Pozitiile relative ale dreptelor si ale planelor in spatiu

Pozitiile relative a doua drepte in spatiu

Stim, din geometria in plan, ca doua drepte (situate in acelasi plan) pot avea un punct comun (pot fi concurente) sau pot sa nu aiba un punct comun (sa fie paralele) (fig. 1.8).

Matematica Capacitate Pozitiile relative ale dreptelor si ale planelor in spatiu 1
fig. 1 8

In spatiu exista insa si drepte care, desi nu sunt paralele, n-au nici un punct comun. Ca exemplu, inchipuiti-va incaperea din firgura 1.9. Considerati marginea a a peretelui pe care exista tabla si latura b a podelei. Bineinteles ca aceasta nu constituie o demonstratie! Sa incercam sa demonstram aceasta propozitie.

Matematica Capacitate Pozitiile relative ale dreptelor si ale planelor in spatiu 2
fig. 1 9
Matematica Capacitate Pozitiile relative ale dreptelor si ale planelor in spatiu 3
fig. 1 10

Ne vom folosi de P6. Fie punctele A, B, C, D nesituate in acelasi plan. Consideram dreapta d (care trece prin A si B) si g dreapta (care trece prin C si D) (fig. 1.10), d⋂g=∅. Daca d si g s-ar intalni, ar insemna ca A, B, C, D ar fi coplanare. Dar aceasta este contrara ipotezei. Vom numi astfel de drepte, care nu au nici un punct comun si nu sunt nici paralele, drepte necoplanare.

Stim ca, in general, desenam dreptele ca pe niste interioare de segmente. De obicei vom desena ca in figura 1.11:

Matematica Capacitate Pozitiile relative ale dreptelor si ale planelor in spatiu 4
fig. 1 11

Problema rezolvata. Fie A, B, C, D patru puncte, nesituate toate intr-un acelasi plan. Cate plane determina aceste patru puncte?

Rezolvare. Fie α planul determinat de punctele A, B si C (fig. 1.12). Evident, A, B, C nu sunt coliniare, caci, daca ar fi coliniare, atunci dreapta care le contine, impreuna cu D, ar determina un plan si deci A, B, C, D ar fi coplanare. Deci in afara planului α ramane numai punctul D.

Matematica Capacitate Pozitiile relative ale dreptelor si ale planelor in spatiu 5
fig. 1 12

Punctul D impreuna cu A si B determina un plan α1. Analog, punctul D impreuna cu B si C si cu A si C determina cate un plan α2 si respectiv α3. Deci cele patru puncte determina planele (ABC), (ABD), (BCD) si (ACD).

Am mai putea gandi si astfel: cate grupe de cate trei puncte, dintre punctele A, B, C, D, putem forma, astfel incat doua grupe sa difere intre ele printr-un punct? Putem lua perechea (A, B) cu C si cu D, si obtinem (ABC), (ABD). Putem lua perechea (B, C) cu D si obtinem (BCD) (cu A s-a considerat mai sus). Daca mai consideram si grupa (ACD), am obtinut cele patru plane determinate de punctele A, B, C, D.

Sau altfel: odata ce am ales trei puncte din patru (care determina un plan), ramane in afara acestui plan un singur punct.

In cate moduri poate ramane un punct “afara”? Evident, in patru moduri. Deci exista patru plane diferite.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.