Probleme teorema generalizata a lui Pitagora

1.Care sunt toate valorile ce le ia cos x, cand x variaza de la 0° la 180°? De cate ori este luata fiecare dintre aceste valori?

Rezolvare:

0° ≤ x ≤ 180° => -1 ≤ cos x ≤ 1 ; o singura data.

2.Aceleasi intrebari ca la problema 1 pentru sin x.

Rezolvare:

0° ≤ x ≤  180°=> 0 ≤ sin x ≤ 1; de doua ori in afara de capete.

3.“Rezolvati ecuatiile” cos x = 0,75; cos x = -0,39; cos x = 1,6 precum si sin x = 0,4; sin x = – 0,34, sin x = 2.

Rezolvare:

Cos x = sin (90°-x) = 0,75 => 90°-x = 49° => x=41°

Cos x = – cos (180°-x) => cos (180°-x) = 0,39 => sin (90°-180°+x) = 0,39  =>x -90° = 22° => x = 112°

Stim ca -1 ≤ cos x ≤ 1 => cos x = 1,6 este o valoare imposibila.

sin x = 0,4 => x=23°…

Stim ca 0 ≤ sin x ≤ 1 , =>sin x=2 este o valoare imposibila.

4.Sa se arate ca relatia sin2x + cos2x = 1 este adevarata pentru orice x cuprins intre 0° si 180°.

Rezolvare:

Pentru 0° ≤ x ≤ 90°putem aplica teorema lui Pitagora intr-un triunghi dreptunghic cu un unghi de marimea x.

Pentru 90° ≤ x ≤ 180° stim ca
cos x = – cos (180°-x); sin x = sin (180° – x)  si putem aplica teorema lui Pitagora intr-un triunghi dreptunghic cu un unghi de marimea 180°- x.

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 1

In ambele cazuri conform figurii vom avea: \inline \sin{x}=\frac{c}{a};\cos{x}=\frac{b}{a}=>

\inline \ {sin}^2x+{cos}^2x=\frac{c^2}{a^2}+\frac{b^2}{a^2}=\frac{b^2+c^2}{a^2}=\frac{a^2}{a^2}=1

5.Exprimati, pentru 0° < x < 90°, sin (90° + x) si cos (90° + x) in functie de sin x, cos x.

Rezolvare:

Pentru 90° ≤ x  ≤ 180° stim ca

Cos x = -cos (180°-x); sin x = sin (180° – x)

Sin (90°+x) = sin (180°-90°-x) = sin (90°-x) = cos x;

Cos (90°+x) = -cos (180°-90°-x) = -cos (90°-x) = -sin x

6.Este adevarat ca \inline cosx=\sqrt{1-\sin^2x} pentru orice x intre 0° si 180°? Dar \inline sinx=\sqrt{1-\cos^2x}?

Rezolvare:

Pentru valorile 90° ≤ x  ≤ 180° cosinus este negativ, iar valoarea extrasa de sub radical poate fi pozitiva, deci nu este adevarat. In al doilea caz, relatia este adevarata.

7.In problema rezolvata 2, figura 1.64, determinati lungimea AB fara a mai duce perpendiculara din B pe AC.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 2

Ipoteza:         BC=10, m(∢B)=25°, m(∢C)=40°

Concluzie: AB=?

m(∢BAC)=180°-40°-25°=115°;m(∢DAC)=65°;

m(DCA)=25°;m(DCB)=65°

BD=10∙cos  25° =10∙sin 65°=9,06

CD=10∙cos 65° =10∙sin 25°=4,23 ;

AD= 4,23∙tg 25°=  4,23∙0,46=1,97;

AB=9,06-1,97=7,09

8.Un triunghi are unghiurile de 60°, 45° si 75° iar latura dintre unghiurile de 75° si 45° de 4 cm.

  1. Determinati lungimile celorlalte laturi.
  2. Folosind si metoda gasita in problema 7, deduceti o expresie exacta pentru sin 75° si cos 75°.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 3

Ducem AD⊥BC.

