Probleme: Paralelipipedul dreptunghic

1. Un paralelipiped dreptunghic ABCDA’B’C’D’ are dimensiunile AB = 3 cm, BC = 4 cm si AA’ = 12 cm. Sa se calculeze:

  1. Lungimea diagonalei sale.
  2. Distanta de la punctul C la dreapta AC’.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 1

{AC^\prime}^2=144+16+9=169 =>AC^\prime=13;

CM\bot DC; MN\bot AC^\prime =>CN\bot AC^\prime;

 C^\prime D=\sqrt{9+144}=3\sqrt{17};

\ AC=5;

CM=\frac{AC\cdot C C^\prime}{\sqrt{{AC}^2+{CC^\prime}^2}}= \frac{60}{\sqrt{15+144}}=\frac{60}{13}

2. Un paralelipiped drept ABCDA’B’C’D’ are baza ABCD un romb cu latura de 8 cm si unghiul A de 120°. Stiind ca muchia laterala a paralelipipedului este de 6 cm, sa se calculeze:

  1. Aria laterala a paralelipipedului;
  2. Lungimea segmentelor A’C si BD’.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 2

A=4∙6∙8=192 cm2

AC⊥BD; m(∢ABD)=60°

BD=2\cdot\frac{1}{2}\cdot AB=8; AC=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot8= 8\sqrt3

A^\prime C=\sqrt{36+192}= \sqrt{228}=2\sqrt{57}; BD^\prime=\sqrt{36+64}=10

3. Un cub are muchia a. Sa se afle distantele de la varfurile sale la o diagonala.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 3

AD^\prime=BC^\prime= A^\prime B=CD\prime=a\sqrt2; BD^\prime=a\sqrt3;

AP=C\prime N=A^\prime M= CQ=\frac{AD^\prime\cdot A B}{BD^\prime}= \frac{a^2\sqrt2}{a\sqrt3}=\frac{a\sqrt6}{3};

4. Un paralelipiped drept are laturile bazei de 6 cm si 10 cm si unghiul dintre ele de 60°, stiind ca inaltimea paralelipipedului este de 12 cm, sa se afle aria sa totala.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 4

DM=\frac{\sqrt3}{2}\cdot6=3\sqrt3;

S=2\cdot12\cdot10+2\cdot12\cdot6+ 2\cdot2\cdot\frac{1}{2}\cdot3\sqrt3\cdot10= 384+60\sqrt3

5. Fie ABCDA’B’C’D’ un cub (figura 12.7).

  1. Dintre planele determinate de punctele din figura, sa se indice unul care este perpendicular pe muchia AB.
  2. Sa se indice o dreapta determinata de punctele din figura, perpendiculara pe dreapta AC’.
Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 5
fig. 12 7

Rezolvare:

BC⊥AB; B’B⊥AB => (BB’C’C)⊥AB

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 6

CC’⊥DC; CC’⊥BC => CC’⊥(ABCD) => CC’⊥BD;

BD⊥AC; AC⊂(ACC’) => BD⊥(ACC’) => BD⊥AC’

6. Sa se demonstreze ca intr-un cub ABCDA’B’C’D’ perpendiculara din D pe diagonala AC’ o intersecteaza pe aceasta intr-un punct Q, astfel incat \frac{AQ}{AC\prime}=\frac{1}{3}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 7

AC=DC=a\sqrt2;

AC^\prime=a\sqrt3; DQ=\frac{a\sqrt6}{3};

AQ=\frac{a\sqrt3}{3}=>\frac{AQ}{AC}=\frac{1}{3}

7. Fie ABCDA’B’C’D’ un paralelipiped dreptunghic cu AB = 9 cm, AD = 15 cm si AA’ = 20 cm. Se cere distanta lui B’ la diagonala AD’.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 8

A^\prime D^\prime=\sqrt{400+225}=25;

A^\prime M=\frac{20\cdot15}{25}=12;

