Probleme: Suprafete si corpuri rotunde

1. Un cilindru se desfasoara pe un plan dupa un dreptunghi, ale carui diagonale sunt egale cu 2a si formeaza intre ele un unghi de 120°. Sa se afle raza si generatoarea cilindrului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 1

BD=2πR;

m(∢DOC)=60°=>OD=OC=CD=a (generatoarea);

2\pi R=a\sqrt3=>R=\frac{a\sqrt3}{2\pi}

Sau:

CD=2\pi R=a=>R=\frac{a}{2\pi};

BD=a\sqrt3(generatoarea)

2. Un cilindru circular drept, asezat cu baza intr-un plan orizontal, are generatoarea g=6\sqrt3\ m si raza de 6 m. Se inclina cilindrul, astfel incat centrul unei baze sa se proiecteze vertical intr-un punct al cercului celelilalte baze. Ce unghi formeaza in acest caz generatoarea cu planul orizontal?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 2

tg\ \beta=\frac{1}{\sqrt3}=>

β=30°=> Unghiul cautat este de 90°-30°=60°

3. Un plan ce contine centrele celor doua baze ale unui cilindru circular drept intersecteaza cercurile celor doua baze in A si B si respectiv A’ si B’. (A, A’ sunt pe aceeasi generatoare, B, B’ la fel). Gasiti distanta dintre punctele A si B’, in functie de raza R a bazei si generatoarea G.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 3

AB^\prime=\sqrt{4R^2+G^2}

4. Un con circular drept are raza bazei de 9 cm si inaltimea 20 cm, este intersectat cu un plan paralel cu baza. La ce distanta de varf trebuie dus planul, astfel incat raza cercului de sectiune sa fie de 6 cm?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 4

\frac{VO^\prime}{VO}=\frac{O^\prime A^\prime}{OA}=>

\frac{VO^\prime}{20}=\frac{6}{9}=> VO^\prime=\frac{40}{3}

5. Un con circular drept are diametrul bazei de 12 cm si inaltimea egala cu \frac{2}{3} din diametru. La ce distanta de varful conului trebuie facuta o sectiune printr-un plan paralel cu baza, astfel incat lungimea cercului de sectiune sa fie 9π?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 5

OA=\frac{12}{2}=6;

VO=\frac{2}{3}\cdot12=8;

2\pi\cdot O^\prime A^\prime=9\pi=>

O^\prime A^\prime=\frac{9}{2};

\frac{VO^\prime}{VO}=\frac{O^\prime A^\prime}{OA}=>

\frac{VO^\prime}{8}=\frac{\frac{9}{2}}{6} =>VO^\prime=6

6. Un con cu generatoarea de 16 cm se desfasoara pe un plan, dupa un sfert de cerc. Gasiti raza bazei conului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 6

2\pi\cdot OA=2\pi\cdot16\cdot\frac{1}{4}= 2\pi\cdot4 =>OA=4

7. Intr-un trunchi de con circular drept cu R = 16 cm si r = 8 cm, se inscriu doua conuri care au ca baze, bazele trunchiului si generatoarele unuia in prelungirea generatoarelor celuilalt. Stiind ca inaltimea trunchiului este de 12 cm, sa se afle inaltimile celor doua conuri.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 7

⊿B’O’V∼⊿AVO =>\frac{O^\prime V}{OV}=\frac{O^\prime B}{AO}=> {\frac{O^\prime V}{OO}}^\prime=\frac{8}{24}=>

\frac{O^\prime V}{12}=\frac{1}{3}=> O’V=4; OV=8

8. Fie d o semidreapta de origine O, si un unghi ascutit θ, ambele date. Gasiti locul geometric al punctelor M din spatiu pentru care unghiul dintre OM si d este θ.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 8

MO’=sinθ∙OM;

Locul geometric este o panza conica pentru care generatoarea face cu d un unghi

9. O dreapta ce trece prin centrul unei sfere cu cu raza R = 10 cm, intersecteaza un plan α intr-un punct M, astfel ca OM = 26 cm. Stiind ca distanta de la M la proiectia lui O pe α este 24 cm, stabiliti pozitia planului α fata de sfera.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 9

OA=\sqrt{{26}^2-{24}^2}=10=R=>

Sfera si planul sunt tangente.

10. Un plan α intersecteaza o sfera cu raza R = 0,5 m, astfel incat aria cercului de sectiune este de 4 ori mai mica decat aria unui cerc mare al sferei. Gasiti distanta de la centrul sferei la planul de sectiune.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 10

\pi R^2=4\pi{O^\prime B}^2=>

O^\prime B=\frac{R}{2}=\frac{1}{4};

OO^\prime=\sqrt{{OB}^2-{O^\prime B}^2}= \sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt3}{4}

11. Fie doua sfere de centre O si O’ si raze R si R’. In fiecare din situatiile urmatoare precizati pozitiile sferelor:

  1. R = 8 cm, R’ = 4 cm, OO’ = 3 cm;
  2. R = 13, 5 cm, R’ = 4,5 cm, OO’ = 20 cm;
  3. R\ =\ 2\sqrt3\ cm, \ R^\prime=2\cdot\left(2-\ \sqrt3\right)\ cm, OO^\prime=3\ cm;
  4. R=2\cdot\left(4-\ \sqrt2\right), \ R^\prime=2\cdot\left(3-\ 2\sqrt3\right)\ cm, \ OO^\prime=1\ cm.

Rezolvare:

OO'<R^'<R: Una in interiorul celeilalte;

OO’>R+R’: exterioare;

OO'<R+R’: secante;

R'<0: imposibil.

12. Doua plane paralele intersecteaza sfera de raza R = 5 cm, dupa doua cercuri cu razele respectiv r = 3 cm si r’ = 4 cm. Aflati inaltimea zonei sferice determinata de cele doua plane.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 11

Daca planele sunt de aceeasi parte a centrului sferei:

OO^\prime=\sqrt{25-16}=3;

O{O}''=\sqrt{25-9}=4;

O’O”=OO”-OO’=1;

Daca planele sunt de o parte si de alta a centrului sferei:

O’O”=OO”+OO’=7.

13. Gasiti locul geometric al picioarelor perpendicularelor duse din punctul fix A pe planul variabil ce trece prin punctul fix B.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 12

AB este constant iar m(∢AA’B)=90°, unde A’ este proiectia pe planul variabil.=> locul geometric este o sfera cu centrul pe mijlocul lui AB.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.