Probleme puterea unui punct fata de un cerc

1.Sa se arate ca puterea unui punct exterior unui cerc fata de acel cerc este egala cu patratul distantei de la acel punct la punctul de contact al tangentei dusa din el la cerc.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 1

Ipoteza: MC tangenta la cerc, AB coarda

Concluzie: MA∙MB=MC2

m(∢CAB)=m(∢ACM)=\inline m\frac{\widehat{(AC)}}{2}

⊿CBM∼⊿ACM (un unghi comun si doua unghiuri congruente) =>

\inline \frac{BM}{CM}=\frac{CM}{AM}=BM∙AM=MC2

2.Tangentele duse la doua cercuri secante dintr-un punct situat pe dreapta ce trece prin cele doua puncte comune celor doua cercuri (si in exteriorul celor doua cercuri) au lungimi egale.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 2

Din problema anterioara => BM∙AM=MN2 si BM∙AM=MP2

=>MN2=MP2=MN=MP

3.Daca un punct are puteri egale fata de doua cercuri secante, atunci el este situat pe dreapta ce uneste cele doua puncte comune celor doua cercuri.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 3

Unim pe M cu P, unul din punctele comune si calculam puterea lui M fata de cele doua cercuri.

MA∙MB=MS∙MP;MC∙MD=MT∙MP

Dar MA∙MB=MC∙MD=MT=MS deci S este celalalt punct de intersectie al celor doua cercuri

4.Care este locul geometric al punctelor ce au puteri egale fata de doua cercuri tangente?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 4

MA∙MB=MC∙MD

Unim pe M cu punctul de tangenta si obtine relatiile:

MA∙MB=MC∙MD=MT2 => M apartine tangentei comune in punctul de tangenta.

5.Trei cercuri cu centrele necoliniare sunt secante doua cate doua. Sa se arate ca cele trei coarde comune sunt concurente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 5

Din problema 3 stim ca daca un punct are puteri egale fata de doua cercuri secante, atunci el este situat pe dreapta ce uneste cele doua puncte comune celor doua cercuri. Fie M un astfel de punct pentru cercurile C(O) si C(O’).

Dar E si F sunt situate si ele pe O’ iar D si C pe O’’ =>

MA∙MB=ME∙MF=MD∙MC=>  M are puteri egale si pentru cercurile O’ si O’’ si pentru O si O’’ => el apartine intersectiei coardelor.

6.Se dau doua segmente u, v. Construiti un segment de lungime \inline \sqrt{uv}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 6

Construim un cerc, iar in exteriorul sau luam un punct M astfel incat MA=u;MB=v, A si B apartinand cercului. Prin M ducem tangenta la cerc care intersecteaza cercul in T. Conform puterii lui M fata de cerc MA∙MB=MT2 => \inline MT=\sqrt{u\cdot v}

7.Se dau punctele A, B si o dreapta d. Sa se construiasca un cerc care trece prin A, B si este tangent dreptei d (A, B sunt in acelasi semiplan fata de dreapta d). Cate solutii are in general problema? Care este cazul de exceptie?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 7

Unim pe A cu B si prelungim pe AB pana se intersecteaza cu dreapta d. Punctul de intersectie il vom nota cu M. Punctul de tangenta al dreptei d cu cercul se va afla la distanta \inline \sqrt{MA\cdot M B} pe d. (aici putem considera doua sensuri, deci vom avea doua solutii) Ducem perpendiculara in T pe dreapta d si mediatoarea segmentului AB. Punctul de intersectie va fi centrul cercului.

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 8

Daca AB∥d, ducem mediatoarea segmentului AB pana se intersecteaza cu d, iar centrul cercului va fi la 1/3 din distanta segmentului nou obtinut fata de punctul de intersectie cu drapta d. In acest caz, avem o singura solutie.

8. Dati o noua demonstratie teoremei conform careia daca printr-un punct fix M, nesituat pe un cerc dat, ducem o secanta ce intersecteaza cercul in A, B, atunci produsul MA ∙ MB este acelasi pentru toate secantele ce trec prin M, in cazul in care M este exterior cercului, aratand asemanarea altei perechi de triunghiuri decat cea considerata in demonstratia data.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 9

ABDC este un patrulater inscris in cerc. m(∢BDC)+m(∢BAC)=180°

Dar si m(∢BAC)+m(∢CAM)=180°=> ∢BDC≡∢CAM=>

⊿AMC∼⊿DMB (∢AMC≡∢DMB unghi comun si doua unghiuri congruente) =>

\inline \frac{AM}{MD}=\frac{MC}{MB}=AM∙MB=MD∙MC

9.Dati o noua demonstratie teoremei: daca intr-un patrulater convex diagonalele formeaza cu doua laturi opuse unghiuri congruente, atunci unghiurile opuse ale patrulaterului sunt suplementare. Nu se va folosi nicaieri in demonstratie notiunea de cerc!

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 10

Ipoteza: ∢DAC≡∢DBC

Concluzie: m(DAB)+m(BCD)=180°

∢DAC≡∢DBC, dar si ∢AMD≡∢BMC=> in ⊿AMD,⊿BMC stiind ca suma unghiurilor unui triunghi este de 180°, ∢MDA≡∢MCB

⊿AMD∼⊿BMC, \inline \frac{AM}{MB}=\frac{DM}{MB}=>\frac{AM}{DM}=\frac{BM}{MC}

Stiind ca si ∢AMB≡∢CMD (unghiuri opuse la varf) =>

⊿AMB∼⊿DMC (avand cate un unghi congruent si laturile care il formeaza proportionale) =>∢CAB≡∢BDC;∢MBA≡∢DCM

m(∢ADB)+m(∢DAC)+m(∢CAB)+m(∢ABD)=180°

(suma unghiurilor unui triunghi)

m(∢ACB)+m(∢DAC)+m(∢CAB)+m(∢ACD)=

m(∢DAB)+m(∢DCB)=180°

m(∢ADB)+m(∢BDC)+m(∢DCA)+m(∢DAC)=180°

(suma unghiurilor unui triunghi)

m(∢ADB)+m(∢BDC)+m(∢CBD)+m(∢ABD)=

m(∢ADC)+m(∢ABC)=180°

10.Se considera un cerc, un punct fix M nesituat pe acel cerc si un numar (pozitiv) k. Se considera un punct A pe cerc si punctul B de pe segmentul MA pentru care MA ∙ MB = k. Care este locul geometric a lui B cand A parcurge cercul?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 11

Ducem din M tangentele la cercul dat care intersecteaza cercul in punctele T, respectiv T’. Ducem prin o dreapta BU, U apartinand segmentului MT astfel incat  avand unghiurile congruente.

\inline \frac{AB}{UT}=\frac{UM}{AM} => AB∙AM=UT∙UM => UM = \inline \frac{k}{UT}

UM este constanta, M fiind fix, => pozitia lui U este fixa. Similar gasim si punctul U’ pe cealalta tangenta. In timp ce A se deplaseaza pe cerc, B va descrie si el un cerc cu diametrul UU’ (acestea fiind pozitiile extreme delimitate de tangente.)

11.Care este locul geometric din problema 10, in cazul cand M se afla pe cerc?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme puterea unui punct fata de un cerc 12

Ducem diametrul MN si consideram pe el un punct P astfel incat .

\inline \bigtriangleup AMN\equiv \bigtriangleup PMB (avand unghiurile congruente) =>

\inline \frac{AM}{MP}=\frac{MN}{MB}

=> AM∙MB=MP∙MN => MP∙2R=k =>

MP este constant, deci B se afla pe perpendiculara in punctul P.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.