Probleme lungimea si aria cercului

1.Aflati aria cuprinsa intre un arc de 60° al unui cerc de raza R si coarda sa.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 1

Notam aria cautata cu A.

A=\frac{S_{C\left(O,R\right)}\cdot360}{6O}\ -S_{AOB}= \frac{\pi R^2}{6}-\frac{R^2\sqrt3}{4}=R^2\cdot\frac{2\pi-3\sqrt3}{12}

2. Aceeasi problema pentru un arc de 240°.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 2

Notam aria cautata cu A.

m\left(\sphericalangle A O B\right)=360^{\circ}-240^{\circ}=120^{\circ};\bigtriangleup AOB este isoscel; OM\bot AB

=> OM este si bisectoare si mediana;  m(∢BOM)=60°;m(∢MBO)=30°=>

OM=\frac{R}{2}; MB=\frac{R\sqrt3}{2}=> AB=R\sqrt3; S_{AOB}=\frac{R}{2}\cdot\frac{R\sqrt3}{2}= \frac{R^2\sqrt3}{4}

A=240\cdot\frac{\pi R^2}{360}+S_{AOB}= \frac{2}{3}\pi R^2+\frac{R^2\sqrt3}{4}= R^2\cdot\frac{8\pi+3\sqrt3}{12}

3. Pe cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic ca diametre se descriu cercuri ca in figura 2.40. Aratati ca aria hasurata este egala cu aria triunghiului.

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 3

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 4

A_{Hasurata}=S_{ABC}+\frac{S_{C\left(O1,r1\right)}}{2}+ \frac{S_{C\left(O2,r2\right)}}{2}- \frac{S_{C\left(O,R\right)}}{2} \inline =S_{ABC}+\frac{2\pi{r_1}^2}{2}+ \frac{2\pi{r_2}^2}{2}- \frac{2\pi R^2}{2} =S_{ABC}+ \pi\left(2{r_1}^2+2{r_2}^2-2R^2\right) =S_{ABC}

4. Doua cercuri secante au razele de 10 si 7, iar distantele centrelor de 15. Aflati aria portiunii comune a celor doua cercuri.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 5

AM\bot OO^\prime; \ {AM}^2=100-a^2= 49-\left(15-a\right)^2  =>51=a^2-225-a^2+30a =>a=\frac{276}{30}=\frac{91}{10}; AM=\sqrt{100-91\cdot\frac{91}{100}}= \frac{1}{10}\sqrt{9\cdot191}= \frac{3}{10}\sqrt{191}=> S_{OAO^\prime}=4,15\cdot\frac{15}{2}=31,125; \ S_{OAO^\prime B}=62,25; \sin{AOM}=\frac{4,15}{10}=0,42=>

m(∢AOM)=24°=>m(∢AOB)=48°=> S_{\widehat{AOB}}=\pi\cdot100\cdot\frac{48^{\circ}}{360^{\circ}}=41,87; \sin{AO^\prime M}=\frac{4,15}{7}=0,59;

m(∢AO’ M)=36°=>m(∢AO’ B)=72°=> S_{\widehat{AO^\prime B}}=\pi\cdot49\cdot\frac{72}{360}=30,77; \ S_{hasurat}=S_{\widehat{AOB}}+S_{\widehat{AO^\prime B}}-S_{OAO^\prime B}=10,39

5. Aceeasi problema, cand distanta centrelor este 5.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 6

S_{OAO^\prime}=\sqrt{11\cdot4\cdot1\cdot6}= 2\sqrt{66}=16,25=AM\cdot OO^\prime= AM\cdot\frac{5}{2}=> AM=\frac{32,5}{5}=6,5; \sin{AOO^\prime}=0,65=>

m(∢AOO’ )=40°=>m(∢AOC)=80°;