B^\prime A^\prime\bot A^\prime M =>BM^\prime=\sqrt{144+81}=15

8. Un paralelipiped ABCDA’B’C’D’ are baza ABCD un patrat. Muchiile laterale formeaza cu planul bazei unghiuri de 30°, iar planele AA’B si DD’C’ sunt perpendiculare pe planul bazei. Cunoscand ca AB = 4 cm si AA’ = 6 cm, sa se calculeze aria totala a paralelipipedului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 9

A^\prime M=\frac{6}{2}=3;

S=2\cdot S_{A\prime A B B\prime}+ 2\cdot S_{B\prime B C C\prime}\cdot2\cdot S_{ABCD}=

2\cdot\frac{1}{2}\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot6\cdot4+2\cdot4\cdot4=104\ {cm}^2

 

9. Fie ABCA’B’C’ o prisma dreapta, cu baza ABC un triunghi dreptunghic in A, cu AB = 15 cm, AC = 20 cm si AA’ = 30 cm. Fie M mijlocul lui CC’. Sa se determine forma si perimetrul sectiunii prismei cu planul determinat de punctele A’, M, B.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 10

BC=\sqrt{400+225}=25; BM=\sqrt{225+625}=5\sqrt{34};

BA^\prime=\sqrt{900+225}=15\sqrt5; A^\prime M=\sqrt{400+225}=25;

P=\ 5\sqrt{34}+15\sqrt5+25

Un triunghi.

10. Intr-un paralelipiped dreptunghic ABCDA’B’C’D’, cu baza ABCD un patrat, inaltimea este de 3 cm, iar dreptunghiul ABB’A’ are aria de 21 cm2. Sa se afle dimensiunile paralelipipedului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 11

AB=\frac{21}{3}=7,\ AA^\prime=3

11. Se da un paralelipiped drept cu baza un romb, in care se cunosc: inaltimea h, latura a a rombului, precum si un unghi ascutit θ, al rombului. Sa se calculeze, in functie de a, h, θ, diagonalele paralelipipedului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 12

AO=\cos{\frac{\theta}{2}}\cdot a =>AC=2a\cos{\frac{\theta}{2}}; OB=\sin{\frac{\theta}{2}}\cdot a=>DB=2a\sin{\frac{\theta}{2}}; AC^\prime=\sqrt{h^2+4a^2\cos^2{\frac{\theta}{2}}}; BD^\prime=\sqrt{h^2+4a^2\sin^2{\frac{\theta}{2}}}

12. Sa se determine, in cuburile din figura 8, sectiunile determinate de planele ce trec prin punctele M, N, P.

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 13
fig. 12 8

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 14

13. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile proportionale cu numerele 2, 3,5. Stiind ca diagonala paralelipipedului este de 2\sqrt{38} cm, sa se afle dimensiunile paralelipipedului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 15

a^2+b^2+c^2=152;  \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=k; 4k^2+9k^2+25k^2=38k^2=152 =>k^2=4=> k=2;a=4;b=12;c=10

14. Pe planul triunghiului dreptunghic isoscel ABC, (AB≡AC;AB=a), ducem perpendiculara AA’ = a. Din A’ ducem un segment A^\prime D=a\sqrt2, perpendicular pe AA’. Daca BD este perpendiculara pe AB si daca D este de aceeasi parte a planului AA’B ca si C, atunci triunghiul DBC este echilateral.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 16

DA\bot AA^\prime =>AD=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt3;

BD\bot AB =>BD=\sqrt{3a^2-a^2}=a\sqrt2\ (1);

BC=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2\ (2);

Ducem in planul  (ABC), AN∥A’D, AN=A’D=>AA’DNdeptunghi;

DN⊥CN; DN∥AA’; AA’⊥AB=>

CN∥AB => ⊿ANC≡⊿CBA => CN=a;

CD=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2\ (3)

Din  si  => ⊿CDB este echilateral.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.