Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic

1.Ipotenuza unui triunghi dreptunghic este de 13 cm, iar una din catete este de 5 cm. Aflati cealalta cateta, inaltimea si proiectiile catetelor pe ipotenuza.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 1

AC2=BC2—AB2 => AC2=169-25=144=>AC=12

AB2 =BC∙BD => \inline BD=\frac{25}{13}; AC2=DC∙BC=> \inline DC=\frac{144}{13}

AD2=BD∙DC = \inline \frac{25\cdot144}{13\cdot13} => AD = \inline 5\cdot\frac{12}{13}=\frac{60}{13}

2.O cateta a unui triunghi dreptunghic este de 10 cm, iar inaltimea de 8 cm, Aflati celelalte elemente ale triunghiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 2

DC2=AC2-AD2=100-64=36 => DC=6

AC2=CD∙BC => BC= \inline \frac{100}{6}=\frac{50}{3};BD=\frac{50}{3}-6=\frac{32}{6}=\frac{16}{3}

AB2=BC2– AC\inline \frac{2500}{9}-\frac{900}{9}=\frac{1600}{9} =>AB= \inline \frac{40}{3}

3.O cateta a unui triunghi dreptunghic este de 15 cm, iar proiectia sa pe ipotenuza este de 9 cm. Aflati celelalte elemente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 3

AB2=BD∙BC => BC= \inline \frac{225}{9}=25

AC2=BC2-AB2 =625-225=400 => AC=20

DC=BC-BD=25-9=16

AD2=BD∙DC=16∙9=AD=12

4. Inaltimea unui triunghi dreptunghic este de 24 cm, iar proiectia unei catete pe ipotenuza este de 10 cm. Aflati celelalte elemente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 4

\inline {AD}^2=BD\cdot DC=DC=\frac{576}{10}=57,6

BC=BD+DC=67,6

\inline {AB}^2=BD\cdot BC=10\cdot67,6=676=>AB=26

\inline {AC}^2=DC\cdot BC=67,6\cdot57,6=>AC=62,4

5. Ipotenuza unui triunghi dreptunghic este de 50 cm, iar proiectia unei catete pe ea este de 5 cm. Aflati celelalte elemente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 5

\inline {AB}^2=BD\cdot BC=5\cdot50=>AB=5\sqrt{10}

DC=BC-BD=45;

\inline {AC}^2=CD\cdot BC=45\cdot50=>AC=15\sqrt{10}

\inline {AD}^2=BD\cdot DC=5\cdot45=>AD=15

6. Proiectiile catetelor unui triunghi dreptunghic pe ipotenuza sunt de 7 cm si 63 cm. Aflati celelalte elemente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 6

\inline {AD}^2=BD\cdot DC=7\cdot63=>AD=21

BC=BD+DC=70

\inline {AB}^2=BD\cdot BC=7\cdot70=>AB=7\sqrt{10}

\inline {AC}^2=CD\cdot BC=63\cdot70=>AC=21\sqrt{10}

7. Enuntati si demonstrati o reciproca a teoremei lui Pitagora.

Rezolvare:

Daca intr-un triunghi o latura la patrat este egala cu suma patratelor celorlalte doua laturi atunci triunghiul este dreptunghic.

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 7

\inline {BD}^2+{AD}^2={AB}^2

\inline {DC}^2+{AD}^2={AC}^2

\inline =>{AB}^2+{AC}^2={BD}^2+{AD}^2+{DC}^2+{AD}^2={BC}^2

\inline 2{AD}^2+{BD}^2+{DC}^2+2BD\cdot DC-2BD\cdot DC=

\inline =2{AD}^2+\left(BD+DC\right)^2-2BD\cdot DC=

\inline =2{AD}^2+{BC}^2-2BD\cdot DC={BC}^2=>

\inline {AD}^2=BD\cdot DC=>\frac{AD}{BD}=\frac{DC}{AD} ; ∢ADB≡∢ADC=>

⊿DAB ∼⊿DCA=>∢ABD≡∢DAC;∢DAB≡∢ACD=>

m(∢BAC)=m(∢ DAB)+m(∢ABD)=90°

8. Deduceti teorema lui Pitagora din teorema catetei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 8

Ipoteza: \inline {AB}^2=AD\cdot BC;{AC}^2=DC\cdot BC

Concluzie: \inline {BC}^2={AB}^2+{AC}^2

\inline {AB}^2+{AC}^2=\ AD\cdot BC+\ DC\cdot BC=

\inline =BC\cdot\left(AD+DC\right)={BC}^2

9. Redactati o demonstratie a teoremei lui Pitagora fara a folosi cercuri si nici teorema catetei (insa reconstituind figura 1.40).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 9

Construim in prelungirea lui BC, BEAB. Pe latura BC luam punctul D astfel incat BD≡AB.