\inline AD=AB\cdot\sin{45^{\circ}}=4\cdot\frac{\sqrt2}{2}=2\sqrt2;

\inline BD=AB\cdot\cos{45^{\circ}}=4\cdot\frac{\sqrt2}{2}=2\sqrt2;

\inline AD=DC\cdot tg\ 60^{\circ}=>DC=\frac{2\sqrt2}{\sqrt3}=>

\inline BC=2\sqrt2+\frac{2\sqrt2}{\sqrt3}=2\sqrt2\left(1+\frac{1}{\sqrt3}\right);

\inline AC=AD\cdot\frac{1}{\sin{60^{\circ}}}=2\sqrt2\cdot\frac{2}{\sqrt3}=4\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt3}

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 4

\inline EC=2\sqrt2\left(1+\frac{1}{\sqrt3}\right)\cdot\sin{45^{\circ}}\inline =\frac{\sqrt2}{2}\cdot2\sqrt2\left(1+\frac{1}{\sqrt3}\right)=2\left(1+\frac{1}{\sqrt3}\right);

\inline \sin{75^{\circ}}=\frac{2\left(1+\frac{1}{\sqrt3}\right)}{4\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt3}}=\frac{\sqrt3\left(1+\frac{1}{\sqrt3}\right)}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt3+1}{2\sqrt2};

\inline \cos{75^{\circ}}=\frac{EA}{AC};  \inline EA=4-2\left(1+\frac{1}{\sqrt3}\right)=2\left(2-1-\frac{1}{\sqrt3}\right)=\inline 2\left(1-\frac{1}{\sqrt3}\right);

\inline \cos{75^{\circ}}=\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}

9.Cele trei laturi ale unui triunghi au lungimile de 10, 12 si 8.

  1. Calculati lungimile medianelor acestui triunghi.
  2. Calculati unghiurile dintre mediane si laturile corespunzatoare.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 5

\inline {BC}^2={AB}^2+{AC}^2-2AB\cdot AC\cdot cosA;

\inline 100=144+64-192\cdot\cos{A}=>\cos{A=\frac{108}{192}}

\inline {BN}^2={AB}^2+{AN}^2-2AB\cdot AN\cdot cosA=\inline 144+16-96\frac{54}{96}=106;

\inline BN=\sqrt106

\inline {AC}^2={BC}^2+{AB}^2-2BC\cdot AB\cdot\cos{B};

\inline 64=100+144-240\cdot\cos{B}=>\cos{B}=\frac{180}{240}

\inline {CP}^2={PB}^2+{BC}^2-2BC\cdot PB\cdot\cos{B}=\inline 36+100-120\cdot\frac{180}{240}=46;

\inline CP=\sqrt{46}

\inline {AB}^2={BC}^2+{AC}^2-2BC\cdot AC\cdot\cos{C};

\inline 144=100+64-160\cdot\cos{C}=>\cos{C}=\frac{1}{8}

\inline {MA}^2={MC}^2+{AC}^2-2MC\cdot AC\cdot\cos{C}=\inline 25+64-80\cdot\frac{1}{8}=79;

\inline MA=\sqrt{79}

\inline {NC}^2={BC}^2+{BN}^2-2BC\cdotBN\cdot\cos{NBC};

\inline 16=100+106-20\sqrt106\cdot\cos{NBC}=>

\inline \cos{NBC}=\frac{96}{20\sqrt106}=\frac{24}{5\sqrt106}=0,48=>

90°-m(∢NBC)=29°=>m(∢NBC)=61°

Se aplica teorema generalizata a lui Pitagora si pentru a calcula marimile cosinusurilor celorlalte unghiuri.

10. Un triunghi are doua laturi de 8 si 11, iar unghiul cuprins intre ele de 60°. Calculati lungimea celei de a treia laturi si masurile celorlalte doua unghiuri.

Rezolvare:

\inline {AC}^2={BC}^2+{AB}^2-2BC\cdot AB\cdot\cos{B}=\inline 64+121-176\cdot\frac{1}{2}=97

\inline =>AC=\sqrt{97}

\inline {AB}^2={BC}^2+{AC}^2-2BC\cdot AC\cdot\cos{C}=>

\inline 64=121+97-22\sqrt{97}\cdot\cos{C}=>

\inline \cos{C}=\frac{154}{22\sqrt{97}}=0,71

Sin (90°-C)=>  90°-C=45°=>

m(∢C)=45°;m(∢A)=75°

11.Un triunghi isoscel are laturile congruente de 8, iar unghiul din varf de 45°. Calculati baza sa, inaltimea corespunzatoare bazei. Deduceti valorile exacte ale lui sin 22°30’ si cos 22°30’ (in expresiile lor vor aparea, bineinteles, radicali).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 6

\inline {BC}^2={AB}^2+{AC}^2-2AB\cdot AC\cdot cosA=\inline 128-128\cdot\frac{\sqrt2}{2}=128-64\sqrt2;

\inline BC=8\sqrt{2-\sqrt2}

Triunghiul fiind isoscel, inaltimea din A este si mediana si bisectoare, deci aplicam teorema lui Pitagora in unul din cele doua triughiuri noi formate.

