Probleme: Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele

1. Se considera unghiurile xOy, x’O’y’ in care Ox si O’x’ sunt paralele si au acelasi sens, iar Oy si O’y’ sunt de asemenea paralele si au acelasi sens. Demonstrati ca cele doua unghiuri sunt congruente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele 1

Prelungim pe y’ pana intersecteaza dreapta x in M.

∢y’O’x’≡∢y’Mx (corespondente)

∢yOx≡∢y’Mx (corespondente)

=> ∢yOx≡∢y’O’x’

2.Doua unghiuri cu laturile paralele si de sensuri contrare sunt congruente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele 2

Doua unghiuri opuse la varf si orice alte unghiuri paralele si de acelasi sens cu unul dintre ele, este congruent cu celalalt. Ca demonstratie, ambele au acelasi suplement.

3. Doua unghiuri cu laturile paralele, doua de acelasi sens si doua de sensuri contrare, sunt suplementare.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele 3

Aplicam solutia din problema 1, conform desenului.

4. Considerati un triunghi ABC, alegeti pe fiecare din laturi cate o unitate de masura si un sens, considerati o paralela la BC si exprimati teorema fundamentala a asemanarii folosind numai masuri de segmente orientate.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele 4

Fie MN∥BC, punctele apartinand laturilor triunghiului.

\frac{\vec{AM}}{\vec{AB}}=\frac{\vec{AN}}{\vec{AC}}=\frac{\vec{MN}}{\vec{BC}}

5. Considerati doua drepte paralele, doua puncte A si B pe prima si doua puncte C si D pe a doua, si unitati de masura si sensuri pe una din cele doua drepte paralele si pe AC. Considerati un punct M pe AC si intersectia N intre paralela M la cele doua drepte si BD. Exprimati y=\vec{MN} in functie de x=\vec{AM}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele 5

AD^\prime\parallel BD; y=\vec{MN}=\vec{MN^\prime}+ \vec{NN^\prime}; \frac{\vec{MN^\prime}}{\vec{CD^\prime}}= \frac{\vec{AM}}{\vec{AC}}; \vec{N^\prime N}=\vec{AB};

\vec{CD^\prime}=\vec{CD}+\vec{DD^\prime}=\vec{CD}-\vec{AB}; y=\vec{MN}=\frac{\vec{CD\prime}\cdot x}{\vec{AC}}+\vec{AB}

6. Fie A’, B’, C’, G’ picioarele perpendicularelor din varfurile A, B, C ale unui triunghi si din punctul G de intersectie al medianelor sale pe o dreapta d. Exprimati  \vec{GG^\prime} cunoscand \vec{AA\prime},\vec{BB^\prime},\vec{CC^\prime}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Semidrepte de acelasi sens si de sensuri contrare pe drepte paralele 6

Fie D mijlocul lui AB, D’ piciorul perpendicularei din D pe d. Avem, facand x=\frac{\vec{AC}}{2}, din problema anterioara, \vec{DD\prime}=\frac{1}{2}\cdot(\vec{AA\prime}+\vec{BB\prime}) iar facand

x=\frac{\vec{AC}}{3}, \ \vec{GG\prime}= \frac{2\vec{DD\prime}+\vec{CC\prime}}{3}= \frac{\vec{AA^\prime}+\vec{BB^\prime}+\vec{CC^\prime}}{3}

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.