Probleme poligoane regulate

1.In triunghiul echilateral ABC de latura a (fig. 2.29) se iau punctele N,M\in AB,N^\prime,P^\prime\in AC. Determinati x in functie de a astfel ca hexagonul MM’PP’N’N sa fie regulat.

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 1

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 2

In cazul unui hexagon regulat, unghiurile sale vor avea masura de 120°. =>

m(∢NMM’ )=120°=>m(∢AMM’ )=60°=>⊿AMM’ este echilateral.

De asemenea, toate triunghiurile din figura sunt echilaterale si congruente.=>

AM=NM=NB=x=\frac{a}{3}

2.Patratului din figura 2.30, de latura a i se “taie colturile” in asa fel incat “sa ramana” un octogon regulat. Sa se calculeze latura x a octogonului in functie de latura a patratului.

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 3

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 4

Unghiul unui octogon regulat este de 135° =>

m(∢AUM)=m(∢AMU)=45°=>⊿UAMeste dreptunghic isoscel.

m(∢DTS)=m(∢TSD)=45°=>⊿TDS este dreptunghic isoscel.

UM=UT=TS; AD=UA+UT+TD= \sqrt{\frac{x^2}{2}}+x+\sqrt{\frac{x^2}{2}}= x+\frac{2x}{\sqrt2}= x\left(1+\sqrt2\right)=a=> x=\frac{a}{\left(1+\sqrt2\right)}.

3.Cunoscand l_n si R, calculati a_n.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 5

a_n=\sqrt{R^2-\frac{l_n^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{4R^2-l_n^2}

4.Folosind patratul inscris in cerc de raza R, calculati latura octogonului convex inscris in cerc in functie de R.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 6

Stiind ca latura patratului este R\sqrt2 => l_8=\sqrt{\left(R-R\cdot\frac{\sqrt2}{2}\right)^2+{(R\cdot\frac{\sqrt2}{2})}^2}= R\sqrt{\frac{4+2-4\sqrt2+2}{4}}= R\sqrt{2-\sqrt2}

5.Pe laturile hexagonului ABCDEF se construiesc in afara patrate, si in varfurile hexagonului, cu doua laturi ale acestor patrate ca laturi, triunghiuri echilaterale de tipul lui BHI. Sa se precizeze ce fel de poligon este GHIJKLMNOPRS (fig. 2.31).

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 7

Rezolvare:

Avand toate laturile congruente, este un poligon regulat cu 12 laturi.

6.Precizati natura poligoanelor regulate pentru n=7. Cate “tipuri” de heptagoane stelate exista?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 8

7.Precizati natura poligoanelor regulate corespunzatoare impartirii cercului in 21 arce egale. Faceti tabelul.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 9

8.Sa se stabileasca masura unui unghi al unui dodecagon regulat convex. (n=12).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 10

Unghiul la centru corespunzator unei laturi are 30°. Deci unghiul dodecagon are \frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}\cdot 2=150^{\circ}.

9.Daca un poligon are toate laturile congruente este oare regulat?

Rezolvare:

Nu. Rombul are toate laturile congruente si nu este un poligon regulat.

10.Daca un poligon are toate unghiurile congruente este oare regulat?

Rezolvare:

Nu. Dreptunghiul are toate unghiurile congruente si nu este un poligon regulat.

11.Gasiti numarul diagonalelor unui octogon regulat convex. Era necesar sa precizam ca poligonul este regulat?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 11

Numarul de varfuri / 2 = 4 diagonale.

12.Sa se demonstreze ca in orice poligon regulat convex se poate inscrie un cerc, adica se poate construi un cerc tangent la toate laturile sale. Sa se arate ca centrul cercului inscris coincide cu cel al cercului circumscris poligonului regulat convex.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 12

Toate triunghiurile formate sunt isoscele; avand laturile congruente, putem sa inscriem poligonul regulat convex intr-un cerc, avand raza egala cu latura triunghiurilor. Triunghiurile fiind isoscele si congruente, inaltimile corespunzatoare laturilor poligonului sunt si ele congruente, ele fiind raza cercului inscris.

