Probleme teorema fundamentala a asemanarii

1.Prin punctul P de intersectie a diagonalelor unui trapez, se duce o paralela la baze. Ea intersecteaza laturile neparalele M si N. Demonstrati ca P este mijlocul segmentului MN.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 1

In ∆DAC, MP ∥ DC => ∆MAP∼∆DAC => \inline \fn_jvn \large \frac{AM}{AD}=\frac{MP}{DC}=\frac{AP}{AC}

In ∆DBC, NP ∥ DC => ∆NBP∼∆CBD => \inline \fn_jvn \large \frac{BN}{BC}=\frac{NP}{DC}=\frac{BP}{BD}

∢CAB≡∢ACD;∢BDA≡∢BDC (unghiuri alterne interne)

=>∆APB∼∆CPD => \inline \fn_jvn \large \frac{AP}{PC}=\frac{BP}{PD}=>\frac{AP}{PC+AP}=\frac{BP}{PD+BP}=>

\inline \fn_jvn \large \frac{AP}{AC}=\frac{BP}{BD} si din relatiile anterioare => \inline \fn_jvn \large \frac{MP}{DC}=\frac{NP}{DC} 

=> MP = NP, deci P este mijlocul lui MN.

2.Sa se demonstreze ca daca paralela MN la bazele AD si BC ale unui trapez (M ∈ AB,N ∈ DC) intersecteaza diagonalele BD in T si AC in S, atunci MT≡SN.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 2

MT∥AD=>∆TBM∼∆DBA=>\inline \fn_jvn \large \frac{BT}{BD}=\frac{MT}{AD}=\frac{BM}{BA}

SN∥AD=>∆SCN∼∆ACD=> \inline \fn_jvn \large \frac{CS}{CA}=\frac{SN}{AD}=\frac{NC}{CD}

MS∥BC=>∆MAS∼∆BAC=> \inline \fn_jvn \large \frac{AM}{AB}=\frac{AS}{AC}=>\frac{AB-BM}{AB}=\frac{AC-CS}{AC}

\inline \fn_jvn \large =>\frac{AB}{AB}-\frac{BM}{AB}=\frac{AC}{AC}-\frac{CS}{AC}=>\frac{BM}{AB}=\frac{CS}{AC}

\inline \fn_jvn \large =>\frac{MT}{AD}=\frac{SN}{AD}=>MT=SN

3.Intr-un triunghi ABC orice segment PQ ∥ BC, (P ∈ AB, Q ∈ AC) este impartit de mediana AM (M fiind mijlocul segmentului BC) in doua segmente congruente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 3

PN∥BM=∆PAN∼∆BAM=> \inline \fn_jvn \large \frac{PN}{BM}=\frac{AN}{AM}

NQ∥MC=∆QAN∼∆CAM=> \inline \fn_jvn \large \frac{AN}{AM}=\frac{NQ}{MC}

\inline \fn_jvn \large =>\frac{PN}{BM}=\frac{NQ}{MC}; BM=MC; PN=NQ.

4.Sa se construiasca o paralela la bazele unui trapez oarecare care sa fie impartita de diagonale in trei parti congruente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 4

Din problema 2 =>  deci pentru ca relatia de mai sus sa fie adevarata ar fi necesar ca si in ∆BAC si in ∆CDB, AT sa fie mediana (conform problemei 3) => pentru a construi paralela care sa indeplineasca conditiile, unim pe A cu mijlocul laturii BC, iar prin punctul de intersectie cu BD ducem o paralela la BC.

5.In figura alaturata AD = a si BC = b sunt doua segmente paralele. DB si AC se taie in P. Segmentul PQ este paralel cu AD. Sa se exprime PQ in functie de a si b.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 5

PQ∥AD=>∆PBQ∼∆DBA=> \inline \fn_jvn \large \frac{PQ}{AD}=\frac{QB}{AB}=\frac{PQ}{a}=\frac{AB-AQ}{AB}=1-\frac{AQ}{AB}

PQ∥BC=>∆PAQ∼∆CAB=> \inline \fn_jvn \large \frac{PQ}{BC}=\frac{AQ}{AB}

\inline \fn_jvn \large \frac{PQ}{a}=1-\frac{PQ}{b}=>PQ\cdot \frac{a+b}{ab}=1=>PQ=\frac{ab}{a+b}

6. Doua cercuri tangente exterioare au razele R si r (fig. 1.15).Tangenta lor comuna exterioara TT’ intalneste linia centrelor OO’ in S. Sa se calculeze segmentul O’S in functie de R si r.

