Probleme recapitulative 2

1. In triunghiul ABC, latura BC = 5 cm, medianele BB’ = 6 cm si CC’ = 4,5 cm. Sa se afle celelalte laturi ale triunghiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 1

Stim ca intr-un triunghi punctul de intersectie al medianelor se afla la o treime de baza si doua treimi de varf. =>

OC=3\ cm, \ OC^\prime=1,5\ cm, \ BO=4\ cm, \ OB^\prime=2\ cm; \ {OM}^2={BO}^2-{BM}^2= {OC}^2-\left(BC-BM\right)^2; 16=9-25+10BM=> BM=3,2; OM=\sqrt{5,76}=2,4; \ {ON}^2={B^\prime O}^2-{B^\prime N}^2= {OC^\prime}^2-\left(B^\prime C^\prime-B^\prime N\right)^2; 4=2,25-6,25+5B^\prime N=> B^\prime N=1,6;ON= \sqrt{1,44}=1,2; NM=3,6; {CD}^2={CC^\prime}^2-{C^\prime D}^2= 20,25-12,96=7,29=> CD=2,7; BD=2,3; {BC^\prime}^2= 5,29+12,96=18,25=> BC^\prime=4,27=>AB=5,54; {BE}^2={BB^\prime}^2-{B^\prime E}^2= 36-12,96=23,04=> BE=4,8;EC=0,2; {CB^\prime}^2= 12,96+0,04=13=> CB^\prime=3,61

2. Trapezul isoscel ABCD este circumscris unui cerc. El are AB, baza mica, de 2 cm si baza mare CD = 8 cm. Se cere raza cercului inscris si laturile neparalele.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 2

Tangentele duse dintr-un punct la cerc sunt congruente =>

AN=AM=1 cm;DM=DP=4 cm=>AD=BC=5 cm;

este dreptunghi iar △DAT≡△CBU (cazul C.U.) =>

DT=UC=3 cm=> AT=\sqrt{25-9}=4; at=2R=>R=2

3. Intr-un triunghi isoscel OAB, OA≡OB; m(∢AOB)=36°. Luam pe latura OB punctul C in interior, astfel incat m(∢CAB)=36°. Sa se demonstreze ca: 

  • ∆ACB ∼ ∆AOB, 
  • OC ≡ AB ≡ AC

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 3

∢CAB≡∢AOC; ∢OBA≡∢CBA => ∢ACB≡∢OAB => ⊿ACB∼∆AOB (cazul U.U.U); de asemenea ∢ACB ≡ ∢OAB ≡ ∢OBA => triunghiul BAC este isoscel, AB≡AC (1);

m(∢OCA)=36°+m(∢OBA)=36°+36°+m(∢OAC)

=>m(∢OAC)+36°+36°+36°+m(∢OAC)=180°

=>m(∢OAC)=36°=>⊿ACOeste isoscel => OC≡AC (2)

Din (1) si (2) => OC ≡ AB ≡ AC

4. Intr-un cerc de centru O inscriem un poligon regulat cu 10 laturi (decagon regulat). Fie AB, BE, si EF trei laturi ale sale consecutive. AF se intersecteaza cu OB in C. Notand AB = BE = EF = l, OA = OB = R demonstrati ca:

  1. CB = R – l;
  2. OC ≡ AC ≡ l;
  3. R∙(R – l) = l2 sau l2 + Rl – R2=0;
  4. Verificati relatia l2 + Rl – R2=\ \left(l+\frac{R+R\sqrt5}{2}\right)\cdot(l+\frac{R-R\sqrt5}{2}) si gasiti de aici latura decagonului regulat convex in functie de raza cercului inscris.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 4

⊿BAO este isoscel avand laturile congruente egale cu raza cercului, iar

m(∢BOA)=36°;=>m(∢OBA)=m(∢OAB)=72°

m(∢COF)=m((BF) ̂ )=72°=>BA∥OF=>m(∢AFO)=m(∢BAF)=36°

∢CFO≡∢AOB;OF≡OA;∢COF≡OAB=>⊿CFO≡⊿AOB=>

CO=BA=l=>CB=R-l

m(∢OCF)=72°=>m(∢OCA)=108°=>

m(∢CAO)=180°-108°-26°=36°=>

⊿OCA este isoscel, deci OC=OC=l;

m(∢BCA)=72°=>⊿OFC∼⊿CAB =>  \frac{OC}{BC}=\frac{OF}{BA} =>\frac{R}{l}=\frac{l}{R-l}=> R\cdot\left(R-l\right)= l^2 \left(l+\frac{R+R\sqrt5}{2}\right)\cdot\left(l+\frac{R-R\sqrt5}{2}\right)= \frac{1}{4}\cdot\left(2l+R+R\sqrt5\right)\left(2l+R-R\sqrt5\right)= \frac{1}{4}\cdot\left[\left(2l+R\right)^2-5R^2\right]= \frac{1}{4}\cdot\left(4l^2+R^2+4lR-5R^2\right)= \frac{1}{4}\cdot4\cdot\left(l^2+lR-R^2\right)=0

Deci relatia este adevarata.