O problema cu un enunt deosebit. Sa punem intai problema construirii cu rigla si compasul a unui segment de lungime \sqrt{n} unde n este orice numar natural. Stim sa construim pe \sqrt{2} cunoscand segmentul unitate. (fig. 2.32)

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 13

SPIRALA LUI ARHIMEDE. Pe segmentul AB=1 ducem perpendiculara BB1=1. Segmentul AB1=\sqrt{2}. Pe AB1 ducem perpendiculara B1B2=1 si continuam cu acelasi procedeu: B_2B_3\bot AB_2 (B_2B_3=1) etc. Din teorema lui Pitagora rezulta \inline AB_2=\sqrt3, AB_3=\sqrt4=2, AB_4=\sqrt5 etc. Presupunand construit segmentul AB_{n-2}=\sqrt{n-1}, construim AB_{n-1}=\sqrt n. Procedeul duce la construirea lui \sqrt{n} prin “recurenta”, adica folosindu-ne de constructia prealabila a segmentelor \sqrt2,\sqrt3,\ldots,\sqrt{n-1}.

Problema[1]. Dandu-se un cerc de centru O cunoscut, sa se gaseasca numai cu compasul varfurile unui patrat inscris in el.

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 14

Daca reusim, raza R fiind data, sa putem “cuprinde” in compas un segment R\sqrt2 , am reusit constructia (fig.2.33). Ca in orice problema de constructie, sa consideram problema rezolvata: pornind dintr-un punct arbitrar A, consideram varfurile consecutive ale hexagonului regulat inscris in cerc, B, C, D. Deci segmentul AC=R\sqrt3. Cu o deschidere de compas cat AC si centrul in A si apoi in D, trasam doua arce de cerc care se intersecteaza in M. Considerand triunghiul dreptunghic AMO, segmentul OM=R\sqrt2.

Deci construim intai varfurile trapezului A, B, C, D, apoi cu “deschiderea” AC si centrele A, D trasam arcele de cerc care se intersecteaza in M, “prindem” in compas distanta OM si o “purtam” pe cerc de trei ori. Obtinem astfel varfurile patratului cautat.

Problema rezolvata 1. Sa se arate ca daca doua numere pozitive au suma constanta, produsul lor este maxim cand ele sunt egale.

Vom incerca sa gasim o solutie geometrica a acestei probleme. Pentru aceasta putem sa o formulam in felul urmator:

Sa se demonstreze ca din toate dreptunghiurile cu perimetru constant, aria cea mai mare o are patratul.

Comparam patratul ABCD de latura a cu dreptunghiul DEFG cu lungimea DG = a + x si latimea ED = a – x. (fig. 2.34)

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 15

Evident ambele au acelasi perimetru. Cu notatiile din figura, ca sa comparam ariile patratului ABCD cu a dreptunghiului DEFG revine la a preciza care din ariile dreptunghiurilor ABHE si HFGC este mai mare. Ambele dreptunghiuri au cate o latura x. Dreptunghiul II are cealalta latura cu x mai mica decat o are dreptunghiul I. Deci dreptunghiul II are aria mai mica.

Sa spunem si altfel:

Aria lui ABHE este x∙a. Aria dreptunghiului HFGC este x∙(a-x) = ax – x2. Vizibil aria lui EFGD este mai mica decat a patratului ABCD pentru ca ax\geq ax-x^2 solutie evidenta. (Egalitate am avea daca x = 0).

Problema rezolvata 2. Sa se arate ca daca doua numere pozitive au produsul constant, suma lor este minima cand ele sunt egale.

Vom porni de la problema precedenta: in figura pe care am facut-o pentru ca s-o rezolvam, patratul ABCD si dreptunghiul DGFE au acelasi perimetru si ariile difera pentru ca dreptunghiul (II) este mai mic decat dreptunghiul (I). Deci adaugam la dreptunghiul II dreptunghiul cu interior hasurat (III) FBMG astfel incat dreptunghiul (I) si dreptunghiul CMNH sa devina echivalente. (fig. 2.35).

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 16

Deci patratul ABCD si dreptunghiul EDMN sunt echivalente (produsele DM ∙ MN si AB ∙ AD sunt egale), dar perimetrele lor difera, cel al patratului este mai mic deci 2\cdot(DM+MN)\geq2\cdot(AB+AD).

O alta solutie la aceasta problema se poate da prin puterea punctului interior: dintre toate corzile care trec prin M, in cercul de centru O, cea mai scurta este AB\bot OM (fig. 2.35).

Matematica Capacitate Probleme poligoane regulate 17

Intr-adevar oricare alta coarda A’B’ care trece prin M are distanta ON < OM deci B^\prime N^2=R^2-ON^2> R^2-OM^2=BM^2  deci 2\cdot B^\prime N^2>2\cdot BM, deci A^\prime B^\prime>AB adica B^\prime M+MA^\prime>AM+MB. Dar aplicand puterea punctului M,AM\cdot MB=A^\prime M\cdot MB^\prime=  constant si problema este demonstrata!

[1]Problema data la etapa pe municipiul Bucuresti a Olimpiadei din 1978.

 

 

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.