Probleme: Transformari geometrice

1. Daca U este o izometrie si ABC este un triunghi echilateral, atunci U(A)U(B)U(C) este un triunghi echilateral.

Rezolvare:

U(A)U(B) = AB; U(A)U(C) = AC; U(C)U(B) = CB => U(A)U(B)U(C) este un triunghi echilateral.

2. Daca U este o izometrie si A, B, C sunt puncte coliniare, atunci U(A), U(B), U(C) sunt coliniare.

Rezolvare:

U(A)U(B) = AB; U(A)U(C) = AC; U(C)U(B) = CB

Daca B este intre A si C => AC = AB + BC =>

U(A)U(C) = U(A)U(B) + U(B)U(C) => U(A), U(B), U(C) nu pot forma un triunghi.

3. O izometrie duce un triunghi intr-un triunghi congruent cu el.

Rezolvare:

U(A)U(B) = AB; U(A)U(C) = AC; U(C)U(B) = CB =>

 U(A)U(B)U(C)∆ABC, cazul L.L.L

4. O izometrie U duce interiorul segmentului AB in interiorul segmentului U(A)U(B).

Rezolvare:

Fie un punct oarecare M in interiorul segmentului AB.

U(A)U(M) = AM; U(M)U(B) = MB; U(A)U(B) = AB

AB = AM + MB =>

U(A)U(B) = U(A)U(M) + U(M)U(B), deci U(M) este in interiorul segmentului U(A)U(B).

5. O izometrie duce un paralelogram intr-un paralelogram.

Rezolvare:

Fie ABCD paralelogram si O intersectia diagonalelor.

U(A)U(C) = AC; U(A)U(O) = AO; U(O)U(C) = OC

U(B)U(D) = BD; U(B)U(O) = BO; U(O)U(D) = OD

=> ∆AOB≡∆U(A)U(O)U(B)≡∆DOC≡∆U(D)U(O)U(C)=>

U(O)U(A)U(B)≡U(O)U(C)U(D)=>U(A)U(B)U(C)U(D)

U(O)U(A)U(D)≡U(O)U(C)U(D)=>U(A)U(D)U(B)U(C)

6. O izometrie duce un patrat intr-un patrat.

Rezolvare:

U(A)U(B)=AB; U(B)U(C)=BC; U(C)U(D)=CD; U(A)U(D)=AD;

=>U(A)U(B)=U(B)U(C)=U(C)U(D)=U(A)U(D)

U(A)U(C)=AC=>∆ABC≡∆U(A)U(B)U(C)=>

m(∢U(A)U(B)U(C))=90°

=> U(A)U(B)U(C)U(D) are toate laturile congruente si un unghi de 90°, deci este patrat.

7. O izometrie duce o dreapta intr-o dreapta.

Rezolvare:

Problema 2 ne spune ca imaginea este formata din puncte coliniare. Fie A, B doua puncte pe dreapta intiala, X un punct pe dreapta . Daca semidreptele  coincid, fie Y pe semidreapta AB asa incat Y = U(A)X; vom avea U(Y) = X. In caz contrar se alege Y pe prelungirea semidreptei AB.

8. Daca A, B, C sunt necoliniare si U este o izometrie, atunci ∢U(A)U(B)U(C)≡∢ABC

Rezolvare:

U(A)U(B) = AB; U(A)U(C) = AC; U(C)U(B) = CB =>

 ∆U(A)U(B)U(C, cazul L.L.L

U(A)U(B)U(C)≡ABC

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.