=>l+\frac{R-R\sqrt5}{2}=0=> l=\frac{R\sqrt5-R}{2}

5. In trapezul dreptunghic ABCD, inaltimea BC = 4 cm, baza mica AB  AD = x, iar baza mare CD = 8 cm. Determinati x, masura bazei mici si laturii AD.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 5

Ducem inaltimea AM⊥DC;AB=MC=x;DM=8-x;AM=4 cm. Aplicam teorema lui Pitagora in ⊿DAM: x^2=\left(8-x\right)^2+16;

x^2=64+x^2-16x+16;

16x=80=>x=5 cm ;

AB=AD=5 cm

6. In figura R.1 cercurile de centru O1, O2, O3 si raza R1, R2, R3 sunt tangente la dreptele VT, VT’ si tangente exterioare intre ele. Demonstrati ca aria cercului (O2) este media proportionala intre cea a cercurilor (O1) si (O3).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 6

O_1A\bot VT^\prime; \ O_2B\bot VT^\prime; O_3C\bot VT^\prime=> O_1A\parallel O_2B\parallel O_3C=> \frac{VO_1}{VO_2}=\frac{R_1}{R_2}; \frac{VO_1}{VO_3}= \frac{R_1}{R_3}=> \frac{VO_1}{R_1}= \frac{VO_2}{R_2}= \frac{VO_3}{R_3}=> \frac{VO_1}{R_1}= \frac{VO_1+R_1+R_2}{R_2}= \frac{VO_1+R_1+{2R}_2+R_3}{R_3}=> VO_1= \frac{R_1\cdot\left(R_1+R_2\right)}{R_2-R_1}= \frac{{R_1\cdot(R}_1+2R_2+R_3)}{R_3-R_1}=> \frac{R_1+R_2}{R_2-R_1}= \frac{R_1+{2R}_2+R_3}{R_3-R_1}=> R_1R_3+R_2R_3-{R_1}^2-R_1R_2= R_1R_2+2{R_2}^2+R_2R_3-{R_1}^2-{2R}_1R_2-R_1R_3=> R_1R_3=2{R_2}^2-R_1R_3=> {R_2}^2=R_1R_3; \ S_{C\left(O_2\right)}= \pi{R_2}^2= \pi R_1R_3= \sqrt{\pi\pi{R_1}^2{R_3}^2}= \sqrt{S_{C\left(O_1\right)}\cdot S_{C\left(O_3\right)}}

7. Printr-un punct fix P situat in interiorul cercului fix de centru O (O≠P trec coardele perpendiculare mobile AB, CD de mijloace M si respectiv, N. Sa se demonstreze ca MN are marime constanta.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 7

⊿AOB este isoscel, laturile sale fiind egale cu raza cercului. OM este deci si mediana si inaltime.

⊿DOC este isoscel, laturile sale fiind egale cu raza cercului. ON este deci si mediana si inaltime.

=> MPON este dreptunghi => OP=MN (diagonalele unui dreptunghi sunt congruente), OP fiind constanta => MN are marime constanta.

8. In cercul de centru O, A si B sunt doua puncte diametral opuse. Fie M si N doua puncte variabile pe cerc, astfel incat m(∢MAN)=50°Dreptele MB si AN se intalnesc in P.

  1. Cate grade are m(∢MPA)?
  2. Care este locul geometric al punctului P?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 8

m(∢MAB)=m(∢ANB) =\frac{m\left(\widehat{AB}\right)}{2} =90°=>m(∢MPA)=90°-50°=40°

m(∢APB)=90°+50°=140°

Deci atunci cand sunt de aceeasi parte a diametrului AB, punctul P vede segmentul sub un unghi de 140°. Daca sunt de o parte si de alta, sub un unghi de 40°, deci P descrie un cerc.

