Probleme Teorema lui Thales

1.In interiorul unui segment AB de lungime 55 cm se considera un punct astfel incat \inline \fn_jvn \large \frac{AC}{CB}=\frac{5}{6}. Sa se determine lungimile segmentelor AC si CB.

Rezolvare:

\inline \fn_jvn \large AC=\frac{5\cdot CB}{6}; \inline \fn_jvn \large AC+CB=\frac{11\cdot CB}{6}=55;

\inline \fn_jvn \large CB=\frac{6\cdot 55}{11}=30; AB = 25.

2.Aceeasi problema ca la 1, cu singura deosebire ca se presupune C situat pe dreapta AB dar nu in interiorul segmentului AB. Unde rezulta C: de aceeasi parte a lui A ca si B sau de cealalta parte?

Rezolvare:

Presupunem ca C este situat in afara segmentului AB.

6 ∙ AC = 5 ∙ CB => CB>AC =>C este situat in stanga lui A.

AB = BC – AC = BC – \inline \fn_jvn \large \frac{5\cdot CB}{6}=\frac{BC}{6}=55 => BC=330

AC= \inline \fn_jvn \large \frac{5\cdot 330}{6} =300

3.Se dau trei puncte coliniare A, B, C, astfel incat C este situat intre A si B. Sa se exprime fiecare dintre rapoartele \inline \fn_jvn \large x=\frac{CA}{CB}, y=\frac{CA}{AB} si \inline \fn_jvn \large z=\frac{CB}{AB} in functie de fiecare din celelalte doua.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme Teorema lui Thales 1

CA = y ∙ AB; CB = z ∙ AB => x = \inline \fn_jvn \large \frac{y\cdot AB}{z\cdot AB}=\frac{y}{z}

=>y=x∙z; \inline \fn_jvn \large z=\frac{y}{x}

4.Daca A, B, C, D sunt coliniare, daca C si D sunt situate intre A si B si daca \inline \fn_jvn \large \frac{CA}{CB}=\frac{DA}{DB} , sa se demonstreze ca C = D.

Rezolvare:

Aplicam una din proportiile derivate:

\inline \fn_jvn \large \frac{CA}{CB}=\frac{DA}{DB}=> \frac{CA+CB}{CB}=\frac{DA+DB}{DB} =>

\inline \fn_jvn \large \frac{AB}{CB}=\frac{AB}{DB}=> C=D

5. Aceeasi problema ca la 4, insa presupunand ca nici C nici D nu este situat intre A si D (cele 4 puncte continuand a fi presupuse coliniare).

Rezolvare:

Daca ordinea este C, D, A, B sau D, C, A, B:
\inline \fn_jvn \large \frac{CA}{CB}=\frac{DA}{DB}=>\frac{CA}{CA+AB}=\frac{DA}{DA+AB} =>
\inline \fn_jvn \large \frac{CA}{AB}=\frac{DA}{AB}=> CA = DA => C = D

Daca ordinea este C, A, B, D:
\inline \fn_jvn \large \frac{CA}{CB}=\frac{DA}{DB}=>\frac{CA}{CA+AB}=\frac{DB+AB}{DB}=>
CA∙DB=(CA+AB)∙(DB+AB)
CA∙DB+AB∙(CA+DB+AB)=CA∙DB+AB∙CD
=>AB∙CD=0 => singura modalitate in care aceasta relatie este posibila, este daca C = D.
Procedam la fel si daca ordinea este D, A, B, C.

6. Trei drepte paralele determina pe doua secante segmente proportionale.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme Teorema lui Thales 2

In aceasta situatie putem sa ne gandim la doua cazuri. Cazul in care cele doua secante sunt concurente sau paralele. Tinand cont de enuntul problemei urmatoare, vom analiza doar primul caz aici.
Ipoteza: a ∥ b ∥ c;d ⋂ a = {A}; d ⋂ b = {B};d ⋂ c = {C};
e ⋂ a = {A’}; e ⋂ b = {B’}; e ⋂ c = {C’}; e ⋂ d = {M}
Concluzie\inline \fn_jvn \large \frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}

In ∆MBB’,AA’∥BB’ aplicam teorema lui Thales:
\inline \fn_jvn \large \frac{MA}{MB}=\frac{MA'}{MB'}=>\frac{MA}{MA+AB}=\frac{MA'}{MA'+A'B'}
\inline \fn_jvn \large =>\frac{MA}{AB}=\frac{MA'}{A'B'}=>\frac{MA}{MA'}=\frac{AB}{A'B'}