⊿BDAeste isoscel avand doua laturi congruente =>∢BDA≡∢DAB;

⊿EBAeste isoscel avand doua laturi congruente =>∢BEA≡∢EAB;

m(∢BDA)+m(∢DAB)+m(∢BEA)+m(∢EAB)=180°

2∙m(∢EAD)=180°=>m(∢EAD)=90° =>∢DAC≡∢BDA≡∢DAB

⊿AEC∼⊿DAC(avand doua unghiuri congruente)

\inline =>\frac{EC}{AC}=\frac{AC}{CD}=>\frac{EB+BC}{AC}=\frac{AC}{BC-BD}=>

\inline \frac{AB+BC}{AC}=\frac{AC}{BC-AB}

=>AC∙AC=(AB+BC)(BC-AB)=>

\inline {AC}^2={BC}^2-{AB}^2=>

\inline {BC}^2={AB}^2+{AC}^2

10. Care este lungimea diagonalei unui patrat de latura a?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 10

In triunghiul ABC aplicam teorema lui Pitagora:

AC2 = AB2 + BC2 => AC2 = 2a2 => AC =a\inline \sqrt2

11. Care este lungimea inaltimii unui triunghi echilateral de latura 4 cm?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 11

Daca AD este inaltime, iar triunghiu ABC este echilateral, Ad este si mediana. => BD = DC = 2 cm.

In triunghiul DAB aplicam teorema lui Pitagora:

AB2 = BD2 + AD2 => AD2 = 16 – 4 = 12 => AD = 2\inline \sqrt3

12. Ipotenuza unui triunghi dreptunghic isoscel este de 4 cm. Sa se calculeze catetele triunghiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 12

Aplicam teorema lui Pitagora:

BC2 = AB2 + AC2 => 2 ∙ AC2 = 16 => AC = AB = 2\inline \sqrt2

13. Un triunghi dreptunghic are o cateta de 5 cm, iar unghiul opus ei este de 30. Calculati lungimile ipotenuzei, a celelilalte catete, a inaltimii etc.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 13

Cateta care se opune unui unghi de 30° este jumatate din ipotenuza

=> BC = 10 cm.

Aplicam teorema lui Pitagora:

BC2 = AB2 + AC2 => AC2 = 100 – 25 = 75 => AC = 5\inline \sqrt3

14. Intr-un trapez dreptunghic, bazele au 10 cm si 7 cm, iar latura neparalela perpendiculara pe ele este de 4 cm. Calculati lungimile celeilalte laturi si ale diagonalelor.

Rezolvare:

Ducem din D perpendiculara DE pe BC. In triunghiul DEC aplicam teorema lui Pitagora, stiind ca EC = BC – AD = 3 cm si DE = AB = 4 cm (ADEB este dreptunghi avand laturile paralele si unghiuri de 90°)

DC2 = DE2 + EC2 => DC2 = 9 + 16 = 25 => DC = 5

Aplicam teorema lui Pitagora in \inline \bigtriangleup ABC:\ {AC}^2={AB}^2+{BC}^2=\inline 16+100=116=>AC=2\sqrt{29}

Aplicam teorema lui Pitagora in \inline \bigtriangleup BDE:\ {BD}^2={DE}^2+{EB}^2=\inline 16+49=65=>BD=\sqrt{65}

15. Un trapez dreptunghic are bazele 11 cm si 7 cm, iar una din diagonale de 15 cm. Sa se calculeze lungimile laturilor neparalele si a celeilalte diagonale.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 14

Cazul 1. AC = 15.

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul BAC: \inline {AC}^2={AB}^2+{BC}^2=>

\inline {AB}^2=225-121=104=>AB=2\ \sqrt{26}

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul DEC: \inline {DC}^2={EC}^2+{DE}^2=>

\inline {DC}^2=16+104=120=>DC=2\ \sqrt{30}

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul BDE: \inline {BD}^2={BE}^2+{DE}^2=>

\inline {BD}^2=49+104=153=>DC=3\ \sqrt{17}

Cazul 2. BD=15.