9. In triunghiul ABC, m(∢BAC)=60°, BD si CE sunt inaltimi, iar O este mijlocul segmentului BC.

  1. Sa se demonstreze ca: ∆OED este echilateral.
  2. Daca AC = 4 cm si AB este de marime variabila, sa se gaseasca valoarea minima a laturii triunghiului echilateral OED.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 9

In ⊿BED, dreptunghic, EO este mediana => EO = BO = OC

In ⊿BDC, dreptunghic, DO este mediana => DO = BO = OC

EO = OD, deci ⊿EOD este isoscel.(1)

Tinand cont de faptul ca BO = OC = ED = EO si m(∢BEC)=m(∢BDC)=90°, consideram cercul de centru O si diametru BC.

m(∢ABD)=30°=>=60°=>m(∢EOD)=60° si din (1) =>

⊿EOD este echilateral.

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 10

Pentru ca latura triunghiului OED sa fie minima,ar trebui ca distanta de la O la AB sa fie minima, deci OE⊥AB=>

CB⊥AB, E=B;AB=\frac{AC}{2}=2\ cm

BC=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt3;OE=\sqrt3

10. Sa se determine care este dreptunghiul de arie maxima inscris intr-un cerc de raza 1.

Rezolvare:

Consideram jumatate de dreptunghi determinat de o diagonala. Triunghiul dreptunghic astfel format are  inaltimea corespunzatoare cu ipotenuza maxima atunci cand este egala cu raza, deci dreptunghiul cautat este un patrat de arie 2.

11. In triunghiul isoscel ABC este inscris un cerc. Laturile AB=AC=13cm, iar baza BC = 10 cm. Sa se calculeze raza cercului inscris.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 11

AM este bisectoare si mediana si inaltime => BM=5; AM=\sqrt{169-25}=12

\sin{BAM}=\frac{5}{13}=0,38 =>m(∢BAM)=22°=>m(∢OBM)=34°;

tg 34°=0,67 =>\frac{OM}{BM}=0,67 =>OM=5∙0,67=3,35

12. Se da un cerc si A un punct exterior. Ducem AT si AS tangente la cerc (fig. R.2). (S si T sunt pe cerc). Coarda TL e paralela cu AS. Segmentul AL intersecteaza a doua oara cercul in Q. Demonstrati ca TQ intalneste tangenta AS in M, mijlocul ei.

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 12

Rezolvare:

m(∢TLA)=\frac{m\left(\widehat{TQ}\right)}{2}=m(∢ATM)=m(∢LAM)=>

⊿TMA∼⊿AMQ(unghiuri congruente) => \frac{QM}{AM}=\frac{QA}{AT}=\frac{AM}{MT}

Aplicand puterea lui M fata de cerc: {MS}^2=MQ\cdot MT , dar MQ\cdot MT={AM}^2

=> AM = MS.

13. Pe semidreapta AC, ABC fiind un triunghi, se ia D asa incat ∢CBD≡∢BAC. Demonstrati ca:

  1. BD este medie proportionala intre AD si CD;
  2. BD este tangenta la cercul circumscris triunghiului ABC.

Rezolvare:

∢BAC≡∢CBD; ∢CDB≡∢ADB=>⊿DBC∼⊿DAB=>

\frac{BD}{AD}=\frac{CD}{BD}=>BD=\sqrt{AD\cdot C D}

Considerand puterea punctului D fata de cercul circumscris triunghiului ABC, faptul ca {BD}^2=AD\cdot CD semnifica ca BD este tangenta cercului in punctul B.

14. Se da triunghiul dreptunghic ABC cu m(∢A)=90°, AB=3, AC=4. Sa se gaseasca latura patratului AMNP, unde M∈AB, N∈BC, P∈AC. Catetele fiind b, c, aceeasi intrebare.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 13

Ducem bisectoarea unghiului A care va fi una din diagonalele patratului.

\frac{BN}{NC}=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{4}; 3∙NC=4∙BN

Aplicam teorema lui Pitagora in ⊿BAC=>BC=5;

BN+NC=5 =>\frac{4}{3}\cdot BN+BN=5=>BN=\frac{15}{7};NC=\frac{20}{7}

Aplicam teorema lui Pitagora in ⊿PNC: {NC}^2={NP}^2+{PC}^2=>

\frac{400}{49}=L^2+{(4-L)}^2=2L^2+16-8L

Aplicam teorema lui Pitagora in ⊿BMN: {BN}^2={BM}^2+{MN}^2=>

\frac{225}{49}= L^2+{(3-L)}^2= 2L^2+9-6L

Scadem cele doua relatii:

\frac{400}{49}-\frac{225}{49}= -2L^2-9+6L+2L^2+16-8L=> \frac{175}{49}=7-2L=> L=\frac{1}{2}\cdot\frac{168}{49}=\frac{12}{7}

15. In figura R.3, ABC este un triunghi oarecare, ABDE si ACFG patrate. Sa se demonstreze ca:

EC≡BG;

EP⊥PG.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 14

m(∢EAC)=90°+m(∢BAC)=m(∢BAG);EH=AB;AC=AB

=>⊿EAC≡⊿BAG=>[EC]≡[BG]

m(∢EMA)+m(∢MEA)=90°=m(BMP)+m(∢MBP)=>

m(∢MPB)=90°=>EC⊥BG

16. Un semicerc cu raza R este inscris intr-un trapez isoscel (adica are centrul pe baza mare DC, si este tangent celorlalte laturi AB, BC si DA). Unghiul ADC format de o latura neparalela cu baza mare are 45°. Sa se afle aria trapezului.