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 6

Rezolvare:

OT⊥TT’;O’T’⊥TT’ (raza este perpendiculara pe tangenta in punctul de tangenta) =>OT∥TT’=>∆T’SO’∼∆TSO =>

\inline \fn_jvn \large \frac{O^\prime S}{SO}=\frac{O^\prime T}{OT}=>\frac{O^\prime S}{O^\prime S+OO^\prime}=\frac{r}{R}

\inline \fn_jvn \large \frac{O^\prime S}{O^\prime S+R+r}=\frac{r}{R}\Rightarrow O^\prime S=\frac{\left[r\cdot O^\prime S+r\cdot \left(R+r\right)\right]}{R}\Rightarrow

\inline \fn_jvn \large O^\prime S\cdot\left(R-r\right)=r\cdot\left(R+r\right)=>O^\prime S=r\cdot\frac{(R+r)}{(R-r)}

7. Un triunghi ABC are laturile AB = 9 cm, BC = 15 cm si AC = 18 Se ia pe latura AB un punct D astfel ca AD = 6 cm; paralela prin D la BC taie AC in E. Sa se calculeze lungimile laturilor triunghiului ADE.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 7

DE∥BC=>∆ADE∼∆ABC=> \inline \fn_jvn \large \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}

\inline \fn_jvn \large \frac{6}{9}=\frac{AE}{18}=\frac{DE}{15}=>AE=\frac{36}{3}=12;DE=\frac{30}{3}=10

8. Laturile neparalele BC, AD ale unui trapez ABCD se intersecteaza in M. Sa se calculeze lungimile segmentelor MA, MB, MC, MD in functie de laturile trapezului (se va presupune ca baza mare este AB). Aplicatii numerice: a) AB = 20 cm, BC = 6 cm, CD = 15 cm, DA = 8 cm; b) AB = 20 cm, BC = 3 cm, CD = 15 cm, DA = 9

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 8

In ∆AMB,DC ∥ AB=>∆DMC∼∆AMB=> \inline \fn_jvn \large \frac{MD}{AM}=\frac{MC}{MB}=\frac{DC}{AB}

\inline \fn_jvn \large \frac{MD}{AD+MD}=\frac{MC}{BC+MC}=\frac{DC}{AB}

In situatia a):

\inline \fn_jvn \large \frac{MD}{8+MD}=\frac{MC}{6+MC}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}=>

4MD=24+3MD=>MD=24;

4MC=18+3MC=>MC=18;

MA=8+24=32;MC=6+18=24

In situatia b):

\inline \fn_jvn \large \frac{MD}{9+MD}=\frac{MC}{3+MC}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}=>

4MD=27+3MD=>MD=27;

4MC=9+3MC=>MC=9;

MA=9+27=36;MC=3+9=12

9. Diagonalele unui trapez ABCD de baze AB, CD se intersecteaza in N. Sa se calculeze, in functie de lungimile bazelor si diagonalelor trapezului, lungimile segmentelor NA, NB, NC, ND. Aplicatii numerice: a) AB = 20 cm, CD = 10 cm, AC = 21 cm, BD = 12 b) AB = 20 cm, CD = 10 cm, AC = 15 cm, BD = 9 cm.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 9

∢NBA≡∢NDC;∢NAB≡∢NCD (alterne interne) =>

∆ANB∼∆CND=> \inline \fn_jvn \large \frac{AN}{NC}=\frac{BN}{ND}=\frac{AB}{DC}=>

\inline \fn_jvn \large \frac{AN+NC}{NC}=\frac{ND+BN}{ND}=\frac{AB+DC}{DC}=>\frac{AC}{NC}=\frac{BD}{ND}=\frac{AB+DC}{DC}

In cazul a):

\inline \fn_jvn \large \frac{21}{NC}=\frac{12}{ND}=\frac{30}{10}=3=>

\inline \fn_jvn \large NC=\frac{21}{3}=7;ND=\frac{12}{3}=4;

NA=21-7=14; NB=12-4=8

In cazul b):

\inline \fn_jvn \large \frac{15}{NC}=\frac{9}{ND}=\frac{30}{10}=3=>

\inline \fn_jvn \large NC=\frac{15}{3}=5;ND=\frac{9}{3}=3;

NA=15-5=10;NB=9-3=6

10.Se considera o dreapta d si pe ea punctele A0, A1, A2, … asa incat A0A1=A1A2=…=1 Se duc perpendicularele a0, a1, a2, … pe d in punctele A0, A1, A2

Se considera punctele B1 si C1 pe a1 si punctele B2, C2 pe a2 toate in acelasi semiplan determinat de d, astfel ca A1B1= 2 cm, A1C1= 7 cm, A2B2= 6 cm, A2C2= 3 Sa se precizeze pozitia punctului M de intersectie al dreptelor B1 B2, C1C2, calculand A0N si NM, unde N este piciorul perpendicularei din M pe d.

