Probleme: Tetraedrul

1. Un tetraedrul are baza un triunghi dreptunghic, cu ipotenuza de 10 cm si o cateta de 8 cm. Inaltimea tetraedrului este de 10 cm. Care este volumul sau?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 1

{BC}^2={AB}^2-{AC}^2= 100-64=36 =>BC=6

V_{DABC}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot8\cdot6\cdot10=80\ {cm}^3

2. Tetraedrul VABC are fata ABC un triunghi echilateral cu latura  cm, stiind ca distanta lui V la planul (ABC) este 10 cm, sa se afle volumul tetraedrului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 2

V_{VABC}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot12\cdot8\sqrt3\cdot10= 160\sqrt3\ {cm}^3

3. Un triunghi dreptunghic ABC are catetele AB = 3 m si AC = 4 m. In A se ridica o perpendiculara pe planul triunghiului, pe care se ia un segment AV = 2,4 m. Sa se afle:

  1. volumul tetraedrului VABC.
  2. aria totala a tetraedrului VABC;
  3. unghiul plan al diedrului format de fata VBC si planul triunghiului ABC.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 3

a. V=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot4\cdot3=2\ m^3

b. AM\bot BC=>VM\bot BC; AM=\sqrt{12}=2\sqrt3; VC=\sqrt{16+\frac{144}{25}}= \frac{\sqrt{544}}{5}; VB=\sqrt{9+\frac{144}{25}}= \frac{\sqrt{369}}{5}=> {VM}^2=\frac{544}{25}-{CM}^2= \frac{369}{25}-25-{CM}^2+10CM=> 50CM=\frac{544}{25}-\frac{369}{25}+25= \frac{800}{25}=32=>

CM=\frac{32}{10}= \frac{16}{5}; \ {VM}^2=\frac{544}{25}-\frac{256}{25}= \frac{288}{25}; VM=\frac{12}{5}\sqrt2

A= \frac{1}{2}\cdot\left(2,4\cdot4+2,4\cdot3+3\cdot4+\frac{12}{5}\sqrt2\cdot5\right)= \frac{1}{2}\cdot\left(28,8+12\sqrt2\right)= 14,4+6\sqrt2

c. AM=\frac{144}{25}\cdot2-\frac{144}{25}= \frac{144}{25} =>AM=VA=2,4=>

m(∢VMA)=45°

4. Tetredrul VABC are fata ABC un triunghi isoscel (AB≡AC), iar piciorul perpendicularei din V pe planul (ABC) este punctul A. Stiind ca: AB=AC=5 m, BC=6 m si AV=3 m, sa se calculeze aria totala si volumul tetraedrului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 4

{VC}^2={VA}^2+{AC}^2= 9+25=34=>VC=\sqrt{34}; {VB}^2={AV}^2+{AB}^2=9+25=34 =>VB=\sqrt{34}; S_{VAC}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot5=\frac{15}{2}; S_{VAB}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot5=\frac{15}{2}; S_{ABC}=\sqrt{8\cdot3\cdot3\cdot2}=12; \ S_{BVC}=15;  S_{total}=42\ m^2; V=\frac{1}{3}\cdot3\cdot12=12\ m^3

5. Pe perpendiculara in A pe planul dreptunghiului ABCD se ia punctul M, astfel incat MB=20 cm, MC=5\sqrt{17} cm si MD=13 cm. Se cere:

  1. sa se demonstreze ca triunghiurile MBC si MDC sunt dreptunghice;
  2. sa se calculeze volumul tetraedrului MABC.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 5

c^2+a^2=400; b^2+c^2=169; a^2+b^2+c^2=25\cdot17=425=> b^2=25;b=5; \ a^2=256;a=16; c^2=144;c=12; {MB}^2=400 ={BC}^2+{MC}^2=256+144 =>⊿MBC dreptunghic

{MC}^2=425= {MD}^2+{DC}^2=169+256 =>⊿MDC dreptunghic

V=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot5\cdot16\cdot12=320

6. Tetraedrul VABC are fata ABC un triunghi echilateral, iar distanta lui V la planul ABC este de 8 cm. Stiind ca raza cercului circumscris triunghiului ABC este R=4\sqrt3 cm, sa se afle volumul tetraedrului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 6

AB=AC=BC=R\sqrt3=12;

V=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{4}\cdot12\cdot12\cdot8 =96\sqrt3

7. Intersectand un tetraedru regulat cu un plan ce trece prin mijloacele a trei muchii ce pornesc din acelasi varf, sa se determine si aria sectiunii in functie de latura “a” a tetraedrului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 7

Segmentele care alcatuiesc baza tetraedrului sunt linii mijlocii in triunghiurile laterale, deci ele formeaza un triunghi echilateral cu latura \frac{a}{2}.\ A=\frac{a^2\sqrt3}{16}.

