Probleme aria patrulaterului

1.Aria unui patrat este de 5 cm2. Care este lungimea laturii sale?

Rezolvare:

S_{ABCD}=a^2=5\ {cm}^2=>a=\sqrt5\ cm

2.Exprimati aria unui romb in functie de lungimile diagonalelor sale.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria patrulaterului 1

Stim ca diagonalele rombului se injumatatesc si sunt perpendiculare. Vom calcula suma ariilor triunghiurilor dreptunghice care se formeaza:

S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{AOD}+S_{DOC}+S_{BOC}= \frac{AO\cdot O B}{2}+\frac{AO\cdot O D}{2}+\frac{OB\cdot O C}{2}+\frac{OD\cdot O C}{2}= \frac{AO}{2}\cdot\left(OB+OD\right)+\frac{OC}{2}\cdot\left(OB+OD\right)= \frac{AO}{2}\cdot BD+\frac{OC}{2}\cdot BD= \frac{BD}{2}\cdot\left(AO+OC\right)= \frac{1}{2}\cdot BD\cdot AC

3.Cunoscand lungimile celor doua diagonale ale unui patrulater convex cu diagonalele perpendiculare, sa se afle aria sa.

Rezolvare:

Procedam la fel ca la problema anterioara, aria sa va fi formata din suma ariilor triunghiurilor dreptunghice formate de diagonale, fiind egala cu produsul injumatatit al diagonalelor.

4.Exprimati aria unui patrulater convex in functie de lungimile diagonalelor si de unghiul dintre ele.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria patrulaterului 2

Fie BN⊥AC; DM⊥AC; BN=sin BOC∙OB; DM=sin BOC∙OD

S_{ABCD}= S_{AOB}+S_{AOD}+S_{DOC}+S_{BOC}= \frac{1}{2}\cdot\sin{BOC}\cdot OB\cdot AO+\frac{1}{2}\cdot\sin{BOC}\cdot OB\cdot OC+ \frac{1}{2}\cdot\sin{BOC}\cdot OD\cdot AO+\frac{1}{2}\cdot\sin{BOD}\cdot OD\cdot OC= \frac{1}{2}\cdot\sin{BOC}\cdot OB\cdot\left(AO+OC\right)+\frac{1}{2}\cdot\sin{BOC}\cdot OD\cdot\left(AO+OC\right)= \frac{1}{2}\cdot\sin{BOC}\cdot OB\cdot AC+\frac{1}{2}\cdot\sin{BOC}\cdot OD\cdot AC= \frac{1}{2}\cdot\sin{BOC}\cdot AC\cdot\left(OB+OD\right)= \frac{1}{2}\cdot\sin{BOC}\cdot AC\cdot BD

5.Definiti aria unui patrulater concav ca diferenta a ariilor a doua triunghiuri. Aveti nevoie de vreo lema in prealabil?

Rezolvare:

S_{ABCD}=S_{ABC}-S_{ACD}

Matematica Capacitate Probleme aria patrulaterului 3

S_{ABC}=S_{ABM}+S_{MBC}= \frac{1}{2}\cdot AN\cdot BM+ \frac{1}{2}\cdot CP\cdot BM= \frac{1}{2}\cdot AN\cdot\left(BM+DB\right)+ \frac{1}{2}\cdot CP\cdot\left(BM+DB\right)= \frac{1}{2}\cdot AN\cdot BM+\frac{1}{2}\cdot AN\cdot DB+ \frac{1}{2}\cdot CP\cdot BM+\frac{1}{2}\cdot CP\cdot DB= S_{DAM}+S_{DCM}+S_{DAB}+S_{DCB}= S_{ADC}+S_{DAB}+S_{DCB}= S_{ACD}+S_{ABCD}=> S_{ABCD}=S_{ABC}-S_{ACD}

6.Indicati trei moduri in care se poate “descompune” un patrulater concav in doua triunghiuri dupa modelul situatiei din definitia ariei unui patrulater convex si demonstrati ca in fiecare din aceste cazuri suma ariilor celor doua triunghiuri este egala cu aria patrulaterului, definita in problema 5.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria patrulaterului 4

Unim pe B cu D si obtinem triunghiurile DBC si DBA. Ducem doua paralele prin A si C la BD si perpendiculele din C  si A. Distanta dintre ele o notam cu h.

