Probleme: Proiectii. Proiectii pe un plan.

1. Trei puncte coliniare A, B, C se proiecteaza pe un plan in A’, B’, C’. Sa se demonstreze ca \frac{AB}{BC}=\frac{A^\prime B^\prime}{B^\prime C^\prime}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Proiectii. Proiectii pe un plan. 1

Se demonstreaza formarea unor dreptunghiuri sau poriectantele sunt drepte paralele si determina pe secante segmente proportionale.

2. Fie ABC un triunghi si A’B’C’ proiectia lui pe un plan α. Daca sunt mijloacele segmentelor BC, CA, AB, atunci aceste trei puncte se proiecteaza, pe α, in mijloacele segmentelor B’C’, C’A’, A’B’.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Proiectii. Proiectii pe un plan. 2

Proiectantele AA’, BB’, CC’ sunt paralele si deci determina, pe orice secanta, segmente proportionale.

3. Fie a, b doua drepte paralele. Ce puteti spune despre proiectiile lor, a’ si b’, pe un acelasi plan?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Proiectii. Proiectii pe un plan. 3

Daca planul celor doua drepte paralele este paralel cu planul initial atunci proiectiile vor fi doua drepte paralele, daca este perpendicular pe plan, ele vor genera o singura dreapta, dreapta de intersectie a celor doua planuri.

4. Se proiecteaza un triunghi oarecare ABC pe un plan α in A’B’C’. Sa se demonstreze ca proiectia centrului de greutate G al triunghiului ABC este centrul de greutate G al triunghiului A’B’C’.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Proiectii. Proiectii pe un plan. 4

Medianele triunghiului ABC se proiecteaza pe medianele lui A’B’C’, deci punctul lor de intersectie se va afla in acelasi loc.

5. Triunghiul echilateral ABC (AB = a) are latura BC continuta in planul α, iar A’ este proiectia lui A pe α. Stiind ca m(∢BA’C)=90°, sa se calculeze tg(∢A’BA).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Proiectii. Proiectii pe un plan. 5

{A^\prime B}^2={A^\prime C}^2= a^2-{AA^\prime}^2=>

⊿BA’C este dreptunghic isoscel =>

A^\prime B=A^\prime C=\frac{a\sqrt2}{2}=> {AA^\prime}^2=a^2-\frac{a^2}{2}=\frac{a\sqrt2}{2}=>

tg(∢A’BA)=\frac{AA^\prime}{BA^\prime}=1

6. Unghiul AOB are masura de 90° si latura OA paralela cu planul α. Daca A’, O, B’ sunt proiectiile punctelor A, O, B pe α, aratati ca m(∢A’O’B’)=90°.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Proiectii. Proiectii pe un plan. 6

Consideram planul β care contine dreapta OA si este paralel cu planul unghiului OAB. Ducem din B perpendiculara BM pe planul β; OM⊥OA conform teoremei celor trei perpendiculare.

OM⊂β; β∥α => OM∥α => OM∥O’B’;

Unghiurile ∢MOA; ∢B’O’A’ sunt unghiuri cu laturile paralele, deci sunt congruente.

7. Triunghiul isoscel ABC (AB≡AC) are punctul B in planul α, iar C si A de aceeasi parte a planului α. Fie A’ si C’ proiectiile punctelor A si C pe α. Stiind ca triunghiurile AA’B si A’BC’ sunt dreptunghice si isoscele (A’B≡BC’; A’B=a), sa se calculeze lungimea segmentului CC’.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Proiectii. Proiectii pe un plan. 7

AB≡AC;  AA’=A’B=BC’=a; AB=a\sqrt2=A\prime C\prime

AA’C’C este dreptunghi => A^\prime C^\prime=AC=a\sqrt2

8. Triunghiul isoscel ABC se proiecteaza pe planul α, ce contine pe BC, dupa triunghiul dreptunghic A’BC. Stiind ca A’B = 4 cm, A’C = 3 cm, sa se calculeze:

  • Cosinusul unghiului ABC;
  • Lungimea laturii necongruente cu celelalte ale triunghiului ABC.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Proiectii. Proiectii pe un plan. 8

{BC}^2=16+9=25; BC=5; A^\prime M\bot BC; {A\prime M}^2= {A^\prime B}^2-{MB}^2= {A^\prime C}^2-\left(BC-MB\right)^2=> 16-{MB}^2= 9-25-{MB}^2+10\cdot MB =>MB=\frac{32}{10}= \frac{16}{5}; MC=\frac{9}{5}

{AB}^2={AA^\prime}^2+{A^\prime B}^2= 16+{AA^\prime}^2; {AC}^2=9+{AA^\prime}^2

=>AB≠AC;

Daca AB=BC:

\cos{ABC}=\frac{MB}{AB}=\frac{16}{25};

{AC}^2=25+25-50\ \cos{ABC}= 50-\frac{160}{5}=\frac{90}{5}=18=>

AC=3\sqrt2

Daca AC=BC:

{AM}^2=25-\frac{81}{25}=\frac{544}{25}; {AB}^2=\frac{256}{25}+\frac{544}{25}=32=> AB=4\sqrt2

\cos{ABC}=\frac{MB}{AB}= \frac{16}{5}\cdot\frac{1}{4\sqrt2}=\frac{2\sqrt2}{5}

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.