\inline h^2=64-32+16\sqrt2=32+16\sqrt2;

\inline h=4\sqrt{2+16\sqrt2}

\inline \sin{22^{\circ}\ {30}^\prime}=\frac{4\sqrt{2-\sqrt2}}{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2};

\inline \cos{22^{\circ}\ 30{}'}=\frac{4\sqrt{2+16\sqrt2}}{8}=\frac{\sqrt{2+16\sqrt2}}{2}

12.Rezolvati problema 11 cu un unghi oarecare x in loc de 45°.

Rezolvare:

\inline {BC}^2={AB}^2+{AC}^2-2AB\cdot AC\cdot\cos{x}\inline =128-128\cdot\cos{x}=>

\inline BC=8\sqrt{2-2\cos{x}}

\inline h^2=64-\left(4\sqrt{2-2\cos{x}}\right)^2\inline =64-16(2-2\cos{x)=32+32\cos{x}}=>

\inline h=4\sqrt{2+2\cos{x}}

\inline \cos{\frac{x}{2}}=\frac{4\sqrt{2+2\cos{x}}}{8}\inline =\frac{\sqrt{2+2\cos{x}}}{2}

\inline \sin{\frac{x}{2}}=\frac{4\sqrt{2-2\cos{x}}}{8}\inline =\frac{\sqrt{2-2\cos{x}}}{2}

13.Laturile unui triunghi ABC au lungimile de AB = 6, BC = 7, CA = 8. Pe latura BC se alege un punct D astfel ca BD = 3. Determinati lungimea AD.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 7

\inline {AC}^2={BC}^2+{AB}^2-2BC\cdot AB\cdot\cos{B};

\inline 64=49+36-84\cdot\cos{B}=>\cos{B}=\frac{21}{84}=\frac{1}{4}

\inline {AD}^2={BD}^2+{AB}^2-2BD\cdot AB\cdot\cos{B}=\inline 9+36-36\cdot\frac{1}{4}=>AD=6

14.Un triunghi are o latura de 12, unghiul opus de 56°, iar unul din celelalte unghiuri este de 62°. Determinati raza cercului circumscris triunghiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 8

m(∢C)=180°-62°-56°-62°=>⊿ABC este isoscel, mediatoarea laturii AC trece prin B, iar BN este si bisectoare. => \inline \sin{28^{\circ}\ }=\frac{6}{BC}

\inline \cos{28^{\circ}=\frac{BC}{2r}};r=\frac{\frac{6}{\sin{28^{\circ}}}}{2\cos{28^{\circ}}}=\inline \frac{3}{\sin{28^{\circ}}\cdot\cos{28^{\circ}}}=\frac{3}{0,47\cdot0,88}=7,32

15.In problema precedenta, determinati si raza cercului inscris in triunghi.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 9

⊿OAM∼⊿CBM => \inline =>\frac{AM}{BM}=\frac{OM}{MC}=>\frac{6}{6\cdot c t g28^{\circ}}=\frac{r}{6}\inline =>\frac{1}{tg62^{\circ}}=\frac{r}{6}=>

r=3,1

16.Doua laturi ale unui triunghi au lungimile de 9 si 14, unghiul cuprins intre ele este de 40. Calculati lungimea bisectoarei corespunzatoare laturii de 9.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 10

\inline {AC}^2={BC}^2+{AB}^2-2BC\cdot AB\cdot\cos{B};

\inline {AC}^2=196+81-252\cdot\sin{50^{\circ}}=\inline 277-252\cdot0,77=82,96=>AC=9,11

\inline {AB}^2={BC}^2+{AC}^2-2BC\cdot AC\cdot\cos{C};

\inline \ 81=196+83-255\cdot\cos{C}=>\inline \cos{C}=\frac{198}{255}=0,77=>

m(∢C)=40°

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 11

\inline \sin{80^{\circ}}=\frac{EC}{AC}=>EC=0,98\cdot9,11=8,92;

