Probleme: aria si volumul sferei

Probleme de Matematica Capacitate – Aria si volumul sferei

1. Dintr-o bara de otel, sub forma de prisma patrulatera regulata cu latura bazei de 12 cm si inaltimea de 4,5 m, se strunjeste un ax cilindric, cu pierdere minima de material. Sa se afle volumul axului obtinut.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 1

R=\frac{12}{2}=6;

V=\pi\cdot36\cdot450=16200\pi\ {cm}^3

2. Sa se afle volumul unui cilindru circular drept inscris intr-o prisma triunghiulara regulata dreapta care are latura bazei de 4\sqrt3 dm si inaltimea de 10 dm.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 2

R\sqrt3=4\sqrt3=> R=4; V=\pi\cdot16\cdot10=160\pi\ {dm}^3

3. Un con circular drept are raza bazei de 6 cm si generatoarea de 10 cm. Gasiti volumul conului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 3

h=\sqrt{100-36}=8;

\ V=\frac{1}{3}\cdot36\cdot8\pi=96\pi\ {cm}^3

4. Un triunghi dreptunghic ABC m(∢A=90°) se roteste, pe rand, in jurul catetelor si apoi al ipotenuzei. 

  1. Daca AB = 5 dm si AC = 12 dm, gasiti cele trei volume V_1,\ V_2 si \ V_3.
  2. Daca AB = c, AC = b, V_1 si V_2 sunt volumele obtinute prin rotirea triunghiului in jurul catetelor, iar V prin rotirea in jurul ipotenuzei, aratati ca:

\frac{1}{V^2}=\frac{1}{{V_1}^2}+\frac{1}{{V_2}^2}.

Rezolvare:

a.

V_1=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot25\cdot12=100\pi\ {dm\ }^3;

V_2=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot144\cdot5=240\pi\ {dm\ }^3;

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 4

BC=\sqrt{25+144}=13; AO=\frac{12\cdot5}{13}=\frac{60}{13}; OB=\frac{144}{13}; OC=\frac{25}{13}; \ V_3=\frac{1}{3}\cdot\pi\ \frac{{60}^2}{{13}^2}\cdot\left(\frac{144}{13}+\frac{25}{13}\right)= \frac{1}{3}\pi\cdot\frac{3600}{13}=\frac{1200}{13}\pi\ {dm\ }^3

b.

\frac{1}{{V_1}^2}+\frac{1}{{V_2}^2}= \frac{1}{\left(\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot c^2\cdot b\right)^2}+\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot b^2\cdot c\right)^2}= \frac{9}{\pi^2\cdot c^2\cdot b^2}\cdot\left(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{b^2}\right)= \frac{9}{\pi^2\cdot c^2\cdot b^2}\cdot\frac{a^2}{c^2\cdot b^2}= \frac{9}{\pi^2\cdot c^4\cdot b^4}\cdot a^2

V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot h^2\cdot\frac{b^2}{a}+\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot h^2\cdot\frac{c^2}{a}= \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot\frac{h^2}{a}\cdot a^2= \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot h^2\cdot a \frac{1}{V^2}= \frac{1}{\left(\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot\frac{c^2\cdot b^2}{a^2}\cdot a\right)^2}= \frac{9}{\pi^2\cdot c^4\cdot b^4}\cdot a^2

5.*Un con circular drept are raza bazei . El are trei generatoare doua cate doua perpendiculare.

  1. Aflati volumul conului.
  2. Rezolvati problema in cazul general, cand raza bazei este r.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 5

m\left(\sphericalangle AOB\right)=\frac{360^{\circ}}{3}=120^{\circ};

AB=2\cdot\sqrt{r^2-\frac{r^2}{4}}=\frac{r2\sqrt3}{2}=r\sqrt3;

VA=\frac{1}{\sqrt2}\cdot\sqrt{{3r}^2}=\frac{r\sqrt3}{\sqrt2};

H=\sqrt{\frac{{3r}^2}{2}-r^2}=\frac{r}{\sqrt2};

\ V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^2\cdot\frac{r}{\sqrt2}= \frac{\sqrt2}{6}\cdot\pi\cdot r^3;

