Probleme: Teorema celor trei perpendiculare

1. In varful A al triunghiului dreptunghic ABC (m(∢A)=90°) se ridica perpendiculara pe planul triunghiului, pe care se ia AM = 10 cm. Stiind ca AB = 40 cm si AC = 30 cm, sa se determine distanta lui M la BC.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Teorema celor trei perpendiculare 1

BC2=1600+900=2500=>BC=50;

Fie AN⊥BC; {AN}^2=40\cdot30=>AN=20\sqrt3

{MN}^2={AM}^2+{AN}^2= 100+1200=10\sqrt{13}

2. Pe cercul (C) de centru O si raza r = 8 cm se iau doua puncte A si B astfel incat m\left(\widehat{AB}\right)=120^{\circ}. In O se ridica perpendiculara pe planul cercului pe care se ia OM = 3 cm. Sa se determine distanta lui M la dreapta AB.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Teorema celor trei perpendiculare 2

Ducem din O perpendiculara pe AB si o prelungim pana intersecteaza cercul in C. O este centrul cercului circumscris triunghiului, ABC care are CP mediana si inaltime, deci este isoscel, dar avand un unghi de 60°, este echilateral => OP=\frac{OC}{2}=1,5\ cm

Aplicam teorema lui Pitagora in ∆MOP: {MP}^2=9+\frac{9}{4}=> MP=\frac{3\sqrt5}{2}

3. Fie ABCD un dreptunghi cu laturile AB = 9 cm si AD = 3 cm. Fie E un punct pe diagonala AC, astfel incat \frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}. In E se ridica perpendiculara pe planul dreptunghiului, pe care se ia EF = 5 cm. Sa se determine distanta lui F la laturile dreptunghiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Teorema celor trei perpendiculare 3

Aplicam teorema lui Pitagora in ⊿ABC: {AC}^2={AB}^2+{BC}^2= 81+9=90=> AC=3\sqrt{10}.

Fie EM⊥AB=>EM∥BC=>⊿EAM ∼⊿CAB=>

\frac{AE}{AC}=\frac{EM}{BC}=> \frac{EM}{3}=\frac{1}{3}=> EM=1

Aplicam teorema lui Pitagora in ⊿FEM: {FM}^2=1+25=26=> FM=\sqrt{26}

Aplicam teorema lui Pitagora in ⊿FEN: {FN}^2=4+25=29=> FN=\sqrt{29}

4. In varful A al unui hexagon regulat de latura a, se ridica o perpendiculara pe planul sau, pe care se ia un segment AM = b. Sa se calculeze distantele lui M la laturile hexagonului dat.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Teorema celor trei perpendiculare 4

Ducem AN⊥BC. Stim ca m(∢ABN)=180°-120°=60°;

\sin{60^{\circ}}=\frac{NA}{AB}=\frac{NA}{a}=\frac{\sqrt3}{2} =>NA=a\frac{\sqrt3}{2}

Aplicam teorema lui Pitagora in ⊿NMA: {MN}^2=b^2+\frac{3a^2}{4}=>

MN=\frac{\sqrt{4b^2+3a^2}}{2}=MR

AP⊥CD; m(∢ADC)=60°;

\sin{60^{\circ}}=\frac{AP}{AD}=\frac{AP}{2a}=\frac{\sqrt3}{2} =>AP=a\sqrt3

Aplicam teorema lui Pitagora in ⊿MAP: {MP}^2=b^2+3a^2=>

MP=\sqrt{b^2+3a^2}=MQ

5. Aceleasi date de mai sus, sa se calculeze distantele lui M la diagonalele hexagonului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Teorema celor trei perpendiculare 5

⊿BAO este echilateral, iar AP este inaltimea din A, AP=\frac{a\sqrt3}{2}.

Aplicam teorema lui Pitagora in ⊿MAP: {MP}^2=b^2+\frac{3a^2}{4} =>MP=\frac{1}{2}\sqrt{4b^2+3a^2}

Procedam similar si pentru distanta MN.

