Probleme: Peprendicularitate in spatiu

1. Dreptunghiul ABCD cu laturile AB = 3 cm, BC = 12 cm, se indoaie de-a lungul dreptei MN (M mijlocul lui AD, N mijlocul lui BC), pana cand AMB si DCN devin perpendiculare. Sa se afle lungimea segmentului BD dupa indoire.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Peprendicularitate in spatiu 1

BN⊥(NDC); BN=\frac{BC}{2}=6\ cm;

Aplicam teorema lui Pitagora in ⊿NDC:

{ND}^2={NC}^2+{CD}^2=36+9=45;

BN⊥(NDC)=>BN⊥ND

Aplicam teorema lui Pitagora in ⊿BND:

{BD}^2={BN}^2+{ND}^2=36+45=81=>BD=9

2. Un trapez isoscel ABCD are baza mare AB = 22 cm, baza mica CD = 10 cm si latura neparalela egala cu 10 cm. Se indoaie trapezul de-a lungul liniei mijlocii MN, pana cand planele (ABM) si (DCN) devin perpendiculare. Sa se afle distanta, dupa indoire, de la punctul D pana la baza AB.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Peprendicularitate in spatiu 2

Ducem DP⊥MN;PT⊥AB;

MN=\frac{DC+AB}{2}=\frac{22+10}{2}=16

MP=\frac{MN-DC}{2}=3; DM=\frac{AD}{2}=5

Aplicam teorema lui Pitagora in ⊿DPM:

{DM}^2={DP}^2+{MP}^2= 25+9=34=> DM=\sqrt{34}

PT este inaltime in trapezul ABNM =>

{PT}^2={AM}^2+\left(\frac{AB-MN}{2}\right)^2= 25+9=34 =>PT=\sqrt{34}

DP⊥MN, DP⊥(ABN)=>DP⊥PT

Aplicam teorema lui Pitagora in ⊿DPT: {DT}^2={DP}^2+{PT}^2=68 =>DT=2\sqrt{17}

3. Dreptunghiul ABCD se indoaie de-a lungul diagonalei AC, pana cand planele ACB si ACD devin perpendiculare. Daca AB = 3 cm si BC = 4 cm, sa se afle lungimea segmentului BD dupa indoire.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Peprendicularitate in spatiu 3

Aplicam teorema lui Pitagora in ⊿ADC:

{AC}^2={AD}^2+{CD}^2 =16+9=25=>AC=5

Aplicam teorema lui Pitagora in ⊿AMB:

{AB}^2={MB}^2+{AM}^2 =>{MB}^2=9-{AM}^2

Aplicam teorema lui Pitagora in ⊿BCM:

{CB}^2={MC}^2+{MB}^2=>{MB}^2 =16-\left(5-AM\right)^2;

{MB}^2=9-{AM}^2= 16-\left(5-AM\right)^2;

9-{AM}^2=16-25-{AM}^2+10\cdot AM; 10\cdot AM=18=>AM=\frac{9}{5};

MB=\sqrt{9-\frac{81}{25}}=\frac{12}{5}

Aplicam teorema lui Pitagora in ⊿MDN:

{MD}^2={MN}^2+{ND}^2= \left(AC-AM-NC\right)^2+\frac{144}{25}= \frac{49}{25}+\frac{144}{25}= \frac{193}{25};

BM⊥AC, AC⊂(ACD), BM⊥(ACD), BM⊥MD;

Aplicam teorema lui Pitagora in ⊿BMD:

{BD}^2={BM}^2+{MD}^2 =>BD=\sqrt{\frac{193}{25}+\frac{144}{25}}= \frac{\sqrt{337}}{5}

4. Un triunghi dreptunghic ABC (m(∢A)=90°) se indoaie de-a lungul inaltimii AD, pana cand planele ABD si ADC devin perpendiculare. Stiind ca AB=2\sqrt6 cm si AC=2\sqrt{10}, sa se calculeze distanta intre punctele B si C dupa indoire.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Peprendicularitate in spatiu 4

Calculam BC inainte de indoire aplicand teorema lui Pitagora:

{BC}^2=24+40=64 =>BD+DC=8

AD este inaltime in triunghiul BAC inainte de indoire.

{AD}^2={AB}^2-{BD}^2= {AC}^2-{DC}^2=> 24-{BD}^2= 40-\left(8-{BD}^2\right)^2;

24-{BD}^2= 40-64-{BD}^2+16\cdot BD;

16\cdot BD=48 =>BD=3; DC=5

{AD}^2=24-9=15; AD=\sqrt{15}

{BM}^2={AB}^2-{AM}^2= {BD}^2-\left(AD-AM\right)^2=>

24-{AM}^2= 9-15-{AM}^2+2\sqrt{15}\cdot AM =>AM=\frac{15}{\sqrt{15}}= \sqrt{15};

BM=3; MD=\sqrt{9-3}=\sqrt6

{CN}^2={AC}^2-{AN}^2= {CD}^2-\left(AD-AN\right)^2=>

40-{AN}^2=25-15-{AN}^2+2\sqrt{15}\cdot AN =>AN=\sqrt{15};

{CN}^2=40-15=25; CN=5

Matematica Capacitate Probleme: Peprendicularitate in spatiu 5

AM=AN=>M=N; {BC}^2={BM}^2+{CN}^2=25+9=34=> BC=\sqrt{34}

5. Doua triunghiuri dreptunghice isoscele ABC, (m(∢A)=90°) si ADC, (m(∢C)=90°) au cateta AC = a comuna si planele perpendiculare. Sa se calculeze lungimea segmentului BD.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Peprendicularitate in spatiu 6