8. Cunoscand latura “a” a unui tetraedru regulat, sa se calculeze aria totala si volumul tetraedrului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 8

Bazandu-ne pe problema anterioara, A=\frac{a^2\sqrt3}{16}\cdot4= \frac{a^2\sqrt3}{4}; a=R\sqrt3=> R=\frac{a}{\sqrt3};

 H=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}= a\sqrt{\frac{2}{3}};

h=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}

 V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt3}{16}\cdot \frac{a}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}= \frac{a^3\sqrt2}{96}

9. Gasiti o desfasurare a unui tetraedru regulat, astfel incat fiecare fata sa aiba cel mult doua laturi comune cu o alta fata. Aratati ca, in acest caz, doua din laturile poligonului obtinut sunt paralele si congruente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 9

Laturile paralele si congruente sunt evidentiate in figura.

10. In figura 10.7 punctele M, N sunt mijloacele muchiile laturilor AB si AD, iar P un punct interior muchiei CD. Sa se determine natura sectiunii determinate in tetraedru, de planul ce trece M, N, P si sa se deseneze aceasta sectiune.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 10

Este un trapez.

11. Fie ABCD un tetraedru si A’, B’, C’, D’, centrele de greutate ale fetelor opuse varfurilor A, B, C, D. Sa se arate ca AA’, BB’, CC’ si DD’ sunt concurente intr-un punct G.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 11

In triunghiul BPC:

 \frac{PC^\prime}{C^\prime B}= \frac{PB^\prime}{B^\prime C}=\frac{1}{2} => C’B’∥BC => ⊿B’C’G∼⊿BCG => \frac{GC^\prime}{GC}=\frac{GB^\prime}{BG}=\frac{1}{2};

In triunghiul AMC:

\frac{MC^\prime}{C^\prime A}=\frac{MA\prime}{A^\prime C}=\frac{1}{2} => A’C’∥BC => ⊿A’C’G∼⊿ACG => \frac{GC^\prime}{GC}=\frac{GA^\prime}{AG}=\frac{1}{2};

In mod similar =>

\frac{GC^\prime}{GC}= \frac{GB^\prime}{BG}= \frac{GA^\prime}{GA}= \frac{GD^\prime}{DG}=\frac{1}{2}=>

Dreptele se intersecteaza intr-un punct aflat la doua treimi de varfuri si o treime de baza.

12. Un triunghi ascutitunghic “se indoaie” de-a lungul liniilor mijlocii pana se obtine un tetraedru. Sa se arate ca o inaltime a tetraedrului obtinut cade in ortocentrul triunghiului initial.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 12

AQ⊥MN; QP⊥BC => AP⊥BC;

(QAP)⊥(MBCN); BN⊥NC; BN⋂QP = {H};

BH ⊂ (MNCB) => AH⊥BH

13. Sa se arate ca perpendicularele in centrele cercurilor circumscrise fetelor unui tetraedru sunt concurente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 13

C’N⊥AD; AN=ND; C’M⊥BD; BM=MD; OC’⊥(ABD)=>

OC’⊥C’M => OM⊥BC => OB=OD;

OC’⊥C’N => ON⊥AD => OD=OA;

OA’⊥(BCD) => OA’⊥A’M; OM⊥BD => A’M⊥BD; BM=MD =>

A’M mediatoarea laturii BD in ⊿BDC;

OB’⊥(ADC) => OB’⊥B’P; OP⊥AC => B’P⊥AC; AP=PC =>

B’P mediatoarea laturii AC in ⊿ADC;

Analog si pt celelalte.

14. Daca intr-un tetraedru cu toate fetele triunghiuri dreptunghice se intalnesc intr-un varf doua unghiuri drepte, atunci mai exista un varf al tetraedrului, in care se intalnesc doua unghiuri drepte.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 14

Fie AB⊥BC; AB⊥BD => AB⊥(BCD); daca BC⊥CD => AC⊥CD (teorema celor trei perpendiculare)

15. Fie OABC un tetraedru astfel incat OA⊥OB⊥OC⊥OA. Sa se arate ca patratul fetei ABC este egal cu suma patratelor ariilor OAB, OAC, OBC.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 15

h^2=a^2+\frac{b^2c^2}{c^2+b^2}; {BC}^2=c^2+b^2; S_{ABC}=\frac{1}{2}{(a}^2+\frac{b^2c^2}{c^2+b^2}){(c}^2+b^2)= \frac{1}{2}\cdot\left(a^2c^2+a^2b^2+b^2c^2\right) = S_{OAC}+S_{OAB}+S_{OBC}

16. Fie ABCD un tetraedru in care AB⊥CD. Sa se arate ca piciorul perpendicularei din A pe planul BCD cade pe inaltimea din B a triunghiului BCD . Daca, in plus, AC⊥BD, atunci AD⊥BC si inaltimile tetraedrului sunt concurente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 16

Din B ducem BE, inaltimea triunghiului BCD, (E∈CD). Se demonstreaza ca CD⊥(ABE) si apoi ca (BCD)⊥(ABE), rezultand astfel ca inaltimea din A a tetraedrului cade pe BE.

Fie H piciorul inaltimii din A. Daca, in plus, AC⊥BD, atunci H∈CF (CF fiind inaltimea fetei BCD). Deci DC⊥(DHA) si BC⊥AD.

Laturile opuse ale tetraedrului fiind respectiv perpendiculare, picioarele inaltimilor sunt ortocentrele fetelor.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.