Probleme: Alte teoreme de paralelilsm

1. In figura 4.6, planele α, β, γ sunt paralele si A’C’, AC sunt doua secante. Stiind ca A’B’=5 cm, B’C’=3 cm si AC=12 cm, calculati AB si BC.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Alte teoreme de paralelilsm 1
fig. 4 6

Aplicam teorema lui Thales: \frac{A^\prime B^\prime}{B^\prime C^\prime}=\frac{AB}{BC}=> \frac{5}{3}=\frac{AB}{BC}=> AB=\frac{5BC}{3};

AB+BC=\frac{8BC}{3}=12  =>BC=4,5;AB=7,5

2. Se da o dreapta d si un punct A, exterior ei. Se considera multimea planelor care trec prin A si sunt paralele cu d. Sa se arate ca aceste plane au o dreapta comuna.

Rezolvare:

Orice plan paralel cu dreapta d si care contine punctul A, va contine dreapta paralela cu d care trece prin A, si stim ca aceasta este unica.

3. Fie planul α si un punct exterior lui, A. Care este locul geometric al mijlocului segmentului AB, cand B parcurge α?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Alte teoreme de paralelilsm 2

Locul geometric este un plan, paralel cu planul dat si aflat la jumatatea distantei intre A si planul α.

4. Fie planul α si dreapta d∥α. Daca A parcurge d si B este punctul curent (poate ocupa orice pozitie) in α, care este locul geometric al mijlocului segmentului AB?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Alte teoreme de paralelilsm 3

Locul geometric este un plan paralel cu dreapta d si planul , situat la jumatatea distantei dintre cele doua. Relatia din problema este verificata de teorema lui Thales in spatiu.

5. Se dau doua drepte neconcurente in spatiu, d si g. Care este locul geometric al mijlocului segmentului DG unde D∈d, G∈g, cand

  • d∥g;
  • d si g sunt necoplanare.

Rezolvare:

In primul caz, problema se reduce la o problema de geometrie plana, considerand planul determinat de cele doua drepte paralele. Locul geometric este o a treia dreapta, paralela cu cele doua si situata la jumatatea distantei dintre ele.

Matematica Capacitate Probleme: Alte teoreme de paralelilsm 4

Observam din figura, formarea unui triunghi paralel cu cele doua planuri (teorema lui Thales in spatiu) => locul geometric este un plan situat la jumatatea distantei dintre cele doua planuri.

6. Aceeasi problema, daca in loc de dreptele d si g se dau segmentele AB si PQ:

  • AB∥PQ;
  • AB necoplanar cu PQ.

Rezolvare:

In primul caz problema se reduce la o problema de geometrie plana, iar locul geometric cautat este linia mijlocie a trapezului ABPQ.

Matematica Capacitate Probleme: Alte teoreme de paralelilsm 5

In al doilea caz, este vorba de un paralelogram MNRT, M, N, R, T fiind mijloacele segmentelor AP, PB, BQ, AQ si punctele din interiorul sau. Pentru oricare dintre acestea se poate aplica teorema lui Thales in spatiu.

7. Demonstrati ca daca patru drepte paralele determina, pe un plan dat, varfurile unui paralelogram, atunci determina pe orice plan care le intersecteaza varfurile unui paralelogram.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Alte teoreme de paralelilsm 6

In figura de mai sus, presupunem ca MP se intersecteaza cu NO, dar MP este inclus in planul determinat de dreptele a si b iar NO este inclus in planul determinat de dreptele c si d. Cele doua plane sunt paralele, deci presupunerea este falsa => MP∥ND. Analog, MN∥OP=>MNOP este paralelorgram.

8. Aratati ca daca doua drepte concurente se intersecteaza cu doua plane paralele in punctele A, B si respectiv, C, D, astfel incat patrulaterul ABCD sa fie inscriptibil, atunci acesta este fie dreptunghi, fie trapez isoscel.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Alte teoreme de paralelilsm 7

Doua drepte concuente determina un plan. Acest plan este intersectat de doua plane, dupa doua drepte paralele. Deci, patrulaterul inscriptibil ABCD are doua laturi paralele. El este deci dreptunghi sau trapez isoscel.

9. Daca doua plane paralele determina pe doua secante segmente congruente, aceste secante sunt paralele? Justificati raspunsul dat.

Rezolvare:

Nu, a se vedea problema precedenta.

10. Se dau trei drepte concurente in spatiu, care intersecteaza trei plane paralele.

  1. Sa se arate ca punctele de intersectie ale dreptelor cu planele, formeaza, in fiecare plan, un triunghi si ca cele trei triunghiuri sunt asemenea.
  2. Centrele de greutate ale acestor triunghiuri sunt coliniare.
  3. Centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor sunt, de asemenea, coliniare.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Alte teoreme de paralelilsm 8

a. Se formeaza triunghiuri ale caror unghiuri au laturile paralele, deci triunghiurile ABC, DEF, GHI sunt asemenea.

b.

Matematica Capacitate Probleme: Alte teoreme de paralelilsm 9

⊿ABC∼⊿DEF; BM⊥AC; AN⊥BC; EP⊥DF; DQ⊥EF

⊿BMC∼⊿EPF (U.U.) => ∢H1BN≡∢H2ED => ⊿H1BN∼⊿H2ED

Similar demonstram asemanarea si cu al treilea triunghi => laturile lor sunt paralele, deci {BH}_1\parallel EH_2\parallel HH_3, pastrand si raportul de proportionalitate in ⊿THH_3=>H_2\in TH.

c. Se demonstreaza similar cu b.

11. Se considera doua plane paralele α si β. Se iau A∈α, B∈β si apoi un punct C pe segmentul AB asa incat \frac{AC}{CB}=3. Ce figura descrie C cand A si B parcurg α si respectiv β?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Alte teoreme de paralelilsm 10

Consideram punctul D∈β si ducem prin C paralela la BD. Aplicand teorema lui Thales in ⊿ABD =>\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{ED}=3 =>E indeplineste conditia. => locul geometric este un plan paralel cu cele doua aflat la o distanta de 1/3 intre cele doua plane.

12. Linia franta inchisa ABCD este intersectata de planul θ in punctele M, N, P, Q (M∈AB, N∈BC, P∈CD, Q∈DA). Ducand prin A, B, C, D respectiv planele α, β, γ, δ paralele cu θ si apoi o dreapta d, care intersecteaza aceste plane in A’, B’, C’, D’, sa se dovedeasca relatia: \frac{AM}{MB}\cdot\frac{BN}{NC}\cdot\frac{CP}{PD}\cdot\frac{DQ}{QA}=1

Matematica Capacitate Probleme: Alte teoreme de paralelilsm 11
fig. 4 7

Rezolvare:

Daca R este punctul in care d intersecteaza planul θ, atunci:

\frac{AM}{MB}\cdot\frac{BN}{NC}\cdot\frac{CP}{PD}\cdot\frac{DQ}{QA}= \frac{A^\prime R}{RB^\prime}\cdot\frac{B^\prime R}{RC^\prime}\cdot\frac{C^\prime R}{RD^\prime}\cdot\frac{D^\prime R}{RA^\prime}=1

 

 

 

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.