Probleme: puncte, drepte, plane

1. Fie A, B, C, D patru puncte necoplanare.

  1. Pot fi coliniare? Justificati raspunsul.
  2. Uninudu-le doua cate doua, cate astfel de drepte se pot duce?

Rezolvare:

Toate patru nu pot fi coliniare, deoarece in acest caz ar fi coplanare.

AB; BC; CD; AD; AC; BD => 6 drepte.

2. Dandu-se patru puncte, dintre care oricare trei sunt coliniare, cate drepte determinate de cate doua dintre ele se pot duce? (In loc de “se pot duce” putem spune “exista”, deoarece uneori nu le vom desena ci numai vom demonstra ca ele sunt determinate.)

Rezolvare:

Daca A, B, C sunt coliniare si B, C, D sunt coliniare => A, B, C, D sunt coliniare, deci o singura dreapta.

3. Din patru puncte date, exact trei sunt coliniare.

  1. Cate plane diferite, care sa contina trei dintre ele, necoliniare, exista?
  2. Cate plane care sa contina trei dintre ele exista?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: puncte, drepte, plane 1

Trei puncte coliniare determina o dreapta, deci exista un singur plan care sa contina doua puncte coliniare si unul necoliniar, deoarece o dreapta si un punct exterior ei determina un plan.

O infinitate.

4. Fie d si g, doua drepte coplanare. Fie A un punct apartinand lui d si B un punct apartinand lui g. Sa se arate ca M, mijlocul segmentului AB, se afla in planul determinat de d si g.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: puncte, drepte, plane 2

P4. Daca doua drepte distincte A si B sunt situate intr-un plan, dreapta determinata de ele are toate punctele in acest plan. => M∈α

5. Intr-un plan α sunt date punctele distincte M_1,\ M_2,\ M_3,\ M_4,M_5,M_6 si in afara lui, un punct, M_7. 

  1. Care este cel mai mic numar de plane, exceptand planul α , determinate de trei dintre ele si in ce situatie se obtine?
  2. Dar cel mai mare?
  3. Exista numai trei astfel de plane?

Rezolvare:

Un singur plan, in situatia in care M_1,\ M_2,\ M_3,\ M_4,M_5,M_6 sunt coliniare. Spre exemplu, planul determinat de M_7 cu M_1 si M_2 contine si toate celelalte puncte.

Cel mai mare numar de plane se obtine cand oricare trei puncte coplanare sunt necoliniare, fiind 15.

Nu.

Intr-un plan  sunt date 6 puncte distincte M_1,\ M_2,\ M_3,\ M_4,M_5,M_6 si in afara lui, un punct, M_7. 

  1. Care este cel mai mic numar de drepte, care sa treaca prin cel putin doua dintre ele?
  2. Dar cel mai mare numar?

Rezolvare:

Sapte drepte in cazul in care M_1,\ M_2,\ M_3,\ M_4,M_5,M_6 sunt coliniare.

Cel mai mare numar de plane se obtine cand oricare trei puncte coplanare sunt necoliniare, fiind 6 in planul dat si inca 15, deci 21.

7. In figura 13, punctele A si B nu sunt situate in planul . Daca {P}=AB∩α si Q un punct oarecare al planului α, sa se arate ca PA-PB≥|QA-QB|.

Matematica Capacitate Probleme: puncte, drepte, plane 3
fig. 1 13

Rezolvare:

Pe dreapta AB avem PA – PB = AB

In ⊿AQB, AB>|QA-QB|

Matematica Capacitate Probleme: puncte, drepte, plane 4

8. Se dau dreptele paralele d si g. Sa se arate ca toate dreptele care au un punct comun cu d si unul cu g sunt continute in planul determinat de d si g.

Rezolvare:

Daca A∈d;B∈g,dreapta AB este situata in planul determinat d si g.

9. Daca dreapta d1 este coplanara cu d2 si d2 este coplanara cu d3, rezulta ca si d1 si d3 sunt coplanare?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: puncte, drepte, plane 5

In general nu.

10.Dandu-se doua drepte concurente d si g, sa se gaseasca locul geometric al punctelor dreptelor care se sprijina pe d si sunt paralele cu g (prin “se sprijina” intelegem ca au un punct comun cu d).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: puncte, drepte, plane 6

Este planul determinat de dreptele d si g.

11. Se da un punct fix A si dreapta d. Sa se gaseasca locul geometric al punctelor dreptelor care trec prin A si printr-un punct mobil B∈d.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: puncte, drepte, plane 7

Planul determinat de punctul A si dreapta d, mai putin semidreptele care trec prin A si sunt paralele cu d.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.