Rezolvare:

In ⊿NOC:

\sin{45^{\circ}}=\frac{R}{OC}= \frac{\sqrt2}{2}=> OC=\frac{2R}{\sqrt2}

\cos{45^{\circ}}=\frac{MC}{R}=\frac{\sqrt2}{2}=> MC=\frac{R\sqrt2}{2}=>AB= \frac{4R}{\sqrt2}-2\cdot\frac{R\sqrt2}{2}=R\sqrt2;

S_{ABCD}= \left(AB+DC\right)\cdot\frac{R}{2}= \left(R\sqrt2+\frac{4R}{\sqrt2}\right)\cdot\frac{R}{2}= R^2(1+2\sqrt2)

17. Sa se afle aria unui trapez isoscel, stiind ca bazele sale sunt 12 si 20 cm, iar diagonalele sunt perpendiculare intre ele.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 15

Triunghiurile DOC si AOB sunt dreptunghice isoscele =>

m(∢ODC)=m(∢OAB)=45°=>

sin ∢ODC = sin 45°=\frac{\sqrt2}{2}=\frac{OC}{20}=>OC=10\sqrt2;

sin ∢OAB = sin 45°=\frac{\sqrt2}{2}= \frac{OB}{12}=> OB=6\sqrt2; \ S_{ABCD}= S_{DOC}+S_{DOA}+S_{AOB}+S_{BOC}= \frac{1}{2}\cdot\left(10\sqrt2\cdot6\sqrt2+10\sqrt2\cdot6\sqrt2+6\sqrt2\cdot6\sqrt2+10\sqrt2\cdot10\sqrt2\right)=

60+60+36+100=256

18. Intr-un patrat ABCD sunt inscrise doua semicercuri cu diametre AD si BC. Un cerc mai mic este tangent la ambele semicercuri si la latura AB. Sa se socoteasca raza acestui cerc in functie de a, latura AB.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 16

MT=TN=TP=\frac{a}{2};

⊿PTMeste isoscel =>

PT=2r+UT=\frac{a}{2}; UT=\frac{a}{2}-2r

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul OTM:

\left(\frac{a}{2}+r\right)^2= \left(r+UT\right)^2+ \left(\frac{a}{2}\right)^2=> \frac{a^2}{4}+ar+r^2= \frac{a^2}{4}-ar+r^2+\frac{a^2}{4}=> 2ar=\frac{a^2}{4}=> r=\frac{a}{8}

19. Segmentul AB = a, fix, este in acelasi timp coarda si tangenta a doua cercuri concentrice de raza variabila. Sa se demonstreze ca aria coroanei circulare cuprinsa intre ele este constanta.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 17

In ⊿AOB, OA=OB fiind raze ale cercului exterior, deci triunghiul este isoscel; OM⊥AM , raza cercului interior perpendiculara pe tangenta in punctul de tangenta => AM=MB = \frac{AB}{2}.  Aplicam teorema lui Pitagora in ⊿AOM:

{AO}^2={AM}^2+{OM}^2=> {AM}^2=R^2-r^2; \ S_{coroanei\ circulare}= \pi R^2-\pi r^2= \pi\left(R^2-r^2\right)= \pi{AM}^2=constanta

20. In patratul ABCD de latura a (fig. R.4) se inscrie triunghiul APQ cu m(∢QAP)=30°, (Q pe segmentul DC si P pe segmentul BC). m(∢APQ)=90°. Se cer laturile acestui triunghi.

