Probleme aria triunghiului

1.Exprimati aria unui triunghi dreptunghic.

Rezolvare:

Aria unui triunghi dreptunghic este semiprodusul inaltimii din varful dreptunghic inmultit cu ipotenuza sau semiprodusul catetelor.

2.Care este aria unui triunghi dreptunghic isoscel de cateta a?

Rezolvare:

S_{ABC}=\frac{a^2}{2}

3.Care este aria unui triunghi echilateral de latura a?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria triunghiului 1

Ducem o inaltime si aplicam teorema lui Pitagora, stiind ca intr-un triunghi echilateral inaltimea este si mediana => h=a\cdot\frac{\sqrt3}{2}.

4.Cunoscand doua laturi si unghiul cuprins intre ele, exprimati aria unui triunghi. Care este raportul ariilor a doua triunghiuri ce au un unghi congruent?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria triunghiului 2

AM=b\cdot sin B; S_{ABC}=a\cdot b\cdot\frac{sin B}{2}

Raportul ariilor a doua triunghiuri care au un unghi congruent este raportul produsului laturilor care il formeaza.

5.Calculati aria unui triunghi ale carui laturi au lungimile sale 13, 20 si 21.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria triunghiului 3

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiurile BAM si CAM.

h^2=169-a^2=441-\left(20-a\right)^2=> 169-a^2=441-400-a^2+40a=> 40a=128=> a=\frac{16}{5};  h^2=169-\frac{256}{25}=\frac{63}{5}=> S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{63}{5}\cdot20=126

Sau putem aplica formula:

S_{ABC}=\sqrt{p\cdot\left(p-a\right)\cdot\left(p-b\right)\cdot\left(p-c\right)}\ ;  p=\frac{a+b+c}{2}=27 ;  S_{ABC}=\sqrt{27\cdot14\cdot7\cdot6}=126

6.Pe laturile AB, AC ale unui triunghi se considera punctele D, E. Aratati ca S_{ABC}=S_{ADE}+S_{BDE}+S_{BCE}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria triunghiului 4

Ducem din E perpendiculara pe AB si calculam ariile triunghiurilor AED si DEB.

S_{ADE}=\frac{1}{2}\cdot EM\cdot AD;S_{BDE}=\frac{1}{2}\cdot EM\cdot DB;

S_{ADE}+S_{BDE}=\frac{1}{2}\cdot EM\cdot(AD+DB)=\frac{1}{2}\cdot EM\cdot AB=S_{AEB} (1)

Ducem din B perpendiculara pe AC si calculam ariile triunghiurilor ABE si EBC.

S_{AEB}=\frac{1}{2}\cdot BN\cdot AE;   S_{EBC}=\frac{1}{2}\cdot BN\cdot EC;  S_{AEB}+S_{EBC}=\frac{1}{2}\cdot BN\cdot\left(AE+EC\right)= \frac{1}{2}\cdot BN\cdot AC=S_{ABC} si din (1) =>

S_{ABC}=S_{ADE}+S_{BDE}+S_{BCE}

7.In interiorul unui triunghi ABC se considera un punct M. Aratati ca S_{ABC}=S_{ABM}+S_{BCM}+S_{CAM}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria triunghiului 5

Prelungim AM pana intersecteaza pe BC in R.

S_{BMR}+S_{CMR}=\frac{1}{2}\cdot MT\cdot BT+\frac{1}{2}\cdot MT\cdot TC= \frac{1}{2}\cdot MT\cdot BC= \inline S_{BMC}

\mathbit{S}_{\mathbit{AMB}}+\mathbit{S}_{\mathbit{BMC}}+\mathbit{S}_{\mathbit{AMC}}= S_{AMB}+S_{BMR}+S_{CMR}+S_{AMC}= =\frac{1}{2}\cdot AM\cdot BN+\frac{1}{2}\cdot MR\cdot BN+\frac{1}{2}\cdot AM\cdot PC+\frac{1}{2}\cdot MR\cdot PC= \frac{1}{2}\cdot AR\cdot BN+\frac{1}{2}\cdot AR\cdot CP= S_{ABR}+S_{ACR}= \frac{1}{2}\cdot AQ\cdot BR+\frac{1}{2}\cdot AQ\cdot RC= \frac{1}{2}\cdot AQ\cdot BC=S_{ABC}

8.Intr-un paralelogram ABCD avem S_{ABC}=S_{DBC}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria triunghiului 6

Fie AM⊥BC;DN⊥BC=>AM∥DN; AD∥MN => AMND dreptunghi=>AM=ND

S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AM\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot ND\cdot BC=S_{DBC}

9. Raportul distantelor de la mijlocul unei laturi a unui triunghi la celelalte doua laturi este egal cu inversul raportului laturilor respective.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria triunghiului 7

S_{AMB}=\frac{1}{2}\cdot BM\cdot AD= \frac{1}{2}\cdot MC\cdot AD=S_{AMC}=> S_{AMB}=S_{AMC}\Longleftrightarrow\frac{1}{2}\cdot AB\cdot MN=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot NP\Longleftrightarrow AB\cdot MN=AC\cdot NP=> \frac{MN}{NP}=\frac{AC}{AB}

10.Demonstrati, prin arii, teorema bisectoarei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria triunghiului 8

∢ABM≡∢CBM;BM=BM;

m(∢BPM)=m(∢BQM)=90°=>⊿BMP≡⊿BMQ=>MP=MQ;