S_{hasurata}= \pi\cdot49- \left(\ \pi\cdot100\cdot\frac{80^{\circ}}{360^{\circ}}-\pi\cdot49\cdot\frac{160^{\circ}}{360^{\circ}}\right) =153,86-\left(69,77-68,38\right)= 153,86-1,39=152,47

6. Doua cercuri tangente exterioare au razele de 9 si 4. Aflati aria cuprinsa intre cele doua cercuri si una din tangentele exterioare.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 7

{TT^\prime}^2=81-\left(9-4\right)^2=56=> TT^\prime=2\sqrt{14}; \ S_{TT^\prime O^\prime O}= \left(O^\prime T^\prime+OT\right)\cdot\frac{TT^\prime}{2}= 13\sqrt{14}= S_{TMAO}+S_{MT^\prime O^\prime A}= 2\cdot\frac{1}{2}\cdot9\cdot TM+2\cdot\frac{1}{2}\cdot4\cdot MT^\prime= 9TM+4\cdot\left(2\sqrt{14}-TM\right)=> TM=\sqrt{14}; OM=\sqrt{81+14}= \sqrt{95};O^\prime M= \sqrt{16+14}=\sqrt{30}

\sin{TOM}=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{95}}=0,38 =>m(∢TOM)=22°;

\sin{T^\prime O^\prime M}=\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{30}}=0,68 =>m(∢T’O’M)=42°;

S_{hasurata}=S_{TT^\prime O^\prime O}- \pi\cdot81\cdot\frac{22^{\circ}}{360^{\circ}}-\pi\cdot16\cdot\frac{42^{\circ}}{360^{\circ}}=

=48,64-15,54-5,86=27,24

7. Aflati aria hexagonului regulat de latura a.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 8

m\left(\sphericalangle AOB\right)=\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ} =>⊿AOBeste echilateral

S_{hexagon}=6\cdot S_{AOB}=6\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{a^23\sqrt3}{2}

8. Aflati perimetrul figurii 2.41, daca raza cercului este 6 si distanta de la centru la varf este 12.

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 9

 

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 10

{AM}^2=144-36=108=>AM=6\sqrt3;.

AO=\frac{AM}{2} => m(∢AMO)=30° => m(∢AOM)=60°; m(∢AOB)=120°;

P=L_{cerc}-L_{arc\ AB}+2\cdot AM= 12\pi-12\pi\cdot\frac{120}{360}+12\cdot\sqrt3= 8\pi+12\cdot\sqrt3

9. Care este lungime curelei de transmisie din figura 2.42?

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 11

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 12

O'M=\sqrt{225-9}=4\sqrt{54};  \ L=7\pi+4\pi+8\sqrt{54}= 12\pi+8\sqrt{54}

10. Aflati lungimea si aria unui semicerc. Desenati.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 13

m(∢AOB)=180°;

S_{semicerc}=\pi r^2\cdot\frac{180^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{\pi r^2}{2}; L_{semicerc}=2\pi r\cdot\frac{180^{\circ}}{360^{\circ}}=\pi r

11. Calculati aria din figura 2.43 (hasurata) precum si perimetrul figurii hasurate, razele celor trei cercuri fiind toate egale cu 2.

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 14

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 15

Triunghiul OO’O’’ are toate laturile de 4 => este echilateral =>

 m(∢O’OO”)=60°=>

S_{sectorului\ de\ cerc}=4\pi\cdot\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}=\frac{2}{3}\pi=> S_{hasurata}= S_{O^\prime O O^{\prime\prime}}-3\cdot S_{sectorului\ de\ cerc}= 16\cdot\frac{\sqrt3}{4}-2\pi=4\sqrt3-2\pi

12. Aceeasi problema pentru figura hasurata 2.44.

Matematica Capacitate Probleme lungimea si aria cercului 16

Rezolvare:

Suprafata cautata este aria unui patrat cu latura de 6 minus 4 sferturi de cerc cu raza de 3, arcele avand masura de 90° (ceea ce reprezinta un cerc de raza 3).

S_{hasurata}=36-9\pi

 

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.