Aceeasi problema pentru punctul de intersectie al dreptelor D1D2, D4D5, in care D1 este situat pe a1, D2 este situat pe a2, D4 este situat pe a4, D5 este situat pe a5, toate in acelasi semiplan determinat de d, iar A1D1 = 1 cm, A2D2 = 5 cm, A4D4 = 10 cm, A5D5 = 3

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 10

Ducem B1EA2B2 si C1FA2B2 => B1E C1Fd

A1B1EA2 si A1C1FA2 dreptunghiuri =>

A1A2=B1E=C1F=1; A1B1=A2E=2; A1C1=A2F=7

EC2=3-2=1; B2F=7-6=1 => ∆EB1C2≡∆FC1B2 (triunghiuri dreptunghice, cazul C.C.) =>  C1B2C2B1 este trapez isoscel. => MG, inaltime in B1MC1 este si mediana => B1G=\inline \fn_jvn \large \frac{5}{2}=2,5 => A1G= 2+2,5 = 4,5 dar A1GMN este dreptunghi => MN=4,5

In ∆EB1B2 si ∆B1MG dreptunghice, avem ∢ B1B2E≡∢MB1G (alterne interne) => ∆EB1B2 ~∆B1MG => \inline \fn_jvn \large \frac{MG}{B_1E}=\frac{B_1G}{EB_2}=\frac{2,5}{3}=>\frac{MG}{1}=\frac{5}{6}; NA1=A0N=\inline \fn_jvn \large \frac{11}{6}

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 11

Fie D1M∩a3={V}

In figura de mai sus ducem D1SA2D2; D2TA3F; VGA4D4; MHa3; MIa4; si notam VH = a; D4I = b; MI = y; MH = x.

∢D1D2S≡∢D2VT (unghiuri corespondente) D1S=D2T=1 (distante intre drepte paralele) => ⊿D1D2S≡⊿D2VT (cazul C.U) => D2S=VT=A2D2-A1D1=5-1=4 (stim ca A1D1SA2 are toate laturile paralele si unghi de 90°, deci este dreptunghi, deci A1D1=A2S=1)

∢VHM≡∢D2VT (unghiuri opuse la varf) =>⊿D1D2S∼⊿MVH (avand toate unghiurile congruente) =>\inline \fn_jvn \large \frac{MH}{D_2T}=\frac{EH}{TV}=\frac{x}{1}=\frac{a}{4}

A4A5D5U este dreptunghi => A4A5=D5U=1;A4U=UD4=10-3=7

∢UD4D5≡∢MD4I (unghiuri opuse la varf) =>⊿UD4D5∼⊿MD4I (avand toate unghiurile congruente) => \inline \fn_jvn \large \frac{MI}{UD_5}=\frac{D_4I}{UD_4}=\frac{y}{1}=\frac{b}{7}

Dar x + y = 1 => \inline \fn_jvn \large \frac{a}{4}+\frac{b}{7}=1

VA3=D2S+VT+A2S=9; A3VGA4 este dreptunghi => VA3=A4G=9 => GD4=A4D4-VA3=10-9=1

Si VED4G, VHIG, EHID4 sunt dreptunghiuri avand laturi paralele si unghiuri de 90°. => VH=GI; GD4=VE; EH=D4I => a – b = GD4=1

a=b+1;7a+4b=28=7b+7+4b=28 =>

\inline \fn_jvn \large b=\frac{21}{11};a=\frac{32}{11};x=\frac{8}{11};y=\frac{3}{11}=>

\inline \fn_jvn \large A_0N=3+\frac{8}{11}=\frac{41}{11};A_4M=10+\frac{21}{11}=\frac{131}{11}

11. Tangenta comuna exterioara a doua cercuri exterioare intalneste linia centrelor OO’ in M. Sa se calculeze lungimile segmentelor MO, MO’ in functie de razele R, r ale cercurilor si de distanta d = OO’ intre centrele lor.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 12