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul BDE: \inline {BD}^2={BE}^2+{DE}^2=>

\inline {DE}^2=225-49=176=>DE=4\ \sqrt{11}=AB

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul DEC: \inline {DC}^2={EC}^2+{DE}^2=>

\inline {DC}^2=16+176=192=>DC=8\ \sqrt3

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul BAC: \inline {AC}^2={AB}^2+{BC}^2=>

\inline {AC}^2=176+121=297=>AB=3\ \sqrt{33}

16. Un triunghi isoscel are laturile congruente de 10 cm iar baza de 8 cm. Calculati inaltimea corespunzatoare bazei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 15

Stim ca in triunghiul isoscel inaltimea corespunzatoare bazei este si mediana => BD = DC =4.

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul ABD: \inline {AB}^2={BD}^2+{AD}^2=>

\inline AD=\sqrt{100-16}=2\sqrt{21}

17. In problema precedenta calculati si celelalte inaltimi ale triunghiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 16

⊿ADC∼⊿BEC(dreptunghice si au un unghi comun) =>

\inline \frac{BE}{AD}=\frac{BC}{AC}=>\frac{BE}{2\sqrt{21}}=\frac{8}{10}=>BE=\frac{8\sqrt{21}}{5}

Stim ca intr-un triunghi isoscel inaltimile duse din varfurile alaturate bazei sunt congruente => \inline CF=\frac{8\sqrt{21}}{5}

18. O coarda a unui cerc de raza 15 cm are lungimea de 8 cm. Calculati distanta de la centrul cercului la acea coarda.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 17

Triunghiul OAB este isoscel, OA si OB fiind raze ale cercului. Fie inaltimea OD, care este si mediana.=> AD = DB = 4.

In triunghiul AOD aplicam teorema lui Pitagora: \inline {AO}^2={OD}^2+{AD}^2=>{OD}^2=\inline 225-16=209=>OD=\sqrt{209}

19. Care este cea mai mica putere ce o poate avea un punct fata de un cerc de raza R? Care este punctul de putere minima?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 18

Ducand diametrul AB, puterea punctului M fat de cerc este

\inline MA\cdot MB=\left(MO-r\right)\left(MO+r\right)={MO}^2-r^2

Aceasta este minima cand MO = 0, deci cand M este in centrul cercului, iar valoarea va fi \inline -r^2.

20. Care este lungimea tangentei dusa dintr-un punct la un cerc de raza 3 cm, daca distanta de la acel punct la centrul cercului este de 8 cm?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 19

Stim ca raza este perpendiculara pe tangenta in punctul de tangenta, deci triunghiul OTM este dreptunghic. Aplicam teorema lui Pitagora:

\inline {OM}^2={OT}^2+{TM}^2=>\inline {TM}^2=64-9=55=>TM=\sqrt{55}

21. Calculati lungimea tangentelor comune a doua cercuri tangente exterioare de raze R si r.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 20

OT⊥MT;O’T’⊥MT=>OT∥O’T’=>⊿TOM∼⊿T’O’M=>

\inline \frac{MO^\prime}{MO}=\frac{r}{R}=\frac{MT^\prime}{MT}

Notam MT’ = a.

\inline \frac{a}{a+R+r}=\frac{r}{R}=>aR=r\left(a+R+r\right)=>\inline a\left(R-r\right)=r\left(R+r\right)

\inline =>MO^\prime=\frac{r\left(R+r\right)}{R-r}

In triunghiul T’O’M aplicam teorema lui Pitagora:

\inline {MT^\prime}^2=a^2-r^2=\frac{r^2\left(R+r\right)^2}{\left(R-r\right)^2}-r^2=\inline \frac{r^2\left(\left(R+r\right)^2-\left(R-r\right)^2\right)}{\left(R-r\right)^2}

\inline =>MT^\prime=\frac{r}{\left(R-r\right)}\sqrt{\left(R+r+R-r\right)\left(R+r-R+r\right)}=\inline \frac{2r}{R-r}\sqrt{Rr}