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 18

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 19

Cu notatiile din figura, aplicam teorema lui Pitagora in triunghiurile formate:

{QP}^2=x^2+y^2; {AP}^2=a^2+a^2+y^2-2ay= 2a^2+y^2-2ay; {AQ}^2=a^2+a^2+x^2-2ax= 2a^2+x^2-2ax; \ 2a^2+x^2-2ax= x^2+y^2+2a^2+y^2-2ay=>

\frac{x}{a-y}=\frac{y}{a}=>

⊿QCP∼⊿PBA =>\frac{QP}{AP}=\frac{x}{a-y}=\frac{y}{a};

\sin{30^{\circ}}=\frac{QP}{QA}=\frac{1}{2} =>QP=\frac{QA}{2}; \cos{30^{\circ}}=\frac{AP}{QA}=\frac{\sqrt3}{2}=>

AP=\frac{QA\sqrt3}{2}; \frac{QP}{AP}=\frac{QA}{2}\cdot\frac{2}{QA\sqrt3}= \frac{1}{\sqrt3}=\frac{y}{a}=\frac{x}{a-y}=> y=\frac{a}{\sqrt3}; x=\frac{a-\frac{a}{\sqrt3}}{\sqrt3}= \frac{\sqrt3a-a}{3}=\frac{a}{3}\cdot\left(\sqrt3-1\right);

{QP}^2=x^2+y^2= \frac{a^2}{9}\cdot\left(\sqrt3-1\right)^2+\frac{a^2}{3}= \frac{a^2}{9}\cdot\left(3+1-2\sqrt3+3\right)= \frac{a^2}{9}\left(7-2\sqrt3\right); =>QP=\frac{a}{3}\cdot\sqrt{7-2\sqrt3}

QP=\frac{QA}{2}=> QA=\frac{2a}{3}\cdot\sqrt{7-2\sqrt3}

AP=\frac{QA\sqrt3}{2}=\frac{a}{3}\cdot\sqrt{21-6\sqrt3}

21. Se da triunghiul ascutit unghic ABC in care CB = 3 si inaltimea AA’ = 2. Sa se afle latura patratului inscris in triunghi (doua varfuri pe BC, celelalte doua respectiv pe AB, AC).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 20

⊿QBA’∼⊿ABA’; ⊿NCP∼⊿A’CA=>

\frac{l}{2}=\frac{CN}{A^\prime C}=\frac{CP}{AC}=\frac{BM}{BA^\prime}=\frac{BQ}{AB}=>

\frac{l}{2}=\frac{3-l-x}{A^\prime C}= \frac{x}{3-A^\prime C}=> l\cdot A^\prime C=6-2l-2x;

x\cdot A^\prime C=\left(3-A^\prime C\right)\cdot\left(3-l-x\right);

2x=3l-l\cdot A^\prime C=> 2x=3l-6+2l+2x=>  5l=6=>l=\frac{6}{5}

22. In figura R.5 ABC este un triunghi isoscel inscris intr-un patrat (AB = AC = a) si pe inaltimea AD ca diametru se construieste un cerc care intersecteaza AB in M si AC in N. Se cere MN in functie de a.

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 21

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 22

Cu notatiile din figura: AD este diametru dar, AD este egal si cu latura patratului, deci AD = BC = l; Triunghiul BAC fiind isoscel => BD=DC=\frac{l}{2};

a^2=\frac{l^2}{4}+l^2=> a^2=\frac{5l^2}{4}=> a=\frac{l\sqrt5}{2}=> l=\frac{2a}{\sqrt5}

⊿AME∼⊿ABD =>\frac{ME}{BD}=\frac{AE}{AD}=> \frac{\frac{MN}{2}}{\frac{l}{2}}=\frac{AE}{l} =>MN=AE;

In triunghiul MON, OM si ON sunt raze si sunt egale cu \frac{l}{2} => triunghiul este isoscel. Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul OME:

{OM}^2={OE}^2+{ME}^2=> \frac{l^2}{4}=\left(AE-\frac{l}{2}\right)^2+\frac{{MN}^2}{4}=> \frac{l^2}{4}=\left(MN-\frac{l}{2}\right)^2+\frac{{MN}^2}{4}=> \frac{l^2}{4}={MN}^2+\frac{l^2}{4}-l\cdot MN+\frac{{MN}^2}{4}=> \frac{5{MN}^2}{4}=l\cdot MN=>5MN=4l=> MN=\frac{4l}{5}=\frac{8a}{5\sqrt5}

23. Demonstrati ca orice figura plana care are doua axe de simetrie perpendiculare are si un centru de simetrie! Reciproca este adevarata?

Rezolvare:

Intersectia celor doua axe este centru de simetrie. Stim ca centrul de simetrie al unei figuri este un punct O fata de care orice punct al figurii are un simetric care apartine figurii. In problema data, O apartinand ambelor axe de simetrie, este centru de simetrie. Reciproca nu este adevarata, spre exemplu paralelogramul are centru de simetrie dar diagonalele sale nu sunt perpendiculare.

24. Cu laturile cat ale triunghiului echilateral, hexagonului regulat si patratului inscris in acelasi cerc se construieste un triunghi. Sa i se precizeze natura. Gasiti raza cercului circumscris lui.