S_{ABCD}=S_{ADB}+S_{DBC}= \frac{1}{2}\cdot BD\cdot AF+\frac{1}{2}\cdot DB\cdot EC= \frac{1}{2}\cdot DB\cdot h

Pentru demonstratia din cerinta, a se vedea problema anterioara.

Matematica Capacitate Probleme aria patrulaterului 5

S_{ABCD}=S_{ABC}-S_{ACD}= \frac{1}{2}\cdot AN\cdot BC-\frac{1}{2}\cdot CP\cdot AD= \frac{1}{2}\cdot AN\cdot\left(CM+MB\right)-\frac{1}{2}\cdot CP\cdot\left(AM-MD\right)= \frac{1}{2}\cdot AN\cdot CM+\frac{1}{2}\cdot AN\cdot MB-\frac{1}{2}\cdot CP\cdot AM+\frac{1}{2}\cdot CP\cdot MD= S_{CAM}+S_{AMB}-S_{CAM}+S_{DCM}= S_{AMB}+S_{DCM}

Matematica Capacitate Probleme aria patrulaterului 6

S_{ABCD}=S_{ABC}-S_{ACD}= \frac{1}{2}\cdot CN\cdot AB-\frac{1}{2}\cdot AM\cdot CD= \frac{1}{2}\cdot CN\cdot\left(AE+EB\right)-\frac{1}{2}\cdot AM\cdot\left(CE-ED\right)= \frac{1}{2}\cdot CN\cdot AE+\frac{1}{2}\cdot CN\cdot EB- \frac{1}{2}\cdot AM\cdot CE+\frac{1}{2}\cdot AM\cdot ED= S_{ACE}+S_{ECB}-S_{ACE}+S_{DAE}= S_{ECB}+S_{DAE}

7.Fie ABCD un patrulater concav, E un punct interior laturii AB. Aratati ca S_{ABCD}=S_{ADE}+S_{EBCD}. Aceeasi problema pentru un patrulater convex.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria patrulaterului 7

Stim din problema anterioara ca :

S_{ABCD}=S_{CDB}+S_{DBA}= S_{CDB}+\frac{1}{2}\cdot DF\cdot AB= S_{CDB}+\frac{1}{2}\cdot DF\cdot\left(AE+EB\right)= S_{CDB}+\frac{1}{2}\cdot DF\cdot AE+\frac{1}{2}\cdot DF\cdot EB= S_{CDB}+S_{DFB}+S_{ADE}= S_{EBCD}+S_{ADE}

Matematica Capacitate Probleme aria patrulaterului 8

S_{ABCD}=S_{ADB}+S_{CDB}= S_{ADE}+S_{EDB}+S_{CDB}=S_{ADE}+S_{DEBC}

8.Fie ABCD un patrulater convex, M si N doua puncte interioare respectiv laturilor AB, CD. Aratati ca \inline S_{ABCD}=S_{AMND}+S_{BMNC}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria patrulaterului 9

Trasam diagonala DB:

S_{ABCD}=S_{DAB}+S_{BDC}= \mathbit{S}_{\mathbit{DAM}}+\mathbit{S}_{\mathbit{DMO}}+S_{MOB}+\mathbit{S}_{\mathbit{DON}}+ S_{NOB}+S_{NBC}=S_{DAM}+S_{DMN}+S_{NOB}+S_{NBC}= S_{AMND}+S_{BMNC}

9. Fie M, N, P, Q puncte interioare laturilor AB, BC, CD, DA ale unui patrulater convex ABCD. Demonstrati ca S_{ABCD}=S_{MNPQ}+ S_{BMN}+S_{CNP}+ S_{DPQ}+ S_{AQM}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria patrulaterului 10

Bazandu-ne pe problema anterioara, ducem diagonala NQ, a patrulaterului MNPQ si vom avea:

S_{ABCD}=S_{AQNB}+S_{NCDQ}= S_{AMQ}+\mathbit{S}_{\mathbit{MQN}}+ S_{MNB}+S_{NPC}+ \mathbit{S}_{\mathbit{NPQ}}+S_{DQP}= S_{MNPQ}+S_{BMN}+ S_{CNP}+ S_{DPQ}+S_{AQM}.