In ∆MCC’,AA’∥CC’ aplicam teorema lui Thales:
\inline \fn_jvn \large \frac{MA}{MC}=\frac{MA'}{MC'}=>\frac{MA}{MA+AC}=\frac{MA'}{MA'+A'C'}
\inline \fn_jvn \large =>\frac{MA}{AC}=\frac{MA'}{A'C'}=>\frac{MA}{MA'}=\frac{AC}{A'C'}
\inline \fn_jvn \large =>\frac{MA}{MA'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=>\frac{AB}{AC}=\frac{A'B'}{A'C'}
\inline \fn_jvn \large => \frac{AB}{AB+BC}=\frac{A'B'}{A'B'+B'C'}=>\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}

7. Enuntati cazuri particulare ale teoremei lui Thales; si ale teoremei din problema 6.

Rezolvare:

Ipoteza: a ∥ b ∥ c; d ⋂ a = {A}; d ⋂ b = {B}; d ⋂ c = {C};
e ⋂ a = {A’}; e ⋂ b = {B’}; e ⋂ c = {C’}; e ∥ d
Concluzie\inline \fn_jvn \large \frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}

In figura a doua de la problema anterioara, AA’B’B si BB’C’C sunt paralelorgame avand laturile opuse paralele. => AB ≡ A’B’ si BC ≡ B’C’.

\inline \fn_jvn \large =>\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}

8. Care este reciproca teoremei lui Thales? Este ea adevarata?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme Teorema lui Thales 3

Fie M ∈ AB si N ∈ AC. Daca  \inline \fn_jvn \large \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}  atunci MN ∥ BC.

Presupunem MN∦BC. Inseamna ca prin M putem duce MP ∥ BC, unde P ∈ AC. Aplicand teorema lui Thales, \inline \fn_jvn \large \frac{AM}{AB}=\frac{AP}{AC}   dar \inline \fn_jvn \large \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}   => AP = AN deci N = P. Reciproca este adevarata.

9. Fie M si N puncte pe laturile AB, AC ale unui triunghi astfel ca MNBC. Daca \inline \fn_jvn \large \frac{AM}{AB}=\frac{3}{11} , sa se calculeze \inline \fn_jvn \large \frac{AN}{NC}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme Teorema lui Thales 4

Aplicam teorema lui Thales:

\inline \fn_jvn \large \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{3}{11}, \frac{AN}{AN+NC}=\frac{3}{11}=>\frac{AN}{NC}=\frac{3}{8}

10. Demonstrati teorema lui Thales in cazul in care punctele D si E nu se afla in interioarele segmentelor AB, AC: deosebiti cazul in care ele se afla pe semidreptele AB, AC si cazul in care ele se afla pe prelungirile acestor semidrepte.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme Teorema lui Thales 5

Cazul 1. Aplicam teorema lui Thales in ∆ADE: \inline \fn_jvn \large \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=>AD\cdot AC=AB\cdot AE
\inline \fn_jvn \large => \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}

Cazul 2. Fie M ∈ AB si N ∈ AC astfel incat AM ≡ AD; AN ≡ AE;
∢MAN ≡ ∢EAD (unghiuri opuse la varf) => ∆MAN ≡ ∆DAE => ∢ANM ≡ ∢AED => MN ∥ ED. Aplicam teorema lui Thales in ∆ABC:  \inline \fn_jvn \large \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}; \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}

11. Scrieti o demonstratie a teoremei lui Thales, considerand \inline \fn_jvn \large \frac{AD}{AB}=\frac{m}{n}, in care m si n sunt numere naturale, 1 ≤ m < n (deci fara a particulariza pe m si n).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme Teorema lui Thales 6

Sa impartim segmentul AB in n parti congruente prin punctele

D1, D2, …, Dn-1. Vom avea deci AD≡ D1D≡ …DmDm+1…≡ D5Dn-1 ≡ Dn-1B. Sa ducem prin punctele D1, D2, …Dm…, Dn-1         paralele la BC; ele vor intersecta latura AC in E1, E2, …, En-1. Deci, in figura de mai jos, vom avea D1E∥ D2E∥ … ∥ DmE∥ … ∥ Dn-1En-1 ∥ BC.