Rezolvare:

Triunghiul respectiv va avea laturile R\sqrt3;\ R\sqrt2;R. Tinand cont ca 3R^2=2R^2+R^2 => triunghiul este dreptunghic, deci raza cercului circumscris va fi jumatate din ipotenuza: \frac{R\sqrt3}{2}.

25. Pe segmentul AB se considera M variabil si, de aceeasi parte a segmentului, triunghiurile echilaterale AMC si MBD. Cercurile circumscrise acestor triunghiuri se intersecteaza in M si N (fig. R.6). Aratati ca:

  1. A, D, N sunt coliniare.
  2. Gasiti locul geometric a lui P, mijlocul lui CD, cand M se misca.
  3. Mediatoarele segmentelor CM si MD trec printr-un punct fix.
  4. Daca AM = x si AB = a, sa se exprima CD in functie de a si x.

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 23

Rezolvare:

a. m(∢ANM) = \frac{m\left(\widehat{AM}\right)}{2}==60°;

m(∢DNM) = \frac{m\left(\widehat{MD}\right)}{2}=120°=>

m(∢AND)=60°+120°=180°=>

A, D, N sunt coliniare.

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 24

b. Daca prelungim AD si BC pana se intersecteaza vom obtine un triunghi echilateral QAB, de latura AB.

m(∢MCB)=m(∢DQC)=60°=>MC∥DQ;m(∢DMA)=m(∢MCB)=60°=>DM∥QC=> QDMC este paralelogram

QM si DC sunt diagonale. Deci punctul P se va afla intotdeauna la mijlocul segmentului QM. Cand M se misca acesta este situat pe linia mijlocie din triunghiul AQB => locul geometric este un segment paralel cu AB si jumatate din lungimea sa.

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 25

c. Din punctul anterior MC∥DQ, iar in triunghiul echilateral MBC, mediatoarea segmentului MC este si bisectoare si inaltime => ea este perpendiculara pe QA si este si bisectoarea unghiului ABQ => este mediatoare in triunghiul QBA. Asemenea si pentru mediatoarea segmentului MD. Intr-un triunghi, mediatoarele sunt congruente, deci, prin intersectia lor trece si mediatoarea segmentului AB. Punctul de intersectie este centrul cercului circumscris triunghiului AQB.

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 26

d. m(∢DMC)=180°-60°-60°=60°;

Aplicam teorema generalizata a lui Pitagora in triunghiul DMC:

{DC}^2={MC}^2+{MD}^2-2\cdot MC\cdot MD\cdot\cos{60^{\circ}}=

x^2+\left(a-x\right)^2-2x\left(a-x\right)\cdot\frac{1}{2}= x^2+a^2+x^2-2ax-ax+x^2= a^2+{3x}^2-3ax=> DC=\sqrt{a^2+{3x}^2-3ax}

26. a) Sa se arate ca simetricul ortocentrului unui triunghi fata de o latura se afla pe cercul circumscris triunghiului.

b)Sa se construiasca un triunghi cunoscand: o inaltime, ortocentrul fixat pe ea si marimea segmentului dintre ortocentru si varf.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 27

a.Fie H ortocentrul si I simetricul sau. In triunghiul HBI, BM este si mediana si inaltime => triunghiul este isoscel => ∢BIM≡∢BHM, ∢BHM≡∢AHN (opuse la varf), dar m(∢AHN)+m(∢HAN)=90°=>m(∢BIM)+m(∢HAN)=90°;

Similar m(∢CIM)+m(∢MAB)=90°=>m(∢BAC)+m(∢BIC)=180°

m(∢ABI)+m(∢ICA)=m(∢ABC)+m(∢IBM)+m(∢ICM)+m(∢BCA)

=m(∢ABC)+m(∢BCA)+m(∢BAC)=180°

=> patrulaterul BACI este inscriptibil, deci I apartine cercului circumscris triunghiului ABC.

b.Se determina pozitia acelui varf. Acest varf impreuna cu un capat al inaltimii si cu simetricul ortocentrului fata de celalalt capat determina cercul circumscris triunghiului.

27.Triunghiului ABC i se prelungesc laturile a, b, c cu segmentele CB’ = a, AC’ = b si BA’ = c, cum se vede in figura R.7. Se obtine un nou triunghi A’B’C’. Daca stergem cu radiera triunghiul initial ramane numai triunghiul A’B’C’. Construiti din nou triunghiul ABC. (Olimpiada R.F.G. 1977)

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 28

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 29

Prelungim C’C pana intersecteaza pe A’B’ in E. Prin B ducem paralela la CE, BF. CE este linie mijlocie in triunghiul BB’F iar BF este linie mijlocie in triunghiul AA’E, deci punctele E si F impart segmentul A’B’ in  trei parti egale. Procedam la fel si pentru celelalte laturi. Daca stergem triunghiul ABC il putem reface unind varfurile cu punctele obtinute si considerand intersectiile segmentelor.