10.Definiti aria unui pentagon convex; va trebui demonstrata in paralel o lema.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria patrulaterului 11

Lema. Fie ABCDE un pentagon convex. Atunci oricum am duce o diagonala, aria sa va fi constanta si egala cu suma ariei triunghiului format si a patrulaterului.

Demonstratie:

S_{ABCDE}= \mathbit{S}_{\mathbit{ABDE}}+ \mathbit{S}_{\mathbit{BCD}}= S_{ADB}+S_{DBC}+S_{EAD}= \mathbit{S}_{\mathbit{ABCD}}+\mathbit{S}_{\mathbit{AED}}= S_{ABME}+S_{BMC}+S_{CMD}+S_{EMD}= \mathbit{S}_{\mathbit{ABCE}}+ \mathbit{S}_{\mathbit{EDC}}

11.Cunoscand lungimile laturilor unui patrulater convex, determinati aria sa.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria patrulaterului 12

Trasand diagonala AC, constatam ca aria triunghiurilor ADC si ABC difera in functie de unghiurile cuprinse intre laturi, deci nu putem determina aria patrulaterului convex. Ex: un dreptunghi cu lungimea a si latimea b are aria a∙b; un paralelorgram cu aceleasi dimensiuni are aria a∙b∙sin B < a∙b.

12.Aplicatie practica. Ce trebuie masurat pentru a determina ariile din figura 2.14?

Matematica Capacitate Probleme aria patrulaterului 13

In cazul in care cunostem laturile, avem nevoie sa masuram:

Matematica Capacitate Probleme aria patrulaterului 14

Sau:

Matematica Capacitate Probleme aria patrulaterului 15

13.Cum faceti pentru a determina aria unui teren care are in interiorul sau o cladire (este vorba de aria terenului “inclusiv” cladirea), cladire de o forma mai complicata?

Matematica Capacitate Probleme aria patrulaterului 16

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria patrulaterului 17

Masuram unghiurile marcate in figura, iar cu ajutorul lor calculam cele doua diagonale. De aici putem calcula usurinta ariile triunghiurilor formate, cu ajutorul formulei S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} , unde \frac{a+b+c}{2}, iar a, b, c sunt laturile triunghiului. Aria terenului va fi suma ariilor celor trei triunghiuri.

14.Cum faceti pentru a determina aria unui teren in care un varf este inaccesibil?

Matematica Capacitate Probleme aria patrulaterului 18

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria patrulaterului 19

Trasam AD si masuram unghiurile D si A. Putem afla si unghiul din varf ca fiind 180° minus cele doua unghiuri. Trebuie sa aflam aria unui triunghi cand cunoastem unghiurile si una din laturi:

Matematica Capacitate Probleme aria patrulaterului 20

\sin{A}=\frac{AM}{AD};  \sin{D}=\frac{ND}{AD};  \sin{F}=\frac{ND}{FD}=\frac{AM}{AF}=>  FD=\frac{\sin{D}}{AD}\cdot\frac{1}{\sin{F}};  FA=\frac{\sin{A}}{AD}\cdot\frac{1}{\sin{F}}

Cunoscand laturile, aplicam formula pentru arie:

S_{ABCD}= S_{CDB}+S_{DBA}= S_{CDB}+ \frac{1}{2}\cdot DF\cdot AB= S_{CDB}+ \frac{1}{2}\cdot DF\cdot\left(AE+EB\right)= S_{CDB}+ \frac{1}{2}\cdot DF\cdot AE+ \frac{1}{2}\cdot DF\cdot EB= S_{CDB}+ S_{DFB}+ \inline S_{ADE}= S_{EBCD}+ S_{ADE}

Pentru aria lui ABCD se procedeaza la fel ca la problema 12.

