Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta

1.Examinati tabelul de valori al sinusului si raspundeti la intrebarea: daca x < y atunci avem  sin x < sin y, sin x > sin y sau sin x = sin y?

Demonstrati apoi raspunsul (evident ca tabelul, ce nu contine decat valorile lui sin x pentru x intreg, nu ne poate ajuta in aceasta demonstratie); amintiti-va teoremele de la “inegalitati”.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 1

Daca x < y atunci avem sinx < siny.

x<y;\sin{x=\frac{BB\prime}{R}};\sin{y=\frac{CC^\prime}{R}}\ ;

BB^\prime<CC^\prime=>sinx<\sin{y}

2.Aceeasi intrebare pentru cosinus.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 2

Daca x < y atunci avem cos x > cos y.

x<y;\cos{x=\frac{OC\prime}{R}};\cos{y=\frac{OB\prime}{R}}\ ;

OB^\prime>OC^\prime=>cosx>\cos{y}

3.Examinati diferentele dintre valorile succesive ale sinusului din tabelul de mai sus; mai precis examinati valorile expresiei sin(x+1°)-sinx pentru x intreg. Unde creste mai repede, in zona valorilor mici sau a celor mai mari a lui x?

Rezolvare:

Sinusul creste mai repede in zona valorilor mici.

4.Care sunt valorile lui x pentru care sin x = cos x?

Rezolvare:

x=45°

5.Ce puteti spune despre masura x a unui unghi ascutit pentru care sin x = 0,8? Dar daca stim ca cos y = 0,55?

Rezolvare:

Pentru sin x = 0,8, din tabel => 0,799 <0,8 < 0,809 =>sin 53° < sin x < sin 54° deci 53 < x < 54.

Daca cos y = 0,55 =>  => 0,545 < 0,55 < 0,559 =>

=>   56 < y < 57.

6.Ipotenuza unui triunghi dreptunghic are lungimea a, iar unul din unghiurile ascutite masura x. Sa se exprime lungimile catetelor, ale inaltimii, ale proiectiilor catetelor pe ipotenuza. (La aceasta problema ca si la cele care urmeaza se vor considera si exemple numerice.)

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 3

sinx=\frac{b}{a}=>b=a\cdot\sin{x};\cos{x}=\frac{c}{a}=>c=a\cdot\cos{x}

a\cdot u=a^2\cdot{sin}^2x=>u=\frac{a^2\cdot{sin}^2x}{a}=a\cdot{sin}^2x

a\cdot v=a^2\cdot {cos}^2x=>v=\frac{a^2\cdot {cos}^2x}{a}=a\cdot {cos}^2x

h^2=u\cdot v=a\cdot {sin}^2x\cdot a\cdot {cos}^2x=>h=a\cdot \sin{x}\cdot \cos{x}

Exemplu numeric:

Fie x = 30°; a =10; => \inline c=5\sqrt3;b=5;u=\frac{5}{2};v=\frac{15}{2};h=\frac{5\sqrt3}{2}

7.Inaltimea unui triunghi dreptunghic corespunzatoare unghiului drept are lungimea h, iar unul dintre unghiurile ascutite ale triunghiului are masura x. Exprimati lungimile ipotenuzei, ale catetelor etc.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 4

\sin{x}=\frac{h}{c}=>c=\frac{h}{\sin{x}};

sin (90^{\circ}-x)=cos\ {x}=\frac{h}{b}=>b=\frac{h}{\cos{x}};

\cos{x}=\frac{v}{c}=>v=c\cdot cosx=h\cdot\frac{\cos{x}}{\sin{x}}

cos(90^{\circ}-x)=\sin{x}=\frac{u}{b}=>u=b\cdot\sin{x}=h\cdot\frac{\sin{x}}{\cos{x}};

a=u+v=h\cdot\frac{{cos}^2x+{sin}^2x}{\cos{x}\sin{x}}=h\cdot\frac{1}{\sin{x}\cos{x}}

Exemplu numeric:

Fie \inline h=\frac{5\sqrt3}{2};x=30^{\circ};=>c=5\sqrt3;b=5;u=\frac{5}{2};v=\frac{15}{2};a=10

8.Baza mica a unui trapez dreptunghic are lungimea b, latura “oblica” are lungimea c, iar unghiul ascutit masura x. Sa se exprime baza mare, latura perpendiculara si diagonalele.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 5

\sin{x}=\frac{d}{c}=>d=c\cdot\sin{x};