\inline \frac{MT^\prime}{MT}=\frac{r}{R}=>\frac{MT^\prime}{MT-MT^\prime}=\frac{r}{R-r}=\inline \frac{MT^\prime}{TT^\prime}=>

\inline TT^\prime=\frac{R-r}{r}\cdot\frac{2r}{R-r}\cdot\sqrt{Rr}\inline =>TT^\prime=2\sqrt{Rr}

22. Calculati lungimile tangentelor comune exterioare si interioare a doua cercuri de raze 8 cm si 5 cm, daca distanta dinte centrele lor este de 20 cm.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 21

Prelungim O’T’ cu un segment T’M = 8 cm. TT’MO are doua laturi paralele si congruente si unghiuri de 90°, deci este dreptunghi, deci TT’=MO

In  aplicam teorema lui Pitagora: OO’2=T’M2+MO2 => TT’ ‘= MO =\inline \sqrt{400-169}=\sqrt{231}

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 22

Luam punctul M pe OT astfel incat MT=O’T. O’T’TM are doua laturi paralele si congruente si unghiuri de 90°, deci este dreptunghi, deci TT’=MO’ iar triunghiul OMO’ este dreptunghic. Aplicam teorema lui Pitagora:

OO’2=OM2+MO’2 => TT’ = MO’ = \inline \sqrt{400-9}=\sqrt{391}

23. Dati diferite metode de a construi un segment de lungime , u si v fiind lungimile unor segmente date.

Rezolvare:

Putem construi un triunghi dreptunghic cu marimea catetelor u, respectiv v. Aplicand teorema lui Pitagora, ipotenuza va avea lungimea \inline \sqrt{uv}.

Putem construi un cerc si luand un punct exterior lui si un punct A pe cerc astfel incat MA = u si MB = v, unde B este a doua intersectie a lui MA cu cercul, tangenta dusa prin M la cerc va avea lungimea \inline \sqrt{uv} conform puterii unui punct fata de cerc.

24. Gasiti un triunghi dreptunghic astfel incat lungimile laturilor, a inaltimii si proiectiilor catetelor pe ipotenuza sa fie toate numere intregi.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 23

Alegem numerele 3, 4 si 5 pentru catete si ipotenuza. Vom observa ca inaltimea are valoarea \inline \frac{12}{5}, iar proiectiile catetelor pe ipotenuza \inline \frac{9}{5} si \inline \frac{16}{5}. Vom alege un triunghi dreptunghic asemenea cu acesta, cu raportul de asemanare 5. Astfel catetele vor fi 15 si 20, ipotenuza 25, inaltimea 12, iar proiectiile catetelor pe ipotenuza, 9 si 16.

25. Latura unui romb este de 11 cm, iar lungimea unei diagonale este de 15 cm. Este aceasta diagonala mai mare sau mai mica decat cealalata diagonala?

Rezolvare:

Stim ca diagonalele unui romb sunt perpendiculare si se injumatatesc. Aplicam teorema lui Pitagora pentru a afla cealalta diagonala.

\inline d^2=121-\frac{225}{4}=\frac{259}{4}=>d=\frac{\sqrt{259}}{2}\simeq8

Deci diagonala este cea mai mare.

26. Diagonala unui dreptunghi este de 10 cm iar una din laturi este de 7 cm. Este acea latura “lungimea” sau “latimea”?

Rezolvare:

Aplicand teorema lui Pitagora in triunghiul determinat de doua laturi si digonala, aflam ca cealalta latura este \inline \sqrt{100-49}=\sqrt{51}>7 , deci latura este latimea.

27. Un patrulater ABCD inscris intr-un cerc de raza 25 cm are diagonalele perpendiculare, departate de centrul cercului la 7 cm respectiv 15 cm. Sa se calculeze lungimile laturilor patrulaterului. Sa se calculeze si lungimile diagonalelor si sa se verifice relatia din problema 12 adica AB ∙ CD + AD ∙ BC = AC ∙ BD.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme relatii metrice in triunghiul dreptunghic 24

Consideram notatiile conform desenului.

OEFG – dreptunghi (din constructie) => OE = FG = 7 cm; GE = OF = 15 cm

In ⊿FOB aplicam teorema lui Pitagora: OB2=FO2+FB2 => FB=\inline \sqrt{(625-225)}=20\\ cm.