15. Se considera mijloacele M, N, P, Q ale laturilor AB, BC, CD, DA ale unui paralelogram. Dreptele AN, BP, CQ, DM determina un paralelogram. Care este raportul dintre aria acestui paralelogram si cea a celui intial?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria patrulaterului 21

Observam ca inaltimea din Q pe DC este jumatate din inaltimea mai mica a paralelogramului (linie mijlocie), iar cea din P pe BC, jumatate din cea mare. Cu notatiile din figura, dupa ce demonstram congruenta triunghiurilor si facem diferente de arii, vom observa ca ele au dimensiunile din figura si putem stabili urmatoarele relatii:

y+u+v=\frac{h}{2}\cdot2a\cdot\frac{1}{2}=\frac{ah}{2}  (aria triunghiului DQC)

y+w+v=\frac{H}{2}\cdot2b\cdot\frac{1}{2}=\frac{bH}{2}  (arta triunghiului PBC)


2y+2v+u+w=ah

w+x+w=2ah-2\cdot\frac{ah}{2}=ah (aria paralelogramului – aria triunghiurilor DQC si NAB)

u+x+u=2bH-2\cdot\frac{bH}{2}=bH (aria paralelogramului – aria triunghiurilor PBC si DMA)


2w+2x+2u=ah+bH=>w+u+x=ah=>u+w=ah-x

Inlocuim in relatia de mai sus:

2y+2v+ah-x=ah=>x=2y+2v

Dar in triunghiul UBC, SN este linie mijlocie, deci \frac{y}{y+w}=\frac{1}{4}=> 3y=w=> y=\frac{w}{3}; x=\frac{u}{3}=> x=\frac{2}{3}\cdot\left(u+w\right)= \frac{2}{3}\cdot\left(ah-x\right)=> 3x=2ah-2x

=>5x=2ah=> x=\frac{aria\ paralelogramului}{5}

16. Raportul dintre baza mare si baza mica a unui trapez este k. Se duc diagonalele si se prelungesc cele doua laturi neparalele pana cand se intalnesc. Sa se afle raportul dintre aria fiecarui triunghi format si aria trapezului. Puneti in evidenta cele doua triunghiuri de aceeasi arie.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria patrulaterului 22

⊿AMB∼⊿DMC, raportul de asemanare fiind k. => daca inaltimea din M a triunghiului AMB este h, inaltimea triunghiului DMC este k∙h.

S_{AMB}=\frac{b\cdot h}{2}; S_{DMC}=\frac{b\cdot k\cdot k\cdot h}{2}=\frac{b\cdot h\cdot k^2}{2}

Inaltimea trapezului va fi:

S_{ABCD}= \left(B+b\right)\cdot\frac{H}{2}= \frac{b\left(k+1\right)\left(k-1\right)\cdot h}{2}= \frac{b\cdot h\cdot\left(k^2-1\right)}{2}

\frac{S_{AMB}}{S_{ABCD}}= \frac{1}{\left(k^2-1\right)};  \frac{S_{DMC}}{S_{ABCD}}= \frac{k^2}{\left(k^2-1\right)}

S_{DAC}=S_{CBD}= \frac{\left[\left(k-1\right)\cdot h\cdot B\right]}{2}= \frac{\left[\left(k-1\right)\cdot h\cdot b\cdot k\right]}{2};

\frac{S_{DAC}}{S_{ABCD}}= \frac{S_{CBD}}{S_{ABCD}}= \frac{k}{k+1}

S_{MAC}=S_{MBD}= S_{DMC}-\frac{\left[\left(k-1\right)\cdot h\cdot b\cdot k\right]}{2}= \frac{b\cdot h\cdot k^2}{2}- \frac{\left(k-1\right)\cdot h\cdot b\cdot k}{2}= \frac{b\cdot h\cdot k^2-b\cdot h\cdot k^2+h\cdot b\cdot k}{2}= \frac{h\cdot b\cdot k}{2};

\frac{S_{MAC}}{S_{ABCD}}= \frac{S_{MBD}}{S_{ABCD}}= \frac{k}{\left(k^2-1\right)}

S_{ABC}=S_{ADB}= S_{MAC}-S_{AMB}= \frac{h\cdot b\cdot k}{2}- \frac{b\cdot h}{2}= \frac{1}{2}\cdot b\cdot h\cdot(k-1)

