Pozitiile relative ale unei drepte fata de un plan

  1. O dreapta poate avea comun cu un plan doua puncte.

Stim atunci ca ea este in intregime continuta in acest plan.(P4)

  1. O dreapta poate avea un singur punct cu un plan.

Priviti, de exemplu, linia de intersectie a doi pereti si planul podelei. Dar cum aceasta observatie nu este o demonstratie, sa dam una:

Fie planul α, un punct A∈α si un punct B nesituat in planul α (B∉α). Dreapta d, care trece prin A si B, are numai punctul A comun cu α. Daca ar mai avea inca un punct C in α, ar fi continuta in intregime in α, ceea ce nu este adevarat: (B∉α) (fig. 2.1).

Matematica Capacitate Pozitiile relative ale unei drepte fata de un plan 1
fig. 2 1

Conventie. De multe ori, cand o dreapta are un punct comun cu planul, vom desena segmentul din spatele planului punctat, in rest dreapta va fi desenata neintrerupt.

Matematica Capacitate Pozitiile relative ale unei drepte fata de un plan 2
fig. 2 2

3. O dreapta d poate sa nu aiba niciun punct comun cu planul (d∩α=∅).

Vom spune, in acest caz, ca dreapta este paralela cu planul.

Sa aratam ca exista astfel de drepte. Fie un plan , o dreapta situata in acest plan (a⊂α) si un punct A nesituat in planul  (A∉α) (fig.2.3).

Matematica Capacitate Pozitiile relative ale unei drepte fata de un plan 3
fig. 2 3

Prin A ducem dreapta b paralela cu a. Afirmam ca b este paralela cu planul α. Procedam prin reducere la absurd. Presupunem ca b intersecteaza planul in punctul B (b∩α={B}). Notam planul determinat de dreptele paralele a si b cu β. Planele α si β au comuna dreapta a. Daca B nu s-ar afla pe a, ar insemna ca β si ar coincide, pentru ca au o dreapta a si un punct exterior ei, comune. Deci B, apartinand intersectiei celor doua plane, se afla pe a. Dar aceasta este imposibil, pentru ca a si b sunt paralele.

In fond, am demonstrat prin aceasta urmatoarea:

Teorema. O dreapta paralela cu o dreapta din plan este paralela cu planul (sau continuta in el).

Rezumand deci, o dreapta poate avea, relativ la un plan, urmatoarele trei pozitii:

  1. Sa fie continuta in plan;
  2. Sa aiba un singur punct comun cu planul;
  3. Sa fie paralela cu planul (nici un punct comun cu el).

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.