Probleme: Prisma

1. O prisma hexagonala regulata dreapta are toate muchiile de 2 cm (si muchiile de la baza si muchiile laterale). Sa i se calculeze aria laterala.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Prisma 1

ABB’A’ este romb cu latura de 2 cm => S_{ABB\prime A\prime}=4; \ A_{laterala}=6\cdot S_{ABB^\prime A^\prime}=24.

2. Pe muchiile AA’, BB’ si CC’ ale unei prisme triunghiulare ABCA’B’C’, alegem punctele M, N, P.

  1. Sa se arate ca daca G este punctul de intalnire al medianelor triunghiului ABC, iar S cel al medianelor triunghiului MNP, GS∥AA’.
  2. Cunoscand ca AM = 6 cm, BN = 8 cm, CP = 10 cm, sa se calculeze GS.
  3. Sa se rezolve problema in cazul AM = a, BN = b, CP = c.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Prisma 2

PC∥MA;MT=TP;AU=UC=>MPCAtrapez iar  este linie mijlocie

UT∥MA∥CP;MA∥NP=>UT∥NP=>TNBUeste trapez;

\frac{BC}{GU}=\frac{NS}{ST}=\frac{2}{3}=> GS∥NB∥AA’

UT=\frac{PC+MA}{2}=8\ cm

UT=BN, UT∥NP=>TNBU este paralelogram => GS=8 cm

UT=\frac{a+b}{2}

Matematica Capacitate Probleme: Prisma 3

u=\frac{c+t}{2}; t=\frac{u+\frac{a+b}{2}}{2}=> t=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{c+t}{2}+\frac{a+b}{2}\right)= \frac{1}{4}\cdot\left(c+t+a+b\right) =>4\cdot t=c+t+a+b =>3\cdot t=a+b+c => t=\frac{a+b+c}{3}

3. Fie ABCDA’B’C’D’ un paralelipiped. Sa se arate ca mijloacele muchiilor AA’, A’B’, B’C’, C’C, CD si DA sunt coplanare si formeaza un hexagon cu laturile opuse paralele si congruente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Prisma 4

MN\parallel AB^\prime; MN=\frac{AB^\prime}{2}; RQ\parallel DC^\prime; RQ=\frac{DC^\prime}{2};

DC’∥AB’; DC’=AB’ => RQ∥MN; RQ=MN=>

MNQR este paralelogram

P se afla la intersectia planurilor A’B’C’D’ cu planul BCC’B’ determinand planul NPQ => Q apartine planului determinat de paralelogramul MNQR si de asemenea, si S.

Similar si celelalte laturi ale hexagonului sunt linii mijlocii in triunghiuri determinate de laturile paralelogramelor si diagonalele acestora, deci sunt congruente si paralele.

4. Sa se descrie toate tipurile de sectiuni ale unei prisme triunghiulare cu un plan.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Prisma 5

Triunghi, patrulater sau pentagon.

5. Aceeasi problema pentru o prisma patrulatera.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Prisma 6

Triunghi, patrulater, pentagon, hexagon.

6. Fie ABCDA’B’C’D’ un paralelipiped dreptunghic. Fie N mijlocul lui AB, P al lui BC, M al lui A’D’, R al lui D’C’. Sa se arate ca:

  • MR si NP sunt congruente si paralele.
  • MN si RP sunt paralele.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Prisma 7

D’M=MA’; D’R=RC’ => MR ∥A’C’;  MR=\frac{A^\prime C^\prime}{2};

BN=NA; BP=PC => NP∥AC; NP=\frac{AC}{2};=>

NP=MR; NP∥MR => MNRPparalelogram =>MN∥RP

7. Fie ABCDA’B’C’D’ un paralelipiped. Prin punctul O de intersectie a dreptelor AC’ si A’C ducem un plan oarecare α. Sa se demonstreze ca suma distantelor varfurilor unei baze la planul α este egala cu suma distantelor varfurilor celeilalte baze la α.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Prisma 8

Matematica Capacitate Probleme: Prisma 9

C’Q∥NP; PC’∥NQ => PNQC paralelogram =>PN=C’Q

Suma distantelor de la oricare din varfuri la cele doua baze este egala cu inaltimea paralelipipedului.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.