramidei din care face parte trunchiul.

Rezolvare:

Daca se noteaza cu x inaltimea piramidei:

\frac{x}{I+x}=\frac{\sqrt s}{\sqrt S}=>

\frac{x}{I}=\frac{\sqrt s}{\sqrt S-\sqrt s}=>

x=\frac{I\cdot\sqrt s}{\sqrt S-\sqrt s};

H=\frac{I\cdot\sqrt s}{\sqrt S-\sqrt s};

V=\frac{I\cdot S\sqrt S}{3\cdot(\sqrt S-\sqrt s)}.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.