S_{AMB}=\frac{1}{2}\cdot MP\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot BN\cdot AM=> \frac{AB}{AM}=\frac{BN}{MP}; S_{BMC}=\frac{1}{2}\cdot MQ\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot BN\cdot MC=> \frac{BC}{MC}=\frac{BN}{MQ}=> \frac{BN}{MQ}=\frac{BN}{MP}=\frac{BC}{MC}=\frac{AB}{AM}=>\frac{AB}{BC}=\frac{AM}{MC}

11. Intr-un triunghi ABC, simetrica medianei AD fata de bisectoarea AE intersecteaza BC in F. Determinati raportul \frac{FB}{FC}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria triunghiului 9

\frac{FB}{FC}=\frac{S_{AFB}}{S_{AFC}}= \frac{AB\cdot A F\cdot\sin{x}}{AC\cdot A F\cdot\sin{y}}= \frac{AB\cdot A B\cdot A C\cdot A D\cdot\sin{x}}{AC\cdot A C\cdot A B\cdot A D\cdot\sin{y}}= \frac{{AB}^2\cdot S_{ACD}}{{AC}^2\cdot S_{ABD}}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2

12.Simetricele medianelor unui triunghi fata de bisectoarele varfurilor respective sunt concurente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria triunghiului 10

Fie triunghiul ABC si AD, BF, CE – bisectoare, iar AM, BR si CN – mediane.

Din problema anterioara stim ca:

\frac{AP}{PC}\cdot\frac{CQ}{QB}\cdot\frac{BT}{TA}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2\cdot\left(\frac{BC}{AB}\right)^2\cdot\left(\frac{AC}{BC}\right)^2=1=>

Conform reciprocei teoremei lui Ceva, cele trei drepte AQ, BP, CT sunt concurente.

13.Suma distantelor unui punct din interiorul unui triunghi echilateral la laturile triunghiului este constanta.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria triunghiului 11

S_{ABC}=S_{ABC}+S_{ABC}+S_{ABC}= \frac{1}{2}\cdot NM\cdot AB+\frac{1}{2}\cdot MQ\cdot AC+\frac{1}{2}\cdot MP\cdot BC= \frac{L}{2}\cdot\left(NM+MP+MQ\right)= \frac{L^2\sqrt3}{4}=> \ NM+MP+MQ=\frac{L\sqrt3}{2}

14.Demonstrati, prin arii, teorema lui Ceva.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria triunghiului 12

Fie h_{B1}\bot AO;\ h_{C1}\bot AO

\frac{h_{B1}\cdot A O}{h_{C1}\cdot A O}=\frac{h_{B1}\cdot A M}{h_{C1}\cdot A M}=> \ \frac{S_{AOB}}{S_{AOC}}=\frac{S_{ABM}}{S_{ACM}}=\frac{h_A\cdot B M}{h_A\cdot C M}=\frac{BM}{CM};

Procedam in mod similar si pentru celelalte triunghiuri si inmultim relatiile:

\frac{BM}{MC}\cdot\frac{CN}{NA}\cdot\frac{AP}{PB}=\frac{S_{AOB}}{S_{AOC}}\cdot\frac{S_{AOC}}{S_{BOC}}\cdot\frac{S_{BOC}}{S_{AOB}}=1

15.Raportul ariilor a doua triunghiuri asemenea este egal cu patratul raportului de asemanare.

Rezolvare:

\frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NP}=k

\frac{S_{ABC}}{S_{MNP}}=\frac{AB\cdot B C\cdot\sin{B}}{MN\cdot N P\cdot\sin{N}}=\frac{AB\cdot B C}{MN\cdot N P}=k^2

16.Raza cercului inscris intr-un triunghi este catul dintre dublul ariei triunghiului si perimetrul acestuia.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria triunghiului 13

S_{ABC}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{AOC}= \frac{1}{2}\cdot r\cdot AB+\frac{1}{2}\cdot r\cdot BC+\frac{1}{2}\cdot r\cdot AC= \frac{1}{2}\cdot r\cdot\left(AB+BC+CA\right)=> r=\frac{2\cdot S_{ABC}}{\left(AB+BC+CA\right)}

17.O paralela la latura BC a unui triunghi ABC taie latura AB, AC in M, N. Sa se arate ca aria triunghiului ABN este medie proportionala intre ariile triunghiurilor ABC si AMN.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria triunghiului 14

S_{ABN}=AB\cdot AN\cdot\sin{A};\ S_{BAC}=AB\cdot AC\cdot\sin{A};  S_{AMN}=AM\cdot AN\cdot\sin{A};

conform teoremei lui Thales : \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=>

S_{AMN}\cdot S_{BAC}=\ AB\cdot AC\cdot\sin{A}\cdot AM\cdot AN\cdot\sin{A}= \left(AB\cdot A N\cdot\sin{A}\right)^2={S_{ABN}}^2

18.Ariile a doua triunghiuri congruente sunt egale.

Rezolvare:

Daca doua triunghiuri sunt congruente, laturile lor sunt congruente, inaltimile lor sunt congruente, deci semiprodusul unei laturi cu inaltimea corespunzatoare este egal.

19.Care este locul geometric al varfului A al unui triunghi ABC, ce are varfurile B, C fixe iar aria constanta?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria triunghiului 15

S_{ABC}=\frac{BC\cdot h}{2}=>

inaltimea este constanta, deci A se afla pe o dreapta paralela cu BC care poate fi situata de orice parte a dreptei BC.

 

 

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.