OA⊥MA;O’B⊥MA (raza este perpendiculara pe tangenta in punctul de tangenta);

∆AMO∼∆BMO’ (triunghiuri dreptunghice si au un unghi comun)

=> \inline \fn_jvn \large \frac{MO}{MO^\prime}=\frac{R}{r}\Rightarrow\frac{MO^\prime+d}{MO^\prime}=\frac{R}{r}\Rightarrow \inline \fn_jvn \large MO^\prime\cdot R=MO^\prime\cdot r+dr=>MO^\prime=\frac{dr}{R-r};

=> \inline \fn_jvn \large MO=d+\frac{dr}{R-r}=\frac{dR}{R-r}

12. Aceeasi problema ca la 11 dar pentru tangenta comuna interioara.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 13

OA ⊥ MA;O’B ⊥ MA (raza este perpendiculara pe tangenta in punctul de tangenta);

∆AMO∼∆BMO’ (triunghiuri dreptunghice si au doua unghiuri congruente, opuse la varf)

=> \inline \fn_jvn \large \frac{MO}{MO^\prime}=\frac{R}{r}\Rightarrow\frac{MO+MO^\prime}{MO^\prime}=\frac{R+r}{r}\Rightarrow \inline \fn_jvn \large \frac{d}{MO^\prime}=\frac{R+r}{r}=>MO^\prime=\frac{dr}{R+r};

\inline \fn_jvn \large MO=\frac{drR}{r(R+r)}=\frac{dR}{R+r}

13. Aceeasi problema ca la 11 dar pentru cercuri secante.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 14

OA⊥MA;O’B⊥MA (raza este perpendiculara pe tangenta in punctul de tangenta);

∆AMO∼∆BMO’ (triunghiuri dreptunghice si au un unghi comun)

=> \inline \fn_jvn \large \frac{MO}{MO^\prime}=\frac{R}{r};\frac{MO^\prime+d}{MO^\prime}=\frac{R}{r}\Rightarrow

\inline \fn_jvn \large MO^\prime\cdot R=MO^\prime\cdot r+dr=>MO^\prime=\frac{dr}{R-r};

\inline \fn_jvn \large MO=d+\frac{dr}{R-r}=\frac{dR}{R-r}

14. Se considera un cerc fix de centru O si un punct fix A. Se ia un punct M pe acel cerc si se considera un punct N pe semidreapta AM astfel ca \inline \fn_jvn \large \frac{AN}{AM}=k . Care este locul geometric a lui N cand M parcurge cercul dat, k ramanand si el fix.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 15

Ducem prin N paralela la OM pana cand intersecteaza pe AO in V.

∆OAM∼∆VAN=> \inline \fn_jvn \large \frac{OM}{VN}=\frac{AM}{AN}=\frac{OA}{AV}\Rightarrow\frac{R}{VN}=\frac{1}{k}\Rightarrow 

VN = k ∙ R.

AV= k∙R => locul geometric este un cerc cu centrul in V situat pe OA, la distanta de  de A si de raza VN = k ∙ R.

15. Aceeasi problema ca la 14, insa alegand N pe dreapta AM astfel ca A sa fie intre M si N.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 16

Ducem prin N paralela la OM pana cand intersecteaza pe OA in P.

∢MOA≡∢APN (alterne interne); ∢MAO≡∢NAP (opuse la varf)

∆OMA∼∆PNA=> \inline \fn_jvn \large \frac{MA}{AN}=\frac{OM}{NP}=\frac{OA}{AP}=\frac{1}{k}=>\frac{R}{NP}=\frac{OA}{AP}=>

\inline \fn_jvn \large AP=k\cdot OA;NP=R\cdot k

P este fix pe dreapta OA avand distanta  si este centrul unui cerc de raza \inline \fn_jvn \large NP=R\cdot k care este locul geometric a lui N.

16. Se considera doua cercuri neconcentrice, de raze neegale.

  1. Gasiti un punct A si un numar k astfel incat locul geometric din problema 14, relativ la unul din cercuri, la A si la k, sa fie tocmai celalalt cerc.
  2. Aceeasi problema in ceea ce priveste locul geometric din problema 15.
  3. Ce se intampla daca razele cercurilor ar fi egale?
  4. In cazurile in care cercurile ar fi exterioare, tangente exterioare, precizati pozitia punctelor de la a si b, iar in cazurile in care cercurile ar fi secante, tangente interioare, precizati pozitia punctului de la a).