Aplicam teorema lui Pitagora in ⊿ABC: {BC}^2={AC}^2+{AB}^2 =>BC=a\sqrt2;

Aplicam teorema lui Pitagora in ⊿DBC: {DB}^2={DC}^2+{BC}^2 =>DB=a\sqrt3;

6. Fie α si β doua plane perpendiculare si A si B doua puncte (A∈α, B∈β). Stiind ca punctele A, B sunt situate la o distanta de 3 m fata de dreapta de intersectie a celor doua plane si ca B=\ \sqrt{34} m, sa se calculeze distanta intre M si N (picioarele perpendicularelor duse din A si B pe dreapta de intersectie a celor doua plane).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Peprendicularitate in spatiu 7

BN⊥α, AN⊂α;=>BN⊥AN =>{AB}^2={BN}^2+{AN}^2=>

AN=\sqrt{34-9}=5;

{AN}^2={AM}^2+{MN}^2 =>MN=\sqrt{25-9}=4

7. Sa se determine locul geometric al punctelor egal departate de doua drepte paralele.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Peprendicularitate in spatiu 8

Este un plan egal departat de cele doua drepte paralele.

8. Sa se determine locul geometric al punctelor egal departate de doua drepte concurente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Peprendicularitate in spatiu 9

Sunt doua planuri care contin bisectoarele formate de cele doua drepte.

9. Sa se determine locul geometric al punctelor egal departate de doua semiplane marginite de aceeasi dreapta.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Peprendicularitate in spatiu 10

Este un plan care contine dreapta de intersectie a planelor si se numeste “plan bisector”.

10. Daca numim “plan bisector” locul geometric gasit la problema precedenta, atunci, sa se arate ca, fiind date trei plane care au un punct comun, si numai unul, planele bisectoare au o dreapta comuna.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Peprendicularitate in spatiu 11

Consideram planele α, β, γ si notatiile conform figurii. Observam ca se formeaza un triunghi. Planele care contin bisectoarele unghiurilor se intersecteaza in doua puncte: punctul de intersectie al bisectoarelor triunghiului si punctul comun de intersectie a celor trei plane. Aceasta este dreapta cautata.

11. Fie OA, OB, OC trei segmente perpendiculare doua cate doua. Perpendiculara din O pe planul triunghiului ABC cade in punctul de intalnire al inaltimilor triunghiului ABC.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Peprendicularitate in spatiu 12

Fie OH perpendiculara dusa pe planul (ABC). Planul COH este perpendicular pe (ABC). Daca OC’ este perpendicular pe AB, conform reciprocei teoremei celor trei perpendiculare, HC’ este perpendicular pe AB.

12. Un triunghi dreptunghic isoscel ABC (m(∢ABC)=90°) se indoaie de-a lungul inaltimii AA’, pana cand planele triunghiurilor AA’B, AA’C devin perpendiculare. Sa se demonstreze ca triunghiul ABC, obtinut dupa indoire, are un unghi de 60°.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Peprendicularitate in spatiu 13

CA'+A'B=a\sqrt{2\ }; BC inainte de indoire, dar triunghiul fiind dreptunghic isoscel => CA^\prime=AA^\prime=\frac{\sqrt2}{2}a

Aplicam teorema lui Pitagora in ⊿CA’B:

{BC}^2={CA\prime}^2+{A\prime B}^2= \frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}a^2=a^2 =>BC=a

=> Triunghiul ABC dupa indoire este echilateral, deci are toate unghiurile de 60°.

13. In triunghiul ABC, se considera linie mijlocie MN (M∈AB, N∈AC) si secanta AP (P∈BC), AP⋂MN={P’}. Sa se indoaie triunghiul de-a lungul lui MN, astfel incat planele AMN si BMN sa fie perpendiculare. Sa se demonstreze ca triunghiul nou format PP’A este isoscel.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Peprendicularitate in spatiu 14

In triunghiul BAP inainte de indoire, MP’∥BP;AM=BM=>MP’ este linie mijlocie. => AP’=PP, relatie valabila si dupa indoire.

14. Sa se arate ca prin orice dreapta, situata intr-un plan α, trece un plan unic perpendicular pe α.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Peprendicularitate in spatiu 15

Intr-un punct A∈a⊂α, b⊥a Planul (a, b) este cel cautat. Presupunem existenta a doua plane care se intersecteaza cu al treilea, dar aceasta contrazice unicitatea perpendicularei pe dreapta in acest plan.

15. Daca dreptele a si b sunt perpendiculare si daca a⊥α si b⊥β (α si β fiind doua plane), atunci α⊥β.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Peprendicularitate in spatiu 16

Consideram dreapta c inclusa in α, c⊥a=>c∥b;b⊥β=>c⊥β=>β⊥α.

16. Daca o dreapta d este intersectia a doua plane, α si β perpendiculare pe un plan γ, atunci d⊥γ.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Peprendicularitate in spatiu 17

Presupunem ca d nu este perpendicular pe planul γ. Fie A∈d.Ducem din A perpendiculara a pe γ in planul α si perpendiculara b in planul β. Dar dintr-un punct exterior unui plan nu putem duce decat o singura perpendiculara, deci a = b = d.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.