28. Un trapez isoscel cu baza mica AB = 2a si baza mare DC = 2b, este circumscris unui cerc. Se cere aria trapezului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 30

Tangentele duse dintr-un punct exterior la un cerc sunt congruente =>

BM=BE=a ;CE=CN=b;

In triunghiul ADP, DP= \frac{DC-AB}{2}=\frac{2b-2a}{2}=b-a

Calculam inaltimea trapezului aplicand teorema lui Pitagora:

h^2=\left(a+b\right)^2-\left(b-a\right)^2=4ab=> h=2\sqrt{ab}

S_{trapez}=\frac{\left(2b+2a\right)2\sqrt{ab}}{2}=2\sqrt{ab}(a+b)

Fie ABCD un patrulater convex cu diagonalele AC = 3, BD = 4

29. Fie M un punct pe AB, MN∥BD, (N∈AD), NP∥AC (P∈CD), PQ∥BD, (Q∈BC), QM’∥AC (M’∈AB). Demonstrati ca M si M’ coincid. Calculati laturile lui MNPQ in cazul in care el este romb.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 31

Pentru a demonstra ca M si M’ coincid trebuie sa demonstram ca MQ∥AC, deoarece printr-un punct exterior unei drepte putem duce o singura paralela la dreapta data.

MN∥BD; PQ∥BD=>MN∥PQ

NM∥BD=>⊿NAM∼⊿DAB => \frac{AN}{AD}=\frac{AM}{AB}=> {\color{Blue} \frac{AN}{ND}}={\color{Orange} \frac{AM}{MB}};(1)

NP∥AC=>⊿PDN∼⊿CDA => \frac{DN}{AD}=\frac{DP}{DC}=> {\color{Blue} \frac{ND}{AN}}={\color{Green} \frac{DP}{PC}};(2)

PQ∥DB=>⊿PQC∼⊿BCD => \frac{CQ}{CB}=\frac{PC}{DC}=> {\color{Orange} \frac{CQ}{QB}}={\color{Green} \frac{CP}{DP}};(3)

\ \left(1\right),\ \left(2\right),\ \left(3\right)=>\frac{AM}{MB}=\frac{CQ}{QB} =>⊿MBQ∼⊿ABC=>MQ∥AC=>M=M’

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 32

In cazul in care este romb, toate laturile sale sunt congruente,ceea ce semnifica conform punctului anterior:

\frac{AN}{ND}=\frac{ND}{AN}=>N este mijlocul laturii AD. Analog pentru toate celelalte puncte => laturile rombului sunt linii mijlocii => MN=PQ=\frac{BD}{2}=2; NP=MQ=\frac{AC}{2}=2,5

30. Construiti un triunghi ABC cunoscand raportul \frac{AB}{AC}=\frac{3}{5}, latura BC = 4 si raza cercului circumscris R = 3 cm.

Rezolvare:

Se aplica teorema bisectoarei si faptul ca bisectoarea unghiului A trece prin mijlocul arcului BC.

31. In figura R.8 catetele AB = 3 cm si AC = 4 cm ale triunghiului dreptunghic ABC sunt diametrele a doua semicercuri construite in afara. Sa se calculeze tangenta TS comuna acestora.

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 33

Rezolvare:

OO’ este linie mijlocie in triunghiul BAC =>

OO^\prime=\frac{BC}{2}; \ BC=\sqrt{9+16}=5; OO^\prime=2,5

OT\bot TS;O^\prime S\bot TS;TOO\prime S este trapez.

{TS}^2={OO^\prime}^2-\left(SO^\prime-TO\right)^2= 6,25-\left(2-1,5\right)^2=6=> TS=\sqrt6=2,45

32. Se da triunghiul ABC si un punct D mobil pe latura BC. Fie O si O’ centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor ABD si ACD.

  1. Sa se arate ca raportul razelor acestor cercuri este constant cand D parcurge interiorul laturii BC.
  2. Care este pozitia lui D pentru ca razele cercurilor sa fie minime?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 34

m(∢BDA)=\frac{m\widehat{AB}}{2} = 180°-m(∢AOB);

m(∢ADC)=\frac{m\widehat{AC}}{2} = m(∢ACD);

m(∢BDA)+m(∢ADC)=180°=>∢AOB≡∢AO’C

=>⊿AOB∼⊿AO’C => \frac{R}{R^\prime}=\frac{AB}{AC}

Razele sunt minime cand AD este inaltime in triunghiul ABC.