Rezolvare:

Din problema 14 stim ca VA=k∙OA si r=k∙R=> \inline \fn_jvn \large \frac{r}{R}=k; \frac{VA}{OA}=k

Pentru a forma doua triunghiuri asemenea care sa contina cele doua raze si segmentele OA si VA, ducem tamgenta comuna exterioara. Punctul de intersectia cu linia care uneste cele doua centre, va fi varful comun al celor doua triunghiuri, deci punctul A.

  1. In cazul al doilea se modifica dimensiunile cercurilor.
  2. Daca razele sunt egale, k=1 deci VA=AO, punctul A se afla la mijlocul segmentului OV.
  3. In cazul in care cercurile sunt exterioare, problema a fost demonstrata. In cazul in care cercurile sunt tangente, punctul cautat este punctul de tangenta.

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 17

In cazul in care cercurile sunt secante, A trebuie sa fie picioarul bisectoarei unhiului OTV pentru averifica relatia de la punctul a) prin teorema bisectoarei.

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 18

In cazul in care cercurile sunt tangente interior, problema se reduce la a gasi un punct A in interiorul segmentului OV astfel incat \inline \fn_jvn \large \frac{VA}{OA} sa fie egal cu raportul razelor celor doua cercuri.

17. Se considera un patrulater convex ABCD si un punct M interior segmentului AC. Paralela prin M la AB taie BC in N, iar paralela prin M la CD taie AD in P. Sa se demonstreze ca \inline \fn_jvn \large \frac{MN}{AB}+\frac{MP}{CD}=1.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 19

⊿ACB , MN∥AB =>⊿MCN∼⊿ACB => \inline \fn_jvn \large \frac{MN}{AB}=\frac{MC}{AC}

⊿DAC, MP∥DC =>⊿MAP∼⊿CAD => \inline \fn_jvn \large \frac{MP}{DC}=\frac{AM}{AC}

\inline \fn_jvn \large \frac{MN}{AB}+\frac{MP}{CD}=\frac{MC}{AC}+\frac{AM}{AC}=\frac{MC+AM}{AC}=\frac{AC}{AC}=1

18. In paralelogramul ABCD unim A cu mijlocul lui BC si B cu mijlocul lui CD; cele doua drepte se intersecteaza in X. Care este valoarea raportului  \inline \fn_jvn \large \frac{XA}{XM} unde M este mijlocul lui BC?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 20

Ducem prin C paralela la AM care intersecteaza pe AD in T si pe BN in Z.

In ⊿CZM, XM este linie mijlocie (BM=MC si XMZC) => daca XM = u, ZC = 2u.

ATCM este paralelogram => AT=MC si AM=TC.

∢BNC≡∢DNP;∢NDP≡NCB (opuse la varf, respectiv alterne interne); CN=ND =>⊿BNC≡⊿DBP=>DP=CB.

Notam MC=w => DP=2w.

In⊿APX, TZ∥AX=>⊿∼⊿APX=>  \inline \fn_jvn \large \frac{PT}{AP}=\frac{TZ}{AX}, PT=TD+DP=3w=> \inline \fn_jvn \large \frac{TZ}{AX}=\frac{3}{4};

\inline \fn_jvn \large AM=TC=>\frac{4TZ}{3}+u=2u+TZ=>u=\frac{TZ}{3};TZ=3u

\inline \fn_jvn \large =>\frac{XA}{XM}=\frac{4\cdot3u}{3\cdot u}=4.

19. Locul geometric al punctelor din interiorul unui unghi nealungit, pentru care raportul distantelor la laturile unghiului este egal cu un numar dat, este o semidreapta cu originea in varful unghiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme teorema fundamentala a asemanarii 21

Fie ∢AOB, astfel incat MA⊥OA;AB⊥OB \inline \fn_jvn \large ;\frac{MA}{MB}=k. Trebuie sa demonstram ca ∀N∈∢AOB.

In NOC,MB∥NC=>⊿MOB∼⊿NOC=> \inline \fn_jvn \large \frac{MB}{NC}=\frac{OM}{ON}

In ⊿NOD,MA∥ND=>⊿MOA∼⊿NOD=> \inline \fn_jvn \large \frac{MA}{ND}=\frac{OM}{ON}

=> \inline \fn_jvn \large \frac{MB}{NC}=\frac{OM}{ON}=\frac{MA}{ND}=>\frac{ND}{NC}=\frac{MA}{MB}=k

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.