\inline \cos{30^{\circ}}=\frac{EC}{CD}=>CD=\frac{8,92}{0,87}=10,25

17. Laturile unui paralelogram au lungimile de 5 si 8, iar unul din unghiurile sale are 50.

  1. Calculati lungimile diagonalelor
  2. Calculati unghiurile dintre diagonale si laturi
  3. Calculati unghiul dintre diagonale.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 11

\inline {BD}^2={AB}^2+{AD}^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot\cos{A}\inline =64+25+80\cdot\sin{40^{\circ}}=\inline 89+51,2=140,2=>BD=11,84

\inline {AC}^2={AB}^2+{BC}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos{B}\inline =64+25-80\cdot\sin{40^{\circ}}=\inline 89-51,2=37,8=>BD=6,14

\inline {AB}^2={AC}^2+{BC}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot\cos{ACB}=>\inline 25=37,8+64-98,24\cdot\cos{ACB}=>\cos{ACB}=\sin{\left(90-ACB\right)}\inline =\frac{76,8}{98,24}=0,78=>

m(∢ACB)=90°-52°=38°=>

m(∢BAC)=180°-50-38°=92°;

\inline {BC}^2={BD}^2+{DC}^2-2\cdot BD\cdot DC\cdot\cos{CDB}=>\inline 64=140,2+25-118,4\cdot\cos{CDB}=>\inline \cos{CDB}=\sin{\left(90^{\circ}-CDB\right)}=\frac{101,2}{118,4}=0,85=>

m(∢CDB)=90°-58°=32°

m(∢AOB)=180°-32°-92°=56°

18. Distanta dintre centrele a doua cercuri de raze 9 si 13 este de 20.

  1. Calculati lungimea coardelor lor comune.
  2. Calculati unghiul dintre tangentele la cele doua cercuri intr-unul din punctele lor de intersectie.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 13

\inline {AO}^2={AO^\prime}^2+{O^\prime O}^2-2\cdot AO^\prime\cdot OO^\prime\cdot\cos{AO^\prime O}=>\inline 81=169+400-520\cdot\cos{AO^\prime O}=>\cos{AO^\prime O}=\frac{488}{520}

AB⊥OO’ in triunghiurile isoscele AOB si AO’B, OO’ este bisectoare deci este si inaltime si mediana.

\inline \sin{AO^\prime O}=\frac{AM}{AO^\prime}=\sqrt{1-({\frac{488}{520})}^2}=\inline \frac{48\sqrt{14}}{520}=\frac{8\sqrt{14}}{65}=\frac{AM}{13}=>\inline AM=13\cdot\frac{8\sqrt{14}}{65}=\frac{8\sqrt{14}}{5}=>\inline AB=\frac{16\sqrt{14}}{5}

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 14

In triunghiul OAO’ trebuie sa determinam masura unghiului NAP.

m(∢AON)+m(∢OAM)=90°=m(∢OAM)+m(∢MAP)=>

∢MAP≡∢AON

m(∢AO’P)+m(∢O’AM)=90°=m(∢O’AM)+m(∢MAN)=>

∢MAN≡∢AO’P

m(∢NAP)=m(∢MAP)+∢MAN=m(∢AO’P)+m(∢AON)=180°-m(∢OAO’)

\inline {OO^\prime}^2={AO}^2+{O^\prime A}^2-2\cdot AO^\prime\cdot OA\cdot\cos{OAO^\prime}=>\inline 400=81+169-2\cdot9\cdot13\cdot\cos{OAO^\prime}=>\inline \cos{OAO^\prime}=-\frac{150}{234}=>\inline \cos{\left(180^{\circ}-OAO^\prime\right)}=\cos{NAP}=\frac{150}{234}=\frac{75}{117}

19. Aceeasi problema, distanta dintre centre fiind de 5.

Rezolvare:

Vom folosi figurile de la problema anterioara.

\inline {AO}^2={AO^\prime}^2+{O^\prime O}^2-2\cdot AO^\prime\cdot OO^\prime\cdot\cos{AO^\prime O}=>\inline 81=169+25-130\cdot\cos{AO^\prime O}=>\cos{AO^\prime O}=\frac{113}{130}

\inline AB\bot OO\prime in triunghiurile isoscele AOB si AO’B, OO’ este bisectoare deci este si inaltime si mediana.