\frac{S_{ABC}}{S_{ABCD\ }}= \frac{S_{ADB}}{S_{ABCD}}= \frac{1}{k+1}

⊿AOB∼⊿COD, raportul de asemanare fiind k daca inaltimea din O a triunghiului AOB este h’, inaltimea triunghiului DOC este k∙h’. Stim ca

h^\prime+k\cdot h^\prime= \left(k-1\right)\cdot h=> h^\prime=h\cdot\frac{k-1}{k+1}

S_{AOB}=\ h\cdot\frac{k-1}{k+1}\cdot\frac{b}{2};  S_{DOC}=\ h\cdot\frac{k-1}{k+1}\cdot b\cdot\frac{k}{2}

\frac{S_{AOB}}{S_{ABCD}}=  \frac{1}{\left(k+1\right)^2};

S_{AOD}= S_{DAC}-S_{DOC}= \frac{\left[\left(k-1\right)\cdot h\cdot b\cdot k\right]}{2}- h\cdot\frac{k-1}{k+1}\cdot b\cdot\frac{k}{2}

=\frac{1}{2\cdot\left(k+1\right)}\cdot \left[\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(h\cdot b\cdot k\right)-h\cdot b\cdot k\cdot\left(k-1\right)\right]= \frac{1}{2}\cdot\frac{k-1}{k+1}\cdot h\cdot b\cdot k^2

S_{BOC}=S_{DBC}-S_{DOC}=  \frac{\left[\left(k-1\right)\cdot h\cdot b\cdot k\right]}{2}- h\cdot\frac{k-1}{k+1}\cdot b\cdot\frac{k}{2}= \frac{1}{2}\cdot\frac{h\cdot B}{k+1}\left(k-1\right)\cdot\left(k+1-1\right)= \frac{1}{2}\cdot\frac{h\cdot b\cdot k\cdot\left(k-1\right)}{k+1}

\frac{S_{AOD}}{S_{ABCD}}=\frac{k^2}{({k+1)}^2};  \frac{S_{BOC}}{S_{ABCD}}=\frac{k}{\left(k+1\right)^2}

17.Aflati unghiurile unui romb a carui latura este medie proportionala intre diagonalele sale.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria patrulaterului 23

a^2=\frac{d^2}{4}+\frac{e^2}{4}=d\cdot e =>4\cdot d\cdot e=d^2+e^2

⊿AOD ∼ ⊿OMA => \frac{AO}{AD}=\frac{OM}{OD}=> \frac{\frac{d}{2}}{a}=\frac{OM}{\frac{e}{2}}=> OM=\frac{e\cdot d}{4a}=\frac{a\cdot a}{4a}=\frac{a}{4} =>\sin{DAO}=\frac{\frac{a}{4}}{a}=\frac{1}{4}

=> m(∢DAO)=28°=> m(∢A)=56°; m(∢ADC)=124°

18. Daca segmentul ce uneste mijloacele a doua laturi opuse ale unui patrulater convex imparte patrulaterul in doua patrulatere de aceeasi arie, atunci patrulaterul initial este un trapez sau un paralelogram.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria patrulaterului 24

Fie MP⊥DC; DQ⊥AB; CR⊥AB

S_{AMND}=S_{BMNC}=> S_{DMN}+S_{AMD}=S_{CMN}+S_{MBC} ;S_{DMN}=\frac{h\cdot y}{2}=S_{CMN}=> S_{ADM}=S_{BMC}=> \frac{1}{2}\cdot h_1\cdot x= \frac{1}{2}\cdot h_2\cdot x =>h_1=h_2

Dar cele doua segmente sunt si paralele fiind perpendiculare pe AB => QRCD este paralelogram avand doua laturi paralele si congruente => AB\parallel DC, deci ABCD este trapez sau paralelogram.

19.Construiti un triunghi ABX ce are aceeasi arie ca si un patrulater convex dat ABCD.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme aria patrulaterului 25

Ducem prin B o paralela la AC si notam cu E intersectia ei cu DC. Triunghiurile EAB si BCE au arii egale, inaltimile corespunzaroare laturii comune BE fiind distanta intre cele doua paralele. => S_{EAB}- S_{EMB}= S_{BCE}- S_{EMB}= S_{AMB}= S_{CME} =>S_{ABCD}= S_{BMA}+S_{AMCD} =S_{AMCD}+S_{CME} =S_{DAE}

 

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.