Probleme: Translatii

1. O translatie duce un cerc intr-un cerc.

Rezolvare:

Translatia T, fiind izometrie, duce un cerc (de centrul O si raza R) intr-o parte a cercului T(O) si raza R. Fie X un punct pe acest ultim cerc si fie Y astfel ca \vec{XY} echivalent cu \vec{T(O)O}. Rezulta \vec{T(O)X} echivalent cu \vec{OY}, deci OY are lungimea R, Y este pe primul cerc, iar T(Y)=X deoarece \vec{YX} rezulta echivalent cu \vec{OT(O)} deci cu vectorul translatiei T.

2. Doua cercuri de raze egale pot intitdeauna sa fie “suprapuse” printr-o translatie.

Rezolvare:

Daca O si O’ sunt centrele, se considera \vec{T_{OO\prime}}.

3. O translatie duce o dreapta d intr-o dreapta paralela cu ea, sau tot in d.

Rezolvare:

\vec{AT(A)} este echivalent cu \vec{BT}(B) deci \vec{T\left(A\right)}\ T(B) este echivalent cu \vec{AB} (am demonstrat intr-o problema anterioara ca o izometrie duce o dreapta AB in dreapta T(A)T(B).

4. Singurele drepte transformate in ele insele de o translatie de vector nenul Tv sunt cele “paralele” cu vectorul v al translatiei.

Rezolvare:

Fie AB o dreapta. Pentru a fi transformata de ea insasi in Tv (stim ca este dusa intr-o paralela cu ea sau in ea insasi) trebuie ca punctul C= Tv(A), definit de “\vec{AC} echivalent cu v” sa se afle pe AB.

5. Se considera doua cercuri si un segment. Sa se construiasca un punct M pe primul cerc si un punct N pe al doilea asa incat segmentul MN sa fie congruent si paralel cu segmentul dat.

Rezolvare:

Fie AB segmentul dat. MN congruent si paralel cu AB este tot una cu \vec{MN\ } este echivalent cu \vec{AB} sau cu \vec{BA}, deci cu: N este fie transformt din M prin translatia T_{\vec{AB}} fie prin T_{\vec{BA}}. Deci se alege N la una din intersectiile cercului al doilea cu transformatele primului cerc prin cele doua translatii. Pot fi 0, 1, 2, 3, 4 solutii.

Matematica Capacitate Probleme: Translatii 1

6. Aceeasi problema ca la 5 inlocuind unul din cercuri cu o dreapta.

Rezolvare:

Asemenea cu problema anterioara, pot fi 0, 1, 2, 3 sau 4 solutii.

7. Se considera un patrat ABCD de centru O. Fie M, N, P, Q mijloacele laturilor AB, BC, CD, DA. Sa se precizeze pozitiile punctelor T_{\vec{AO}}\left(M\right),T_{\vec{AO}}\left(N\right),T_{\vec{AO}}\left(P\right),T_{\vec{AO}}(Q)..

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Translatii 2

CN’≡CP’≡CN

8. Se considera un hexagon regulat ABCDEF, de centru O. Sa se precizeze imaginile varfurilor sale prin translatia de vector \vec{OB}. La fel pentru ce de vector \vec{AC}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Translatii 3

DD^\prime\equiv OD,\ T_{\vec{BO}}=T_{\vec{EO}} deci solutie asemanatoare cu primul caz.

9. O translatie transforma o semidreapta intr-o semidreapta paralela si de acelasi sens cu ea.

Rezolvare:

S-a vazut ca din \vec{AT(A)}= \vec{BT(B)} rezulta \vec{AB} echivalent cu \vec{T\left(A\right)T(B)}etc.

10. O translatie transforma un segment orientat intr-unul echivalent cu el.

Rezolvare:

Asemenea problemei anterioare.

11. O translatie transforma un unghi orientat intr-unul de aceeasi masura.

Rezolvare:

A se vedea problema 8 si problema 2 de la Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele.

12. Poate o translatie de vector nenul sa transforme un poligon in el insusi?

Rezolvare:

Nu, deoarece daca T este translatia Tv si A este un varf al poligonului si B1 = Tv(A), atunci poligonul va trebui sa contina ca varfuri A, B1, B2… coliniare si cu \vec{AB_1}=\vec{B_1B_2}=\vec{B_2B_3}=\ldots care rezulta toate distincte.

Matematica Capacitate Probleme: Translatii 4

13. Dati exemplu de o figura care sa fie transformata in ea insasi de o translatie de vector nenul.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Translatii 5

O dreapta, doua drepte paralele, intersectia a doua semiplane determinate de doua drepte paralele.

14. Aratati ca o transformare geometrica ce transforma orice segment orientat intr-unul echivalent cu el este o translatie.

Rezolvare:

Fie T acea transformare, A un punct fix, X unul variabil. B=T(A). Daca Y=T(X) atunci \vec{AX} echivalent cu \vec{BY} deci \vec{XY} echivalent cu \vec{AB}, adica Y=T_{\vec{AB}}\left(X\right).

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.