Probleme segmente orientate

1. Daca A, B, C, D sunt puncte coliniare, aratati ca \vec{AB}+ \vec{BC}+ \vec{CD}+ \vec{DA}=0

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme segmente orientate 1

Stim ca daca A, B, C sunt puncte coliniare, avem \vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC};

\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}=0; \vec{CD}+\vec{DA}+\vec{AC}=0;

Adunam relatiile si obtinem:

\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{\mathbit{CA}}+\vec{CD}+\vec{DA}+\vec{\mathbit{AC}}=0 =>\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}+\vec{DA}=0.

2. Care este relatia intre masuri de segmente orientate care defineste mijlocul lui M al unui segment (obisnuit) AB?

Rezolvare:

\vec{AM}=\vec{MB}

3. Daca segmentele (obisnuite) AB si CD au acelasi mijloc, atunci \vec{AC}=-\vec{BD}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme segmente orientate 2

\vec{AC}=-\vec{CA}= \vec{AM}+\vec{MC}= \vec{MB}+\vec{DM}=-\vec{BD}

4. Daca \vec{AB}=\vec{CD} demonstrati ca  \vec{AC}=\vec{BD}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme segmente orientate 3

\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}=0; \vec{BC}+\vec{CD}+\vec{DB}=0=> \vec{CA}=\vec{DB}; \vec{CA}=-\vec{AC}=\vec{DB}=-\vec{BD} =>\vec{AC}=\vec{BD}

5. Fie A, O, O’ trei puncte coliniare, fie B simetricul lui A fata de O si C simetricul lui B fata de O’. Aratati ca \vec{AC}=\vec{2\cdot O O^\prime}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme segmente orientate 4

\vec{AO}=\vec{OB,}\ \vec{BO^\prime}=\vec{O^\prime C}; \vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}= \vec{AO}+\vec{OB}+\vec{BO\prime}+\vec{O\prime C}= 2\vec{OB}+2\vec{BO\prime}= 2\vec{OO\prime}

6. A, B, C, D fiind puncte coliniare, aratati ca \vec{AB}\cdot\vec{CD}+\vec{AC}\cdot\vec{DB}+\vec{AD}\cdot\vec{BC}=0.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme segmente orientate 5

\vec{AB}=\vec{AD}+\vec{DB}; \vec{AC}=\vec{AD}-\vec{CD}; \vec{BC}=-\vec{DB}-\vec{CD}=> \left(\vec{AD}+\vec{DB}\right)\cdot\vec{CD}+ \left(\vec{AD}-\vec{CD}\right)\cdot\vec{DB}+ \vec{AD}\cdot\left(-\vec{DB}-\vec{CD}\right)=0

A, B, M, N fiind puncte coliniare, A\neq B,M\neq B,N\neq B si \frac{\vec{MA}}{\vec{MB}}= \frac{\vec{NA}}{\vec{NB}}, aratati ca M = N.

Rezolvare:

Se aplica ceea ce s-a demonstrat in problema anterioara:

\vec{MA}\cdot\vec{NB}+ \vec{MN}\cdot\vec{BA}+ \vec{AN}\cdot\vec{BM}=0

Se inlocuieste \vec{MA} cu -\vec{NA} si, ca urmare a proportiei se deduce: \vec{MN}\cdot\vec{BA}=0, deci \vec{MA}\cdot\vec{NB}+\vec{AN}\cdot\vec{BM}=0=> \frac{\vec{MA}}{\vec{MB}}=\frac{\vec{NA}}{\vec{NB}}

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