\inline \sin{AO^\prime O}=\frac{AM}{AO^\prime}=\sqrt{1-({\frac{113}{130})}^2}=\frac{9\sqrt{51}}{130}=\frac{AM}{13}=>

\inline AM=13\cdot\frac{9\sqrt{51}}{130}=\frac{9\sqrt{51}}{10}=>AB=\frac{18\sqrt{51}}{10}

In triunghiul OAO’ trebuie sa determinam masura unghiului NAP.

m(∢AON)+m(∢OAM)=90°=m(∢OAM)+m(∢MAP)=>

∢MAP≡∢AON

m(∢AO^’ P)+m(∢O’AM)=90°=m(∢O’AM)+m(∢MAN)=>

∢MAN≡∢AO’P

m(∢NAP)=m(∢MAP)+∢MAN=m(∢AO’P)+m(∢AON)=180°-m(∢OAO’)

\inline {OO^\prime}^2={AO}^2+{O^\prime A}^2-2\cdot AO^\prime\cdot OA\cdot\cos{OAO^\prime}=>\inline 25=81+169-2\cdot9\cdot13\cdot\cos{OAO^\prime}=>\inline \cos{OAO^\prime}=-\frac{225}{234}=>\cos{\left(180-OAO^\prime\right)}=\cos{NAP}=\frac{225}{234}=\frac{25}{26}

20. Bazele unui trapez au 15 respectiv 9 ca lungime iar laturile neparalele au 11 si 13.

  1. Unghiurile ascutite ale trapezului sunt alaturate sau opuse?
  2. Calculati lungimile diagonalelor trapezului.
  3. Calculati unghiurile trapezului.
  4. Calculati unghiurile dintre diagonale si laturi.
  5. Calculati unghiul dintre diagonale.

Incercati sa rezolvati fiecare din puncte bazandu-va pe cat mai putine din rezultatele punctelor precedente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 15

Ducem prin D o paralela la BC. DMBC este paralelogram avand laturile opuse paralele.=>DC=MB;AM=AM-DC=15-9=6

Aplicam teorema generalizata a lui Pitagora in triunghiul DAM.

\inline {DM}^2={AD}^2+{AM}^2-2\cdot AM\cdot AD\cdot\cos{DAM};

\inline 169=121+36-132\cdot\cos{DAM};

\inline \cos{DAM}=-\frac{12}{132}=>unghiul\ A\ este\ obtuz

Ajustam figura:

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 16

Aplicam teorema generalizata a lui Pitagora in triunghiul DAB:

\inline {DB}^2={AD}^2+{AB}^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot\cos{DAB};\inline {DB}^2=121+225-2\cdot11\cdot15\cdot\left(-\frac{12}{132}\right)=376 \inline =>DB=2\sqrt{94}

m(∢ADC)+m(∢DAB)=180°

Cos DAB = –  cos (180°-DAB) = – cos ADC \inline =>\cos{ADC}=\frac{1}{11}

Aplicam teorema generalizata a lui Pitagora in triunghiul ADC:

\inline {AC}^2={AD}^2+{DC}^2-2\cdot DC\cdot AD\cdot\cos{ADC}= \inline 121+81-2\cdot11\cdot9\cdot\frac{1}{11}=111\inline =>AC=\sqrt{111}

Daca \inline \cos{ADC}=\frac{1}{11}=>\inline \sin{ADC}=\ \frac{2\sqrt{30}}{11}=0,99=>

m(∢ADC)=89°;

m(∢DAM)=180°-89°=101°

Aplicam teorema generalizata a lui Pitagora in triunghiul DCB:

\inline {DB}^2={DC}^2+{BC}^2-2\cdot DC\cdot BC\cdot\cos{DCB}=>\inline 376=81+169-2\cdot9\cdot13\cdot\cos{DCB}=>\inline \cos{DCB}=-\frac{126}{234};  \inline \cos{\left(180^{\circ}-DCB\right)}=\frac{7}{13}; \inline \sin{\left(180^{\circ}-DCB\right)}=\frac{2\sqrt{30}}{13}=0,84

m(∢DCB)=180°-57°=123°; m(∢CBA)=57°

Aplicam teorema generalizata a lui Pitagora in triunghiul DBA:

\inline {DA}^2={DB}^2+{AB}^2-2\cdot DB\cdot AB\cdot\cos{DBA}=> \inline 121=376+225-2\cdot2\sqrt{94}\cdot15\cdot\cos{DBA}=>

\inline \cos{DBA}=\frac{480}{2\cdot2\sqrt{94}\cdot15}= \inline \frac{8}{\sqrt{94}};\sin{DBA}=\sqrt{\frac{15}{47}}=0,56;

m(∢DBA)=34°;m(∢DBC)=23°

Aplicam teorema generalizata a lui Pitagora in triunghiul DCA:

\inline {DA}^2={DC}^2+{AC}^2-2\cdot DC\cdot AC\cdot\cos{DCA}=> \inline 121=81+111-18\cdot\sqrt{111}\cdot\cos{DCA}=> \inline \cos{DCA}=\frac{71}{18\sqrt{111}}=0,37;\sin{DCA}=0,93;

m(∢DCA)=69°;m(∢ACB)=54°

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 17

m(∢CMB)=180°-54°-23°=103°

21. Bazele unui trapez sunt lungi de 16 si 4, una din laturile neparalele are 6, iar una din diagonale 12. Rezolvati pentru acest trapez punctele a-e din problema precedenta.

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 18

Stim ca intr-un triunghi una dintre laturi este mai mare decat diferenta celorlalte doua si mi mica decat suma lor, deci pentru a fi a treia latura intr-un triunghi, diagonala de 12 trebuie sa fie mai mare decat 10 si mai mica decat 22 sau mai mare decat 8 si mai mica decat 16. Observam ca indeplineste doar conditiile din prima situatie, deci, conform desenului, este vorba de BD.

In triunghiul DAB aplicam teorema generalizata a lui Pitagora:

\inline {DB}^2={AD}^2+{AB}^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot\cos{DAB}; \inline 144=36+256-12\cdot16\cdot\cos{DAB}; \inline \cos{DAB}=\frac{148}{12\cdot16}=\frac{37}{48};

Sin DAB=0,64=>m(∢DAB)=39°

In triunghiul MCB (MC fiind paralel cu AD) aplicam teorema generalizata a lui Pitagora:

\inline {BC}^2=36+144-2\cdot6\cdot12\cdot\frac{37}{48}=69=> \inline BC=\sqrt{69}=8,31; \inline {MC}^2={CB}^2+{MB}^2-2\cdot CM\cdot CB\cdot\cos{CMB}=> \inline 36=69+144-2\cdot\sqrt{69}\cdot12\cdot\cos{CBM}=> \inline \cos{CBM}=\frac{177}{24\sqrt{69}}=0,89=> \inline \sin{CBM}=0,45=> m(∢CMB)=26°

In triunghiul ACB aplicam teorema generalizata a lui Pitagora:

\inline {AC}^2={BC}^2+{AB}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos{CBA}= \inline 69+256-2\cdot16\cdot\sqrt{69}\cdot\frac{177}{24\sqrt{69}}=89; \inline AC=\sqrt{89}

m(∢DCB)=180°-m(∢B)=154°;

m(∢ADC)=180°-m(∢A)=141°

Aplicam teorema generalizata a lui Pitagora in triunghiul DCA:

\inline {DA}^2={DC}^2+{AC}^2-2\cdot DC\cdot AC\cdot\cos{DCA}=> \inline 36=16+89-8\cdot\sqrt{89}\cdot\cos{DCA} \inline \cos{DCA}=\frac{69}{8\sqrt{89}}=0,91;\sin{DCA}=0,41=>

m(∢DCA)=24°; m(∢DAC)=180°-24°-141°=15°

m(∢ACB)=m(∢DCB)-24°=130°

Aplicam teorema generalizata a lui Pitagora in triunghiul DCB:

\inline {DC}^2={DB}^2+{BC}^2-2\cdot DB\cdot BC\cdot\cos{CBD}=> \inline 16=144+69-24\cdot\sqrt{69}\cdot\cos{CBD}=> \inline \cos{CBD}=\frac{197}{24\sqrt{69}}=0,99; \inline \sin{CBD=}0,14=>

m(∢CBD)=8°;m(∢CDB)=18°

22. Din doua puncte ale unei drepte departate intre ele cu 4 ducem doua segmente perpendiculare pe acea dreapta de lungimi 5 si 7. Care este distanta dintre celelalte capete ale acestor segmente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 19

Consideram doua situatii:

1.Perpendicularele sunt de aceeasi parte a dreptei, si in acest caz aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul EDC: \inline {CE}^2={CD}^2+{DE}^2=>CE=2\sqrt5.