GB=FB-FG=20-7=13 cm

In ⊿AEO aplicam teorema lui Pitagora: OA2=AE2+OE2 => AE=\inline \sqrt{625-49}=24 cm.

AG=AE-GE=24-15=9 cm

In ⊿AGB aplicam teorema lui Pitagora: AB2=AG2+GB2 => AB=\inline \sqrt{81+169}=5\sqrt{10} cm.

⊿AOC este isoscel, laturile sale fiind razele cercului, iar OE este inaltimea din varf, deci este si mediana => CE = EA = 24 cm;

CG = CE + EG = 24 + 15 = 39 cm.

In ⊿CGB aplicam teorema lui Pitagora: BC2 = CG2 + GB2 => BC=\inline \sqrt{1521+169}=13\sqrt{10} cm.

In ⊿DFO aplicam teorema lui Pitagora: DO2=DF2+OF2 => DF=\inline \sqrt{625-225}=20 cm.

DG = DF + FG = 20 + 7 = 27 cm

In ⊿AGD aplicam teorema lui Pitagora: DA2=DG2+AG2 => DA=\inline \sqrt{729+81}=9\sqrt{10} cm.

In ⊿DGC aplicam teorema lui Pitagora: DC2=DG2+CG2 => DC= \inline \sqrt{729+1521}=15\sqrt{10} cm.

Laturile au urmatoarele dimensiuni: \inline 15\sqrt{10} cm, \inline 9\sqrt{10} cm, \inline 13\sqrt{10} cm si \inline 5\sqrt{10} cm.

28. Enuntati o reciproca a teoremei inaltimii care sa fie incorecta!

Rezolvare:

Daca intr-un triunghi ABC, D este piciorul inaltimii din A si AD2=BD∙DC, atunci unghiul A are 90°. Fals, deoarece D s-ar putea sa nu fie intre B si C.

29. Intr-un triunghi ABC, unghiul A este ascutit daca si numai daca BC2 < AB2 + AC2.

Rezolvare:

Construim doua triunghiuri, unul in care unghiul A are 90° si unul cu unghiul A’ < 90°. Daca m(∢A’)<m(∢A)=>B’C’<BC. Aplicand teorema lui Pitagora in primul triunghi => BC2 < AB2 + AC2. => B’C’2 < A’B’2 + A’C’2.

Observatie. Desigur ca ati rezolvat cu usurinta problema 10, afland astfel ca lungimea diagonalei unui patrat de latura 1 cm este  cm. Deci constructii simple aplicate unor segmente cu lungimi rationale (chiar intregi) conduc la segmente de lungimi irationale. Descoperirea acestui fapt a produs o mare surpriza in lumea matematicienilor greci, inaintea erei noastre.

Exista totusi triunghiuri dreptunghice ale caror laturi au toate trei lungimile intregi. Unul din ele este cel de catete 3 si 4 si ipotenuza 5. Rezolvand problemele ati intalnit probabil si altele. Se cunoaste forma generala a tripletelor de numere naturale diferite de 0 (x, y, z) pentru care x2 + y2 = z2, anume x = k ∙ (p2 – q2), y = 2kpq, z = k ∙ (p2 + q2) sau acelasi cu x permutat cu y, in care k, p, q sunt numere naturale, p < q si, pentru a evita repetitiile, se presupune ca p si q sunt prime intre ele si sunt unul par si unul impar. Prezenta factorului k este usor de inteles daca avem in vedere notiunea de triunghiuri asemenea. Sa dam cateva exemple, toate cu k = 1, p = 2, q = 1 da (3, 4, 5), p = 3, q = 2 da (5, 12, 13), p = 4, q = 1 da (15, 8, 17), p = 4, q = 3 da (7, 24, 25), p = 5, q = 2 da (21, 20, 29), p = 5, q = 4 da (9, 40, 41) etc. Puteti folosi aceste triplete pentru a construi voi insiva probleme in care sa nu “apara radicali” in cursul rezolvarii lor. Puteti verifica usor ca x, y, z definiti prin formulele de mai sus verifica relatia x2 + y2 = z2. Mai greu, dar nu dincolo de posibilitatile voastre de intelegere, este de a dovedi ca orice triplet de numere intregi (x, y, z) pentru care x2 + y2 = z2 se obtine prin formulele de mai sus cu k, p, q intregi.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.