Matematica Capacitate Probleme Teorema lui Thales 7

Aplicand teorema liniei mijlocii in triunghiul AD2E2         precum si in trapezele D1E1E3D3, D2E2E4D4, …, Dn-5En-5En-3Dn-3, Dn-2En-2CB, obtinem AE1≡E1E2≡…≡En-2En-1≡En-1C.

Sa observam acum ca \inline \fn_jvn \large \frac{AD_{m}}{AB}=\frac{m}{n}=\frac{AD}{AB}; deci ADm≡AD, adica D = Dm. Deducem acum ca E = Em si, in sfarsi, este vizibil ca \inline \fn_jvn \large \frac{AE}{AC}=\frac{m}{n}.

12.Fiind date trei segmente u, v, w, sa se construiasca un segment x astfel ca x =\inline \fn_jvn \large \frac{uv}{w}. Caz particular u = 6 cm, v = 10 cm, w = 15 cm.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme Teorema lui Thales 8

\inline \fn_jvn \large x=\frac{uv}{w}=>\frac{x}{v}=\frac{u}{w} => construim un triunghi ABC in care latura AB = v iar latura AC = w. Luam punctul NAC astfel incat AN = u. Ducem prin N paralela la BC care intersecteaza pe AB in M. Aplicam teorema lui Thales iar AM va fi egal cu x.

13. (Intrebare). Puteti folosi teorema lui Thales pentru a construi un segment x =\inline \fn_jvn \large \sqrt{uv} , u si v fiind segmente date?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme Teorema lui Thales 9

\inline \fn_jvn \large x=\sqrt{uv}=>x^2=uv=>\frac{x}{u}=\frac{v}{x}

Consideram un unghi cu varful in A. Luam punctul B pe una din laturi astfel incat AB = u, luam punctul N pe cealalta latura, astfel incat AN = v . Pentru orice valoare mai mare decat v, putem considera un punct C apartinand prelungirii lui AN, AC = x iar paralela prin N la BC, va intersecta pe AB in punctul M, AM = x.

14.Se considera trei drepte Ox, Oy, Oz, punctele A, A1, apartin lui Ox si punctele B apartinand lui Oy si C lui Oz. Paralela prin A1 la AB intersecteaza Oy in B1, iar paralela la BC prin B1 intersecteaza Oz in C1. Sa se demonstreze ca C1A1CA.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme Teorema lui Thales 10

Ipoteza: A, A1∈Ox;B, B1∈Oy; C, C1∈Oz;

AB∥A1 B1;BC∥B1C1

Concluzie: AC∥A1C1

In ∆A1OB1, AB∥A1B1, aplicam teorema lui Thales: \inline \fn_jvn \large \frac{OA}{OA{_{1}}}=\frac{OB}{OB_{1}}

In ∆C1OB1, BC∥B1C1, aplicam teorema lui Thales: \inline \fn_jvn \large \frac{OC}{OC_{1}}=\frac{OB}{OB_{1}}

\inline \fn_jvn \large => \frac{OA}{OA_{1}}=\frac{OB}{OB_{1}}=\frac{OC}{OC_{1}}=> In ∆A1OC1, conform reciprocei teoremei lui Thales demonstrata intr-una din problemele anterioare, AC∥A1C1

15. Se considera un punct D pe latura BC a triunghiului ABC. Paralela prin D la AB intersecteaza AC in E, iar cea cea la BC prin E intersecteaza pe AB in F Sa se arate ca dupa un anumit numar de astfel de constructii “ne intoarcem” in D. Care este acel numar?

Rezolvare:

Cazul 1. D nu este mijlocul lui BC.

Matematica Capacitate Probleme Teorema lui Thales 11

Din realizarea desenului, observam ca putem duce 5 drepte paralele, dupa care il unim pe I cu D demonstrand ca ID ∥ AC.