V=\frac{0.256}{3}\pi\sqrt2\ m^3

6. *Calculati volumul unui con circumscris unui tetraedru regulat de muchie a = 6 cm.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 6

r=\frac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3;

h=\sqrt{36-12}=2\sqrt6;

V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot12\cdot2\sqrt6=8\pi\sqrt6\ m^3

7. Un dreptunghi cu laturile si se roteste in jurul lui a si apoi in jurul lui b.

  1. In ce caz se obtine aria laterala mai mare?
  2. In ce caz se obtine volumul mai mare?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 7

AB=a;BC=b;

A_{L1}=2\pi\cdot\frac{a}{2}\cdot b=ab\pi;

\ A_{L2}=2\pi\cdot\frac{b}{2}\cdot a=ab\pi

Ariile laterale sunt egale.

V_1=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot a^2\cdot b;

\ V_2=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot b^2\cdot a=>V_2>V_1

8. Un trapez dreptunghic ABCD (m(∢B)=m(∢C)=90°) se roteste in jurul unei paralele cu BC, distanta de la BC la axa fiind de 3 cm (se considera axa in planul trapezului, dar in afara lui). Daca AB = 12 cm, AD = 10 cm si CD = 4 cm, sa se afle aria totala si volumul corpului format.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 8

R=AB+3=15; r=DC+3=7; G=AD=10;

H=\sqrt{100-64}=6;

A_T=\pi\left(R+r\right)G+\pi r^2+\pi

R^2=\pi\left(150+70+144+49\right)= 413\pi\ {cm}^2;

V=\frac{\pi h}{2}\left(R^2+r^2+Rr\right)= \frac{6\pi}{2}\left(144+49+84\right)=831\pi\ {cm}^3.

9. Aria totala a unui cilindru circular drept este de 132π cm2, iar cea laterala 96π cm2. Sa se afle volumul cilindrului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 9

A_{.T}=2\pi r^2+2\pi ra= 2\pi r\left(r+a\right)=132\pi;

A_{.L}=2\pi ra=96\pi 2\pi r^2= 132\pi-96\pi=36\pi=>r=3\sqrt2;

a=8\sqrt2;

V=18\pi\cdot8\sqrt2=144\pi\sqrt2\ {cm}^3

10. Un con se desfasoara pe un plan dupa un semicerc cu diametrul de 20 cm. Sa se afle volumul conului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 10

g=R=10; 2πr=πR=10π => r=5

h=\sqrt{100-25}=5\sqrt3;

V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot25\cdot5\sqrt3=\frac{125\sqrt3}{3}\pi\ {cm}^3

11. *Un trapez dreptunghic se roteste, o data in jurul bazei mici, alta data in jurul bazei mari. Cunoscand volumele V_1 si V_2 ale corpurilor astfel obtinute, precum si latura a perpendiculara pe baze, sa se calculeze, in functie de V_1, V_2 si a, diferenta dintre bazele trapezului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 11

V_1=\pi a^2b+\frac{1}{3}\pi a^2\left(B-b\right);

V_2=\pi a^2B-\frac{1}{3}\pi a^2\left(B-b\right)=>

V_2-V_1=\pi a^2\left(B-b\right)-\frac{2}{3}\pi a^2\left(B-b\right)= \frac{1}{3}\pi a^2\left(B-b\right)=>

B-b=3\cdot\frac{V_2-V_1}{\pi a^2}

12. *Intr-un con circular drept cu diametrul bazei egal cu 12\sqrt2 cm si inaltimea egala cu 6 cm, se inscrie un cub astfel incat o fata a sa sa se gaseasca in planul bazei conului, iar varfurile celelilalte baze sa fie situate pe panza conica.

  1. Sa se gaseasca volumul cubului.
  2. Rezolvati aceeasi problema in cazul cand diametrul bazei cercului este 2a\sqrt2 si inaltimea conului a.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 12

Facem o sectiune axiala in con, determinata de sectiunea ACC’A’ prin cub. Notam cu xlatura cubului si tinanc cont de asemanarea triunghiurilor AVC si PVQ, obtinem:

\frac{x\sqrt2}{2a\sqrt2}=\frac{a-x}{a}=> x=\frac{2a}{3},V=\frac{8a^3}{27}.

Daca a=6 cm=>

x=4 cm, V= 64 cm3

13. Un con circular drept, care are raza bazei de 8 m si inaltimea de 16 m, se taie cu un plan paralel cu planul bazei, determinand astfel un trunchi de con de inaltime de 12 m.