2.Perpendicularele sunt de o parte si de alta a dreptei. Notam

BH=x; HG=4-x; ∢EHB ≡ ∢FHG=>

\inline ctgEHB=ctgFHG=\frac{x}{7}=\frac{4-x}{5}=> \inline 5x=28-7x=> \inline x=\frac{28}{12}=\frac{7}{3}; \inline 4-x=\frac{5}{3};

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiurile EHB si FHG pentru a determina EH si HF =>

\inline EF=EH+HF= \inline \sqrt{49+\frac{49}{9}}+\sqrt{25+\frac{25}{9}}= \inline \sqrt{\frac{49\cdot10}{9}}+\sqrt{\frac{25\cdot10}{9}}=\inline \frac{7}{3}\cdot\sqrt{10}+\frac{5}{3}\cdot\sqrt{10}=4\sqrt{10}.

23. Intr-un patrulater convex ABCD avem AB = 13, BC = 25, CD = 26, DA = 12\inline \sqrt{2}, iar BD = 17. Calculati lungimea diagonalei AC.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema generalizata a lui Pitagora 20

In triunghiul ABD aplicam teorema generalizata a lui Pitagora:

\inline {AD}^2={AB}^2+{BD}^2-2\cdot AB\cdot BD\cdot\cos{ABD}; \inline 288=169+289-442\cdot\cos{ABD}; \inline \cos{ABD}=\frac{170}{442}=\frac{5}{13}=0,38; \inline \sin{ABD}=0,93=>

m(∢ABD)=68°

In triunghiul DBC aplicam teorema generalizata a lui Pitagora:

\inline {DC}^2={CB}^2+{BD}^2-2\cdot CB\cdot BD\cdot\cos{DBC}; \inline 676=625+289-2\cdot17\cdot25\cdot\cos{DBC}; \inline \cos{DBC}=\frac{7}{25}=0,28; \inline \sin{DBC}=\ 0,96=>

m(∢DBC)=72°

m(∢ABC)=72°+68°=140°

\inline {AC}^2={AB}^2+{BC}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos{ABC}= \inline 169+625+2\cdot13\cdot25\cdot0,76=1288 \inline =>AC=35,9

24. In problema 23 calculati si unghiurile patrulaterului, unghiurile dintre diagonale si laturi, unghiul dintre diagonale.

Rezolvare:

In triunghiul ABC aplicam teorema generalizata a lui Pitagora:

\inline {DB}^2={DC}^2+{BC}^2-2\cdot CB\cdot CD\cdot\cos{BCD}=> \inline 289=625+676-2\cdot25\cdot26\cdot\cos{BCD}=> \inline \cos{BCD}=\frac{1012}{1300}=0,77; \inline \sin{BCD}=0,64=> m(∢BCD)=39°

In triunghiul ADC aplicam teorema generalizata a lui Pitagora:

\inline {AC}^2={DC}^2+{AD}^2-2\cdot AD\cdot CD\cdot\cos{ADC}=> \inline 289=288+676-2\cdot12\sqrt2\cdot26\cdot\cos{ADC}=> \inline \cos{ADC}=\frac{675}{879,84}=0,77; \inline \sin{ADC}=0,64 => m(∢ADC)=39°

In triunghiul DAB aplicam teorema generalizata a lui Pitagora:

\inline {DB}^2={AB}^2+{AD}^2-2\cdot AD\cdot AB\cdot\cos{DAB}= > \inline 289=288+169-2\cdot12\sqrt2\cdot13\cdot\cos{DAB}=> \inline \cos{DAB}=\frac{168}{441,23}=0,38 \inline =>\sin{DAB}=0,93=> m(∢DAB)=68°

m(∢ADB)=44°; m(∢BDC)=24°(se determina prin suma unghiurilor unui triunghi) etc.

25. In problemele 23 si 24, punctul D este in interiorul, in exteriorul sau chiar pe cercul care trece prin A, B, C?

Rezolvare:

m(∢D)+m(∢B)=179°<180°, deci D se afla in interiorul cercului.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.