BI ∥ HG; BG ∥ IH => IHGB paralelogram => BI ≡ HG
AF ∥ HG; FG ∥ AH => AHGF paralelogram =>AF ≡ HG
Notam BI = AF = HG = x (1)
FE ∥ BD; FB ∥ ED => FEDB paralelogram => FE ≡ BD
FE ∥ GC; CE ∥ FG => FECG paralelogram =>FE ≡ GC
Notam GC = BD = FE = z (2)
AF ∥ HG=> ∢FAE ≡ GHC; FE ∥ GC=> ∢AEF ≡ ∢HCG =>
(din faptul ca suma unghiurilor intr-un triunghi este 180°)∢AFE ≡ ∢HGC (3)
Din (1), (2) si (3) =>
∆FAE ≡ ∆GHC => HC = AE si notam valoarea cu y
In conditiile acestor notatii si a reciprocei teoremei lui Thales, trebuie sa demonstram ca \inline \fn_jvn \large \frac{x}{AB}=\frac{z}{BC}.
Aplicam teorema lui Thales in ∆BAC pentru IH∥BC: \inline \fn_jvn \large \frac{x}{AB}=\frac{y}{AC}
Aplicam teorema lui Thales in ∆ACB pentru HG∥AB: \inline \fn_jvn \large \frac{y}{AC}=\frac{z}{CB}
\fn_jvn \large => \frac{x}{AB}=\frac{z}{CB}

Cazul 2 il vom rezolva in cadrul problemei urmatoare.

16. Cum trebuie ales D din problema 15, pentru ca intoarcerea in D sa aiba loc dupa un numar mai mic de constructii decat in cazul general? Care este acel nou numar?

Rezolvare:

Fie AD≡DC

Matematica Capacitate Probleme Teorema lui Thales 12

Ipoteza: AD≡DC;DE∥AB;FE∥BC
Concluzie: FD∥AC

Din AD≡DC;DE∥AB=> DE este linie mijlocie => EC≡AE
Din EC≡AE;FE∥BC=> FE este linie mijlocie => AF≡FB
Din AF≡FB;AD≡DC=> FD este linie mijlocie => FD∥AC
Se duc 3 drepte paralele.

17. Fie D punctul in care bisectoarea unghiului A al unui triunghi intersecteaza latura opusa BC. Sa se demonstreze ca \inline \fn_jvn \large \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}.  Aceeasi problema pentru “bisectoarea exterioara”?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme Teorema lui Thales 13

In cazul bisectoarei interioare
Construim DM∥AB;DN∥AC,M∈AC;N∈AB.
Notam AB = c; AC = b; BC = a si AM = x;
DN∥AC si DM∥AB=∢MDA≡∢DAB≡∢DAM≡∢ADN
∆AMDsi ∆AND sunt isoscele iar MDNA este paralelogram (are laturile opuse congruente) => AM = MD = DN = AN = x
Conform notatiilor trebuie sa demonstram ca \inline \fn_jvn \large \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}
Aplicam teorema lui Thales pentru DM∥AB:
\fn_jvn \large \frac{b-x}{b}=\frac{DC}{a}=>DC=\frac{a\cdot (b-x)}{b}
Aplicam teorema lui Thales pentru DN∥AC:
\fn_jvn \large \frac{c-x}{c}=\frac{DB}{a}=>DB=\frac{a\cdot (c-x)}{c}
Avand toate unghiurile congruente (formate de drepte paralele) =>
∆DBN∼∆CBA => \inline \fn_jvn \large \frac{NB}{AB}=\frac{DN}{CA}=>\frac{c-x}{c}=\frac{x}{b}=>c-x=\frac{c\cdot x}{b}
∆MCD∼∆ACB => \inline \fn_jvn \large \frac{MC}{AC}=\frac{MD}{AB}=>\frac{b-x}{b}=\frac{x}{c}=>b-x=\frac{b\cdot x}{c}
\inline \fn_jvn \large \frac{DC}{DB}=\frac{a\cdot (b-x)}{b}\cdot \frac{c}{a\cdot (c-x)}=\frac{b}{b}\cdot \frac{x}{c}\cdot \frac{c}{c}\cdot \frac{b}{x}=\frac{b}{c}
In cazul bisectoarei exterioare
Conform desenului, pentru bisectoarea exterioara, trebuie sa demonstram ca \inline \fn_jvn \large \frac{EB}{EC}=\frac{AB}{AC} sau \inline \fn_jvn \large \frac{EC}{EB}=\frac{AC}{AB}

Matematica Capacitate Probleme Teorema lui Thales 14

Ducem prin B o paralela la AD pana intersecteaza pe AE in M.
∢MBA≡∢BAC
AD⊥ME (bisectoarea interioara este perpendiculara pe bisectoarea exterioara)
m(∢BAM)+m(∢DAB)=90°=m(∢DAC)+m(∢CAE)
=>∢CAE≡∢BAM
m(∢BAM)+m(∢BAC)+m(∢CAE)=180° dar si
m(∢BAM)+m(∢MBA)+m(∢AMB)=180° =>
∢CAE≡∢AMB≡∢BAM deci ABM este triunghi isoscel =>
AB = BM
In △EAC∼△BEM(avand toate unghiurile congruente)=>
\fn_jvn \large \frac{EC}{EB}=\frac{AC}{MB}=>\frac{EC}{EB}=\frac{AC}{AB}