6. Fie ABC un triunghi dreptunghic isoscel (AB≡AC;AB=a). In punctul D, piciorul inaltimii din A, se ridica perpendiculara pe planul triunghiului, pe care se ia un punct M astfel incat DM = b. Sa se arate ca triunghiul AMC este isoscel.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Teorema celor trei perpendiculare 6

AD este si inaltime si mediana in triunghiul BAC => AD = CD = DB =a\sqrt2

Aplicam teorema lui Pitagora in ⊿MDC; ⊿MDA: {MC}^2={MD}^2=2a^2+a^2

=>MC=MD=a\sqrt3

7. Pe planul unui cerc (C), in centrul acestuia, se ridica perpendiculara pe care se alege un punct M. Sa se arate ca dreapta care uneste pe M cu un punct N de pe cercul (C) este perpendiculara pe tangenta in N la cercul (C).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Teorema celor trei perpendiculare 7

MO este perpendiculara pe planul cercului (C) si ON este perpendiculara pe tangenta. Deci MN este perpendiculara pe tangenta.

7. Pe planul unui triunghi echilateral ABC de latura a se ridica perpendicularele AA’ si BB’. Se stie ca BB’ = a. Sa se gaseasca AA’ astfel incat:

  1. Triunghiul A’B’C sa fie dreptunghic m(∢B’)=90°.
  2. Triunghiul A’B’C sa fie isoscel, cu A’B’≡A’C.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Teorema celor trei perpendiculare 8

a. Notam AA^\prime=x; \ 2a^2+a^2+\left(a-x\right)^2= \ a^2+x^2=>x=\frac{3a}{2};

b. a^2+\left(a-x\right)^2= a^2+x^2=>x=\frac{a}{2}

9. O dreapta d intalneste un plan in punctul A. Pe d se ia un punct fix B si fie o dreapta variabila g, care trece prin A si este continuta in α. Sa se determine locul geometric al picioarelor perpendicularelor din B pe dreapta g.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Teorema celor trei perpendiculare 9

Este un cerc in planul α, cu centrul in A si de raza AM.

10. Se dau o dreapta fixa d si un punct fix A (A∉d). Un plan mobil  contine dreapta d. Din A ducem perpendiculara AP pe planul α, (P∈α). Se cere:

  1. Sa se arate ca P descrie o curba coplanara.
  2. Sa se gaseasca locul geometric la punctului P in spatiu;
  3. Ce descrie punctul P pe planul α?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Teorema celor trei perpendiculare 10

  1. Daca M este piciorul perpendicularei din A pe d, picioarele perpendicularelor din A pe planul mobil sunt continute in planul perpendicular pe d in M;
  2. Locul geometric este un cerc de raza \frac{AM}{2} si cu centrul in O, mijlocul lui AB;
  3. Un segment AA’ pentru care d este mediatoare.

11. Fie O un punct in planul triunghiului ABC si D un punct pe perpendiculara in O pe acest plan. Sa se arate ca daca AD⊥BC, atunci O se afla pe inaltimea din A a triunghiului ABC.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Teorema celor trei perpendiculare 11

BC⊥AD;BC⊥OD=>BC este perpendiculara pe planul determinat de AD si OD, deci pe orice dreapta din acest plan. In particular, BC⊥AO deci O se afla pe inaltimea din A.

12. Fie H ortocentrul unui triunghi ABC. Pe perpendiculara h, in H, pe planul ABC, se ia un punct oarecare M. Sa se arate ca daca A’, B’, C’ sunt picioarele perpendicularelor din M respectiv pe BC, AC si AB, atunci AA’, BB’ si CC’ sunt inaltimile triunghiului ABC.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Teorema celor trei perpendiculare 12

MH⊥(ABC);MA’⊥BC=>A’H⊥BC. Cum  apartine inaltimii din A=>AA’⊥BC. Analog pentru BB’, CC’.

13. Fie A un punct al unui plan dat α si d, g doua drepte concurente in H (H≠A) continute in α. Pe perpendiculara in A pe planul α se ia un punct B, din care se duc perpendicularele BD si BG, respectiv pe d si g (D∈d, G∈g). Sa se arate ca patrulaterul cu varfurile H, A, G, D este inscriptibil.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Teorema celor trei perpendiculare 13

AB⊥α, BD⊥d=>AD⊥d;

m(∢ADH)=90°, AB⊥α, BG⊥g=>

AG⊥g;m(∢AGH)=90°

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.