\cos{x}=\frac{a-b}{c}=>a-b=c\cdot\cos{x}=>a=b+c\cdot\cos{x};

e=\sqrt{c^2\cdot{sin}^2x+b^2};

f=\sqrt{{(b+c\cdot\cos{x})}^2+c^2\cdot{sin}^2x}

9.Intr-un cerc de raza R se considera un unghi la centru de masura x. Care este lungimea coardei “corespunzatoare”?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 6

Ducem perpendiculara din O pe AB. Triunghiul AOB este isoscel, laturile sale fiind egale cu raza cercului => AC este si bisectoare.

sin\ {\frac{x}{2}}=\frac{BC}{R}=\frac{AB}{2R}=>AB=2R\cdot\sin{\frac{x}{2}}

10.Un triunghi isoscel are unghiurile de la baza de masura x, iar laturile congruente de lungime a. Sa se calculeze baza, inaltimea corespunzatoare bazei si inaltimile corespunzatoare laturilor congruente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 7

\sin{x}=\frac{h}{a}=>h=a\cdot\sin{x};

\cos{x}=\frac{\frac{b}{2}}{a}=\frac{b}{2a}=>b=2a\cdot\cos{x}\ ;

\sin{x}=\frac{g}{b}=\frac{g}{2a\cdot\cos{x}}=>g=2a\cdot\sin{x}\cdot\cos{x}

Exemplu numericx = 30°; a = 10 => \inline \sin{30^{\circ}}=\frac{1}{2};\cos{30^{\circ}}=\frac{\sqrt3}{2} ,deci

h=5;b=10\sqrt3;\ g=5\sqrt3

11.Se cunosc lungimile bazei si a laturilor congruente dintr-un triunghi isoscel. Sa se scrie o relatie din care sa se poata determina unghiul de la varf al triunghiului (relatia va contine, evident, “sinus” sau “cosinus”).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 8

Ducem inaltimea din A, care va fi si mediana si bisectoare conform proprietatii triunghiului isoscel.

=>\sin{\frac{A}{2}}=\frac{\frac{b}{2}}{a}=\frac{b}{2a}

12.Cunoscand lungimea si latimea unui dreptunghi sa se determine masura unghiului ascutit format de diagonalele sale.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 9

Ducem prin M o paralela la BC. Stiind ca diagonalele unui dreptunghi se injumatatesc si sunt congruente  => MN este inaltime in triunghiul isoscel BMC deci este si bisectoare. \inline m\left(\sphericalangle CMN\right)=\frac{x}{2}\inline \sphericalangle CMN\equiv\sphericalangle BAC\equiv\sphericalangle BMN (conform constructiei de drepte paralele).

In trunghiul dreptunghic ABC, \inline tg{\frac{x}{2}}=\frac{l}{L} , unde l este latimea dreptunghiului, iar L mare, lungimea sa.

13.Un punct este la distanta de 15 cm de centrul unui cerc de raza 5 cm. Sub ce unghi “se vede cercul” din acel punct (cu alte cuvinte care este unghiul format de tangentele duse din acel punct la cerc)?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 10

\inline \bigtriangleup TMO\equiv\bigtriangleup T\prime MO (cazul C.I. – \inline T'O\bot MT^\prime;OT\bot MT raza este perpendiculara pe tangenta in punctul de tangenta) => ∢TMO≡∢OMT’.

In ⊿TMO, \inline \sin{\frac{x}{2}=\frac{OT}{OM}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}}

14.Doua cercuri de raze R si r au distanta d intre centre. Sub ce unghi se vad cercurile din punctul de intersectie al tangentelor comune exterioare? Dar din cel al tangentelor comune interioare?

Rezolvare:

In cazul tangentelor exterioare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 11

Din problema anterioara stim ca \inline \sin{\frac{x}{2}=\frac{R}{OM}=\frac{r}{O\prime M}}

O’M∥OA=>⊿BMO’∼⊿AMO \inline =>\frac{O^\prime M}{OM}=\frac{r}{R}=>

\inline \frac{O^\prime M}{O^\prime M+d}=\frac{r}{R}=>\frac{O^\prime M}{d}=\frac{r}{R-r}\inline =>O^\prime M=\frac{dr}{R-r}=>

\inline \sin{\frac{x}{2}=\frac{r(R-r)}{d\cdot r}}=\frac{R-r}{d}

In cazul tangentelor interioare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 12

⊿AMO≡⊿CMO (fiind triunghiuri dreptunghice, raza este perpendiculara pe tangenta in punctul de tangenta, cazul C.I.) => m(∢AMO)=m(∢OMC)=\inline \frac{x}{2}

\inline \sin{\frac{x}{2}}=\frac{R}{OM};\ \bigtriangleup AOM\sim\bigtriangleup DO^\prime M \inline =>\frac{OM}{MO^\prime}=\frac{R}{r}=>\frac{OM}{d-OM}=\frac{R}{r}=>