  1. Sa se calculeze volumul trunchiului de con format.
  2. Sa se determine la ce distanta de planul bazei trebuie sa se faca o sectiune in con, printr-un plan paralel cu baza, astfel ca ariile laterale ale celor doua corpuri formate sa fie egale.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 13

Raportul de asemanare dintre conul mic si conul mare este 1/4:

V_{con\ mare}=\frac{\pi}{3}\cdot1024\ {cm}^3;

V_{con\ mic}=\frac{1}{4^3}\cdot V_{con\ mare}=\frac{\pi}{3}\cdot16\ {cm}^3;

V_{trunchi}=V_{con\ mare}-V_{con\ mic}= \frac{\pi}{3}\cdot1024-\frac{\pi}{3}\cdot16=336\pi\ {cm}^3;

A_{l\ con\ mare}=k^2\cdot\ A_{l\ con\ mic};

A_{l\ con\ mic}=A_{l\ trunchi}=>

k=\frac{1}{\sqrt2};

\frac{h}{16}=\frac{\sqrt2}{2}=>h=8\sqrt2;

d=16-8\sqrt2=8\left(2-\sqrt2\right)cm.

14. Un triunghi dreptunghic ABC, (m(∢A)=90°) se roteste in jurul perpendicularei in B pe BC. Daca AB = 3 cm si AC = 4 cm, gasiti volumul corpului format.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 14

V=\frac{\pi h}{2}\left(R^2+r^2+Rr\right);

BC=5; h=\frac{3\cdot4}{5}=\frac{12}{5}; R=5; r=\frac{9}{5};

V=\frac{\pi h}{3}\left(R^2+r^2+Rr\right)= \pi\frac{12}{15}\left(25+\frac{81}{25}+9\right)= \pi\frac{4}{5}\cdot\frac{931}{25};

V_{con\ mic}=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot\frac{81}{25}\cdot\frac{12}{5}= \pi\cdot\frac{27}{25}\cdot\frac{12}{5};

V_{corp}=V-V_{con\ mic}= \frac{\pi}{125}\cdot\left(3724-324\right)=27,2\pi\ {cm}^3

15. Un trunchi de con circular drept are aria laterala 220\ \pi\ {cm}^2 si generatoarea 10 cm. Stiind ca raportul razelor trunchiului este de 4 : 7, sa se afle aria totala si volumul trunchiului de con.

Rezolvare:

A_l=\pi\left(R+r\right)G=10\pi\left(R+r\right)=220\ \pi=>R+r=22;

\frac{r}{R}=\frac{4}{7} =>r=\frac{4R}{7}=> \frac{11R}{7}=22=> R=14,\ r=8

A_t=220\ \pi+196\pi+64\pi=480\pi\ {cm}^2;

h=\sqrt{100-36}=8;

V=\frac{\pi8}{3}\left(196+64+112\right)=992\pi\ {cm}^3

16. Intr-o sfera cu raza R = 5 m, se inscrie un con cu inaltimea h = 8 m. Sa se afle:

  1. Aria si volumul sferei
  2. Aria si volumul conului
  3. Ariile calotelor formate

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 15

A_{sfera}=4\pi\cdot R^2=100\pi\ m^2;

\ V_{sfera}=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{500}{3}\pi\ m^3;

m\left(\sphericalangle VBM\right)=90^{\circ};

 VO=ON=OM=5;O^\prime M=2;OO^\prime=3=>

O^\prime B=\sqrt{25-9}=4\ r=4;

AB=g=\sqrt{64+16}=4\sqrt5

A_{con}=\pi\cdot r^2+\pi rg=16\pi+16\sqrt5\pi= 16\pi\left(1+\sqrt5\right)\ m^2

V_{con}=\frac{1}{3}\cdot8\cdot16\cdot\pi=\frac{128}{3}\pi\ m^3

A_{calota\ mica}=2\pi R\cdot H=2\pi\cdot5\cdot2=20\pi\ m^2;

A_{calota\ mare}=2\pi R\cdot H=2\pi\cdot5\cdot8=80\pi m^2

17. Un con circular drept, in care generatoarele fac unghiuri de 30° cu inaltimea, taie dintr-o sfera, cu centrul in varful conului, o calota. Raza sferei fiind R, sa se afle aria calotei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 16

