Probleme: Pozitiile relative a trei plane

1. Doua drepte paralele cu acelasi plan sunt neaparat paralele intre ele?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Pozitiile relative a trei plane 1

Considerand in figura de mai sus planul α∥β, a∈α, b∈α=>a∥β;b∥β dar a∦b.

2. Se dau doua drepte necoplanare si un punct C. Sa se duca prin C o dreapta coplanara atat cu a cat si cu b.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Pozitiile relative a trei plane 2

Dreapta a si punctul C determina un plan, iar dreapta b si punctul C determina alt plan. Avand punctul C in comun inseamna ca cele doua planuri se intersecteaza iar intersectia lor este o dreapta care trece prin C. Aceasta dreapta este coplanara atat cu a cat si cu b.

3. Daca dreptele d si g sunt paralele si g este paralela cu planul α, atunci si dreapta d este paralela cu planul α (sau continuta in el).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Pozitiile relative a trei plane 3

Presupunem ca dreapta d are un punct comun cu planul α, dar in acest caz, g fiind paralela cu d, d este continuta in planul α. In caz contrar inseamna ca nu are niciun punct comun cu planul α, deci este paralela cu el.

4. Dandu-se punctele A, B, C, D necoplanare, segmentele AB, BC, CD, DA alcatuiesc ceea ce se cheama un patrulater stramb; AC si BC sunt diagonalele lui. Intersectand laturile sale cu un plan paralel cu o diagonala, stabiliti natura poligonului convex cu varfurile in aceste puncte de intersectie.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Pozitiile relative a trei plane 4

Sa presupunem ca planul α∥BD. Planul  va intersecta planul (ABD) dupa o dreapta paralela cu BD. Deci MQ∥BD. In mod similar NP∥BD =>

MQ∥NP=>MNPQ este trapez.

5. Daca doua drepte paralele a si b sunt intersectate de un plan variabil, in punctele A, respectiv B, sa se gaseasca locul geometric al mijlocului segmentului AB.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Pozitiile relative a trei plane 5

Segmentul AB apartine planului determinat de dreptele a si b. Problema s-a redus la o problema de geometrie in plan, iar locul geometric este o dreapta paralela situata la distanta egala de dreptele a si b.

6. Prin doua drepte paralele d si g trec doua plane α si β intersectate de un al treilea plan γ. In ce conditii dreptele a=α∩γ si b=β∩γ sunt paralele?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Pozitiile relative a trei plane 6

Daca a∥β.

7. Daca d si g sunt doua drepte necoplanare, atunci exista un plan si numai unul care sa contina pe d si sa fie paralel cu g.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Pozitiile relative a trei plane 7

Fie A un punct oarecare al dreptei d. Punctul A si dreapta g determina un plan β. Prin A ducem in planul β o paralela la g, pe care o notam cu g’. Dreptele g’ si d determina un plan paralel cu g. Cu aceasta am demonstrat existenta. Unicitatea se demonstreaza prin metoda reducerii la absurd.

8. Stim ca un plan intersecteaza doua paralele dupa doua drepte paralele. Formulati o reciproca si cercetati daca este adevarata.

Rezolvare:

“Daca un plan α intersecteaza doua plane β si γ dupa doua drepte paralele, atunci β si γ sunt paralele.” Este o afirmatie falsa. Planele β si γ se pot intalni intr-o dreapta paralela cu α.

9. Doua triunghiuri ABC si ACD au laturile AB si AD continute intr-un plan α. Fie M∈AC, astfel ca AM≡MC. Paralela prin M la AB intersecteaza dreapta BC in punctul N. Paralela prin M la AD intersecteaza dreapta CD in punctul P. Stabiliti pozitia planelor (ABD) si (MNP).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Pozitiile relative a trei plane 8

MN este linie mijlocie in triunghiul BCA=>NM∥AB; NM∥α;

MP este linie mijlocie in triunghiul DCA=>MP∥AD; MP∥α;

AB⊂α;AD⊂α => (ABD)=α => (ABD)∥(MNP)

10. Se dau trei plane paralele α, β, γ si punctele A, B in planul α, iar C, D in planul β. Dreptele AC, BC, BD, AD intersecteaza planul γ in punctele E, F, G, H. Sa se arate ca figura EFGH este un paralelogram.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Pozitiile relative a trei plane 9

Din triunghiurile  si  rezulta ca EF∥AB; HG∥AB => EF∥HG, iar din triunghiurile  si BCD: EH∥CD; FG∥CD => EH∥FG => EFGH paralelogram.

11. Fie A, B, C, D patru puncte necoplanare si M, N, P, Q, R, S, mijloacele segmentelor AB, BC, CD, DA, AC, BD (in aceasta ordine). Sa se arate ca:

  • MNPQ este paralelogram;
  • MRPS este paralelogram;
  • NRQS este paralelogram;
  • Dreptele MP, NQ si RS sunt concurente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Pozitiile relative a trei plane 10

MN\parallel AC; MN=\frac{AC}{2}; PQ\parallel AC; PQ=\frac{AC}{2}

=>MNPQ este paralelogram.

In mod analog, folosind teorema liniei mijlocii in triunghi si celelalte patrulatere sunt paralelograme.

Paralelogramele MNPQ si MRPS au diagonala MP comuna, deci RS trece prin mijlocul lui MP. Analog, MRPS si NRQS au diagonala RS comuna, deci NQ trece prin mijlocul lui RS. Cum MP, NQ si RS au mijloacele in acelasi punct, rezulta ca sunt concurente.

12. Fie patru puncte necoplanare A, B, C, D si M, N, P, Q mijloacele respective ale segmentelor AB, BC, CD, DA. Aratati ca M, N, P, Q sunt coplanare.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Pozitiile relative a trei plane 11

MN este linie mijlocie in triunghiul ABC: MN=\frac{AC}{2} (1)

PQ este linie mijlocie in triunghiul DAC: PQ=\frac{AC}{2} (2)

Din (1) si (2) => MN = PQ

Analog se demonstreaza ca: MQ∥NP;MQ=MP

13. Doua plane paralele cu doua drepte coplanare sunt paralele intre ele? Adaugati o conditie in enunt pentru ca el sa devina afirmativ.

Rezolvare:

Nu neaparat. Pot fi ambele paralele cu doua drepte paralele. Ele se pot intersecta dupa o dreapta paralela cu dreptele. Daca adaugam conditia ca dreptele initiale sa nu fie paralele, afirmatia devine adevarata.

14. Se dau dreptele a paralela cu b si c neparalela cu ele si necoplanara cu nici una din ele. Punctul A parcurge dreapta c. Planele determinate de a si A si de b si A se intersecteaza dupa o dreapta d. Aflati locul geometric al punctelor dreptei d.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Pozitiile relative a trei plane 12

d∥a;d∥b iar c are un punct comun cu A => locul geometric este planul determinat de d si c, deci planul care contine pe c si este paralel cu a si cu b.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.