18. Scrieti rezolvarea problemei rezolvate 2 in cazul in care C este intre O si D. Ce constatati cu privire la rezultat?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme Teorema lui Thales 15

 

In figura de mai sus trebuie sa calculam raportul: \inline \fn_jvn \large \frac{MA}{MC}
Ducem prin A o paralela la MB si notam intersectia sa cu OD cu X.
∢XCO≡∢MCD (opuse la varf) si ∢CAX≡∢CMD (alterne interne)
=>∆XCA~∆DCM avand toate unghiurile congruente =>
\inline \fn_jvn \large \frac{MC}{CA}=\frac{CD}{XC}=\frac{MD}{XA} sau \inline \fn_jvn \large \frac{CA}{MC}=\frac{XC}{CD}=\frac{XA}{MD}=>\frac{CA+MC}{MC}=\frac{XC+CD}{CD}=>\frac{MA}{MC}=\frac{XD}{CD}
Aplicam teorema lui Thales in ∆DOB:
\inline \fn_jvn \large \frac{OX}{OD}=\frac{OA}{OB}=>\frac{OX-OD}{OD}=\frac{OA-OB}{OB}=>\frac{XD}{OD}=\frac{AM}{OB}
\inline \fn_jvn \large \frac{MA}{MC}=\frac{OD}{CD}\bullet\frac{AM}{OB}

M este in exteriorul unghiului.

19. Pe dreapta Ox se considera punctele A, B, C, iar pe dreapta Oy punctele A’, B’, C’. Daca AB’∥BA’ si BC’∥CB’, sa se demonstreze ca AC’∥CA’.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme Teorema lui Thales 16

 Trebuie sa demonstram ca \inline \fn_jvn \large \frac{OC\prime}{OA\prime}=\frac{OA}{OC}

Aplicam teorema lui Thales in triunghiul BOA’:

\inline \fn_jvn \large \frac{OA}{OB}=\frac{OB\prime}{OA\prime};\frac{OA}{OA+AB}=\frac{OC^\prime+C\prime B\prime}{OC^\prime+C^\prime B^\prime+B\prime A\prime}

\inline \fn_jvn \large OA=\frac{(OA+AB)(OC^\prime+C^\prime B^\prime)}{OC^\prime+C^\prime B^\prime+B\prime A\prime}

Aplicam teorema lui Thales in ∆B’OC:

\inline \fn_jvn \large \frac{OB}{OC}=\frac{OC\prime}{OB\prime};\frac{OA+AB}{OA+AB+BC}=\frac{OC\prime}{OC\prime+C\prime B\prime}

\inline \fn_jvn \large OC^\prime=\frac{(OA+AB)(OC\prime+C\prime B\prime)}{OA+AB+BC}

\inline \fn_jvn \large \frac{OA}{OC\prime}=\frac{(OA+AB)(OC^\prime+C^\prime B^\prime)}{OC^\prime+C^\prime B^\prime+B\prime A\prime}\bullet\frac{OA+AB+BC}{(OA+AB)({OC}^\prime+C^\prime B^\prime)}=

\inline \fn_jvn \large =\frac{OA+AB+BC}{OC^\prime+C^\prime B^\prime+B^\prime A^\prime}=\frac{OC}{OA\prime}

=> \inline \fn_jvn \large \frac{OC\prime}{OA\prime}=\frac{OA}{OC} deci AC’∥CA’.

20. Dati un exemplu de proportie in care un termen sa fie numar intreg, iar toti ceilalti sa fie numere irationale. \inline \fn_jvn \large \frac{\sqrt5}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt2} este de forma \inline \fn_jvn \large \frac{\sqrt a}{\sqrt x}=\frac{1}{\sqrt b} unde a ∙ b = x, cu mentriunea ca \inline \fn_jvn \large \sqrt a,\sqrt b,x sunt irationale.

Rezolvare:

\inline \fn_jvn \large \frac{\sqrt3}{\sqrt6}=\frac{1}{\sqrt2}; \frac{\sqrt7}{\sqrt{21}}=\frac{1}{\sqrt3}

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.