Probleme: Rotatii

1. O rotatie duce un cerc intr-un cerc. In ce caz o rotatie data duce un cerc in el insusi?

Rezolvare:

Rotatia aplicata centrului O il duce in O’ (O’=Rc,u(O)). Fie M’= Rc,u(M). rotatia fiind o isometrie,  dar O’ este fix deci M’ descrie un cerc de aceeasi raza cu a primului. Daca punctele C = O (coincide C cu O) atunci cercul se va transforma in el insusi.

2. Doua cercuri de raze egale pot fi “suprapuse” printr-o rotatie, al carei unghi orientat poate fi ales cum dorim. 

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Rotatii 1

Centrul C al rotatiei se va gasi pe mediatoarea lui OO’ (linia centrelor) si unghiul ∢OCO’ poate fi construit cat vrem de mare.

3. O rotatie transforma o dreapta intr-o dreapta. Poate fi dreapta paralela cu cea initiala? Dar identica? Descrieti cazurile in care au loc aceste situatii.

Rezolvare:

Rotatia este o isometrie, consideram M’ = Rc,u(M), N’ = Rc,u(N) si P’ = Rc,u(P) imaginile prin rotatie a punctelor coliniare M, N, P. (N intre M si P). Daca M’, N’, P’ nu sunt coliniare rezulta M’N’+N’P’>M’P’. Dar MN + NP = MP dar M’N’≡MN, N’P’≡NP, MP≡M’P’, contradictie!

4. O rotatie transforma o semidreapta intr-o semidreapta. In cazurile, precizate prin solutia problemei 3, in care se poate problema daca semidreapta imagine este de acelasi sens sau nu cu semidreapta initiala, precizati care este situatia.

Rezolvare:

Pe semidreapta OX luam punctele A si B (A intre O si B). Deci OA + AB = OB. Ele au imaginile respectiv A’, B’ iar O’ ii corescpunde lui O. Daca A’ si B’ nu se gasesc de aceeasi parte a lui O’ rezulta ca A’B’ + O’A’ > O’B’ dar A’B’≡AB, O’A’≡OA, O’B’≡OB De aici contradictia.

5. Sa se construiasca un triunghi echilateral cu un varf dat si cu celalalte doua varfuri situate pe doua drepte date. Descrieti situatia in care problema are o infinitate de solutii.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Rotatii 2

Consideram problema rezolvata in cazul in care d∥d’. Daca rotim A cu 60° in jurul lui O, ajungem in B. Deci solutia revine la a roti pe d cu 60° in jurul lui O si acolo unde “rotita” lui d intersecteaza dreapta d’ avem punctul B. O solutie diferita se poate da si prin asemanare considerand ca toate triunghiurile echilaterale sunt asemenea si impartind latura O’A’ a unui “model” echilateral O’A’B’ cu punctul C’ intr-un raport egal cu \frac{OC}{OA}. Gasim apoi, aplicand teorema lui Thales, a patra proportie, segmentul O’D’, putem construi apoi pe “model” unghiul A’O’D’ si problema este rezolvata. Daca d si d’ nu sunt paralele, procedam totusi ca in prima solutie. Avem o infinitate de solutii daca d = R0, 60°(d’) adica d’este chiar “rotita” cu 60° a dreptei d).

6. Sa se construiasca un patrat ce are doua varfuri opuse pe doua cercuri date, iar unul din celelalte doua intr-un punct dat.

Rezolvare:

Rotim primul cerc O cu 90° in jurul punctului fix C si intersectam cu cercul O’. Pot fi 0, 1, 2, 3, 4 solutii.

7. Care sunt rotatiile care duc un triunghi echilateral in el insusi?

Rezolvare:

Cele de 120° cu centrul C in centrul cercului circumscris triunghiului echilateral dat.

8. Aceeasi problema pentru un patrat.

Rezolvare:

Cele de 90° cu centrul C in intersectia diagonalelor.

9. Aceeasi problema pentru un hexagon regulat.

Rezolvare:

Cele de 60° cu centrul C in centrul cercului circumscris hexagonului dat.

10. Se considera un hexagon regulat ABCDEF si figura H formata din trei cercuri de raza \frac{1}{3}AB de centre A, C, E si din trei cercuri de raza \frac{1}{4}AB de centre B, D, F. Care sunt rotatiile ce transforma figura H in ea insasi?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Rotatii 3

 

Daca O este centrul hexagonului regulat, R0+/-120° sunt rotatiile care rezolva problema, in afara de rotatia de “argument” 0.

11. Se considera un patrat ABCD in care C, D sunt in semiplanul din stanga semidreptei AB. Precizati imaginile varfurilor patratului prin rotatia RA+46°.

Rezolvare:

Saolutia sunt patratele punctate:

Matematica Capacitate Probleme: Rotatii 4

12. Se considera un hexagon regulat ABCDEF, in care C este in semiplanul de la stanga semidreptei AB. Precizati imaginile varfurilor sale prin rotatiile RA+60°. Aceeasi problema pentru RA-60°.

Rezolvare:

Solutiile sunt hexagoanele punctate:

Matematica Capacitate Probleme: Rotatii 5

13. C si D fiind puncte diferite, determinati un punct X astfel ca RC+60°(X)=RD-60°(X). Aceeasi problema inlocuind -60° cu +120°. La fel cu +60°, +60°.

Rezolvare:

Cu notatiile din figura:

Matematica Capacitate Probleme: Rotatii 6

Problema rezolvata. Dandu-se trei drepte paralele (fixate) sa se construiasca un triunghi echilateral cu varfurile respectiv pe fiecare dintre ele.

Observatie: daca exista unul, prin translatatie de-a lungul dreptelor putem obtine o infinitate.

SOLUTIA 1. Sunt date dreptele a, b, c (fig. 3.38). Consideram problema rezolvata.

Matematica Capacitate Probleme: Rotatii 7

Ducem (notatiile sunt cele din figura) AD⊥c si CM inaltimea triunghiului care taie AB in M, mijlocul sau. Patrulaterul ADCM este inscriptibil m(∢ADC)=m(∢AMC)=90°. Deci D1 =C1 =30°. M este de asemenea si mijlocul segmentului PQ (P si Q sunt punctele unde DM taie pe b, respectiv a). Problema este terminata: ducem AD⊥c,m(∢ADQ)=30°, luam mijlocul segmentului PQ. Unim A cu M si prelungim pana taie b in B. AB este latura triunghiului cautat.

SOLUTIA 2 (prin asemanare). Daca distanta dintre a si b este m, cea dintre b si c este n, latura AC este impartita in raportul m/n. Cum toate triunghiurile echilaterale sunt asemenea, luam un triunghi echilateral A’B’C’ si ii impartim latura A’C’ in raportul m/n prin punctul interior N’ (fig. 3.39). Ducem prin A’ si B’ paralele a’ si b’ la B’N’ si obtinem o figura “asemenea” cu cea cautata. Fie d’ distanta dintre a’ si c’. Prin procedeul construirii celei “de a patra proportionale”, cunoscand distanta d dintre dreptele a si c, obtinem latura AC a triunghiului ABC cautat.

Matematica Capacitate Probleme: Rotatii 8

SOLUTIA 3 (prin rotatie). Rotind pe A in jurul lui B cu 60° “ajungem” in C. Deci rotind dreapta a in jurul unui punct fixat la inceput B pe b, obtinem acolo unde “rotita” lui a intersecteaza c, punctul C, deci avem latura BC a triunghiului.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.