\inline r\cdot OM=R\cdot d-R\cdot OM=>OM=\frac{Rd}{R+r}=>

\inline \sin{\frac{x}{2}=\frac{R\cdot\left(R+r\right)}{R\cdot d}}=\frac{R+r}{d}

15.O dreapta este la distanta d de centrul unui cerc de raza R. Care este unghiul format de dreapta cu tangenta la cerc intr-un punct de intersectie al dreptei cu cercul?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 13

m(∢BTA)+m(∢ATO)=m(∢ATO)+m(∢AOT)=90°

=>∢AOT≡∢ATB=> \inline \cos{x}=\frac{OA}{OT}=\frac{d}{R}

16.In ∆ABC cu m(∢A)=90° ducem AD⊥BC,DE⊥AB,EF⊥ Exprimati BF si AF cunoscand BC = a si m(∢B)=x.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme sinus, cosinus, tangenta si cotangenta 14

\inline AB=a\cdot\cos{x};AC=a\cdot\sin{x}; ∢DAC≡∢ABC (sunt complementare cu unghiul C) => \inline AD=a\cdot\sin{x}\cdot\cos{x};CD=a\cdot{sin}^2x;

m(∡FEB)=m(∢DAE)=m(∢EDF)=90°-x=>

\inline DB=\cos{x}\cdot a\cdot\cos{x}; \inline EB=\cos{x}\cdot\cos{x}\cdot a\cdot\cos{x}=>

\inline BF=\cos{x}\cdot\cos{x}\cdot\cos{x}\cdot a\cdot\cos{x}=a\cdot{cos}^4x

\inline DF=BC-BF-CD=a-a\cdot{cos}^4x-a\cdot{sin}^2x=>

\inline DF=a\cdot{cos}^2x-a\cdot{cos}^4x;

\inline AF=\sqrt{{AD}^2+{DF}^2}=\sqrt{a^2\cdot{sin}^2x\cdot{cos}^2x+a^2\cdot\left({cos}^2x-{cos}^4x\right)^2}=

\inline =a\cdot\cos{x\cdot\sin{x}}\cdot\sqrt{1+{sin}^2x\cdot{cos}^2x}

17.Aratati ca \inline ctgx=\frac{1}{tgx}.

Rezolvare:

ctgx=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}=\frac{1}{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}=\frac{1}{tgx}

18.Aratati ca ctg x = tg (90°-x).

Rezolvare:

ctgx=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}=\frac{\sin{\left(90^{\circ}-x\right)}}{\cos{\left(90^{\circ}-x\right)}}=tg\ (90^{\circ}-x)

19.Calculati tg 29°, ctg 44° etc.

Rezolvare:

tg 29°=0,554;ctg 44°=tg 46°=1,036

20.Ce puteti spune despre unghiurile x, y daca tgx=2,1 si ctgx=0,5?

Rezolvare:

tg 64°=2,050; tg 65°=2,145=>

2,050 < 2,1 < 2,145=>64°<x<65°

ctg x=tg (90°-x)

tg 26°=0,488;tg 27°= 0,510=>

0,488<0,5<0,510=>26°<90°-x<27°=>63°<x<64°

21.Aratati ca daca x < y atunci tg x < tg y iar ctg x > ctg y.

Rezolvare:

\inline tg\ x=\frac{sinx}{cosx} stim ca pentru x<y,sin x<sin y;cos x>cos y \inline =>\frac{1}{\cos{x}}<\frac{1}{\cos{y}}=>

tgx < tgy;

De asemenea, \inline ctgx=\frac{1}{tgx}  deci, bazandu-ne pe demonstratia de mai sus, pentru x<y=>ctg x>ctg y.

22.Determinati tangenta si cotangenta unghiurilor de 30°, 45° si 60 °.

Rezolvare:

\inline tg\ 30^{\circ}=\frac{\sin{30^{\circ}}}{\cos{30^{\circ}}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3};ctg\ 30^{\circ}=\frac{\cos{30^{\circ}}}{\sin{30^{\circ}}}=\sqrt3

\inline tg\ 45^{\circ}=\frac{\sin{45^{\circ}}}{\cos{45^{\circ}}}=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt2}=1;ctg\ 45^{\circ}=\frac{1}{tg\ 45^{\circ}}=1

\inline tg\ 60^{\circ}=\frac{\sin{60^{\circ}}}{\cos{60^{\circ}}}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot2=\sqrt3;\ ctg\ 60^{\circ}=\frac{1}{tg\ 60^{\circ}}=\frac{1}{\sqrt3}

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.