OA=OB=R;m(∢AOB)=30°+30°=60°=>AB=R;

O^\prime=\sqrt{R^2-\frac{R^2}{4}}=\frac{R\sqrt3}{2};

H=O^\prime M=R-\frac{R\sqrt3}{2}=\frac{R\left(2-\sqrt3\right)}{2}

A_{calota\ }=2\pi R\cdot H=2\pi R\cdot\frac{R\left(2-\sqrt3\right)}{2}=\pi R^2(2-\sqrt3)

18.*O piramida, cu baza patrat de latura a, are toate fetele laterale triunghiuri echilaterale. Calculati raza semisferei cu centrul in centrul bazei piramidei si tangenta la fetele laterale ale piramidei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 17

V=\frac{a^2}{3}\cdot\frac{a\sqrt2}{2}=\frac{a^3\sqrt2}{6};

V=4\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\frac{r}{3}=>

\frac{a^3\sqrt2}{6}=\frac{a^2\sqrt3}{3}\cdot r

=>r=\frac{a\sqrt6}{6}

19. Daca doua cercuri necoplanare au doua puncte comune, atunci ele sunt situate pe aceeasi sfera.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 18

OA=OB=r=>Centrul sferei se afla pe planul mediator al coardei comune.

20.*Daca un poliedru are toate varfurile sale pe o sfera, atunci toate fetele sale sunt poligoane inscriptibile.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 19

Varfurile unei fete apartin intersectiei planului acelei fete cu sfera, care este un cerc.

21.*Piramida VABCD are baza ABCD dreptunghi. Ducem CP⊥VA (P∈AV), iar din D ducem DQ⊥VB (Q∈BV). Demonstrati ca PQBA este un patrulater inscriptibil.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 20

⊿APCeste dreptunghic, deci poate fi inscris intr-un cerc cu diametrul AC;

⊿DQBeste dreptunghic, deci poate fi inscris intr-un cerc cu diametrul BD

Dar BD=AC => consideram sfera cu diametrul egal cu diagonala dreptunghiului. P, Q, A, B sunt coplanare si se afla pe aceeasi sfera => patrulaterul este inscriptibil.

22. Daca exista o sfera tangenta la toate muchiile unui tetraedru, atunci suma oricaror doua muchii opuse ale tetraedrului este aceeasi. (Prin muchii opuse intelegem doua muchii care n-au niciun varf comun.)

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 21

Tangentele duse dintr-un punct exterior unui cerc la un cerc din acelasi plan sunt congruente ceea ce face ca segmentele care unesc un varf cu punctele de tangenta ale fetelor care il contin sa fie congruente => laturile pot fi determinate in functie de aceste tangente.Daca le notam cu a, b, c, d:

BM=\sqrt{b^2-({d(O,BC)}^2-r^2)};

MC=\sqrt{c^2-({d(O,BC)}^2-r^2)}

AN=\sqrt{d^2-({d(O,AD)}^2-r^2)};

MC=\sqrt{a^2-({d(O,AD)}^2-r^2)}

=>AD+BC=\sqrt{b^2-({d(O,BC)}^2-r^2)}+\sqrt{c^2-({d(O,BC)}^2-r^2)}+

\sqrt{d^2-({d(O,AD)}^2-r^2)}+\sqrt{c^2-({d(O,BC)}^2-r^2)}

Egalitate valabila pentru orice muchii opuse.

23.*Fie A, B, C, D patru puncte necoplanare. Fie M si N doua puncte variabile astfel incat MA⊥AN,MB⊥BN,  MC⊥NC, MD⊥ND Sa se arate ca segmentul MN are lungimea constanta.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 22

⊿MAN, ⊿MBN sunt dreptunghice => A si B apartin unui cerc de diametru MN => OA=OB, unde O este mijlocul segmentului MN

⊿MAN, ⊿MDN sunt dreptunghice => A si D apartin unui cerc de diametru MN =>OA=OD;

⊿MAN, ⊿MCN sunt dreptunghice => A si C apartin unui cerc de diametru MN=>OA=OC;

=>OA=OB=OC=OD;

=> A, B, C, D apartun unei sfere de diametru MN circumscrisa tetraedrului ABCD

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.