33. In figura R.9 ABC este un triunghi echilateral si se construiesc in afara lui, pe laturi ca diametre, semicercuri. Un cerc este tangent la toate aceste semicercuri. Sa se afle aria portiunii hasurate in functie de l, latura triunghiului echilateral.

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 35

Rezolvare:

Suprafata cautata este suprafata cercului mare care are raza egala cu apotema cercului circumscris triunghiului + l/2 din care se scade suprafata triunghiului si a celor 3 semicercuri:

S_{hasurata}= \pi{\cdot\left(\frac{l}{2}+\frac{l}{2\sqrt3}\right)}^2-\frac{l^2\sqrt3}{4}- 3\cdot\frac{\pi l^2}{4}= \pi l\frac{4\sqrt3-l}{12}-\frac{l^2\sqrt3}{4}

34.Pe laturile unui triunghi echilateral ca coarde si tangente la celelalte laturi, se construiesc trei arce de cerc ca in figura R.10. Sa se calculeze aria hasurata in functie de l, latura triunghiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 36

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 37

Calculam aria portiunii hasurate din figura de mai sus ca diferenta a ariei sectorului de cerc minus aria triunghiului OAB:

{OB}^2={OM}^2+{BM}^2; \ R^2=\frac{R^2}{4}+\frac{l^2}{4}=> 3R^2=l^2;R=\frac{l\sqrt3}{3}; \ S_{hasurata}=\frac{\pi l^2}{3}\cdot\frac{1}{3}- \frac{l}{2\sqrt3}\cdot\frac{l}{2}\cdot\frac{1}{2} =\frac{\pi l^2}{9}-\frac{l^2}{8\sqrt3}

S_{mare\ hasurata}= S_{hasurata}\cdot3-S_{ABC}= \frac{\pi l^2}{3}-\frac{{3l}^2}{8\sqrt3}-\frac{{\sqrt3l}^2}{4}

35. Dintr-un triunghi dreptunghic cu laturile b, c, sa se “decupeze” cercul inscris. Se cere aria ramasa din triunghi.

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 38

Rezolvare:

r=\frac{b+c-\sqrt{b^2+c^2}}{2}

S_{hasurata}=\frac{bc}{2}- \pi{(\frac{b+c-\sqrt{b^2+c^2}}{2})}^2

36. Pe laturile AB si CD ale patrulaterului convex ABCD se iau segmentele AM = NB, DP = QC. Sa se arate ca daca ariile lui AMPD si NBCQ sunt egale, patrulaterul ABCD este trapez. (fig. R.12)

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 39

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 40

S_{AMPD}=S_{DAP}+S_{MPA}= \frac{1}{2}\cdot AE\cdot DP+\frac{1}{2}\cdot AE\cdot AM= \frac{1}{2}\cdot AE\cdot\left(DP+AM\right)= \frac{1}{2}\cdot AE\cdot\left(QC+NB\right)= S_{QCBN}=S_{QBC}+S_{QBN}= \frac{1}{2}\cdot NF\cdot\left(QC+NB\right)=>  NF=AE,dar NF∥AE=>ANFE paralelogram =>

AB∥DC=>ABCD este trapez.

37.Intr-un cerc dat de centrul O si de raza 2 cm inscriem un dreptunghi variabil ABCD. Pe latura AB luam punctul M. Ducem MN∥AC, (M∈BC); NP∥BD, (P∈CD); PQ∥AC, (Q∈DA). Aratati ca MNPQ este paralelogram si calculati perimetrul sau.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme recapitulative 2 41

MN∥AC∥PQ;

MN∥AC => \frac{BM}{MA}=\frac{BN}{NC};

NP∥DB => \frac{NC}{BN}=\frac{PC}{DP};

PQ∥AC => \frac{DP}{PC}=\frac{DQ}{QA}=> \frac{DQ}{QA}=\frac{BM}{MA}=>

QM∥DB dar PN∥DB=>

QM∥PN=>MNPQ este paralelogram.

AO=OC=OB=OD=2 cm

⊿AQM∼⊿ADB =>\frac{x}{l}=\frac{QM}{4}; ⊿QDP∼⊿ADC =>\frac{L-x}{L}=\frac{QP}{4}=> QM=\frac{4x}{L}; QP=4\cdot\frac{L-x}{L}=> P=2\cdot\left(\frac{4x}{L}+\frac{4L-4x}{L}\right)= \frac{8L}{L}=8

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.