Pozitiile relative a doua plane

Stim din P3 ca daca doua plane au trei puncte necoliniare comune, ele coincid.

Exista plane care au numai o dreapta comuna? Da, suntem indemnati sa spunem, privind linia dupa care se intalneste un perete al clasei cu tavanul! Dar sa si demonstram. Sa consideram un plan α, o dreapta d⊂α si un punct A∉α. Dreapta d si punctul A determina un plan β, care are comun cu planul  α numai dreapta d. Intr-adevar, daca β ar mai avea comun cu α inca un punct B, neapartinand lui d, ar coincide cu α, deci A∈α, ceea ce este fals (fig. 2.4).

Matematica Capacitate Pozitiile relative a doua plane 1
fig. 2 4

Demonstratia precedenta ne-a aratat ca exista plane (cum sunt α si β), care au numai o dreapta comuna, altfel spus: se intalnesc dupa o dreapta.

Dar exista oare plane care n-au nici un punct comun? Un exemplu ar fi podeaua si tavanul. Dar sa dam si o demonstratie.

Pentru aceasta sa demonstram urmatoarea:

Lema (teorema ajutatoare). Daca doua drepte paralele a si b sunt situate in doua plane α respectiv β care se intersecteaza dupa o dreapta c, atunci c este paralela si cu a si cu b.

Exista, intr-adevar, astfel de plane: luam un punct C care nu-i nici pe a, nici pe b, el determina cu a si cu b respectiv planele cautate. Intersectia lor c trece prin C si afirmam ca este paralela cu b. Daca dreptele b si c n-ar fi paralele, fiind coplanare (situate in β), ar avea un punct comun D (fig. 2.5).

Matematica Capacitate Pozitiile relative a doua plane 2
fig. 2 5

Consideram acum planul γ, determinat de dreptele paralele a si b. Punctul D ar apartine planului γ, deoarece apartine dreptei b, continuta in γ, (D∈b⊂γ⟹D∈γ). Dar D∈α (D∈c⊂α). Deci, punctul D s-ar afla la intersectia planelor α si γ , deci pe dreapta a. Cu alte cuvinte, punctul D ar apartine atat dreptei a cat si dreptei b. Dar acest lucru este imposibil, pentru ca a si b sunt paralele.

Acum putem demonstra ca exista plane paralele: Fie un plan α, doua drepte a si b in planul α,concurente in P si un punct Q exterior planului. Prin Q ducem dreapta a’, paralela cu a, si dreapta b’ paralela cu b (fig. 2.6).

Matematica Capacitate Pozitiile relative a doua plane 3
fig. 2 6

Dreptele a’ si b’ determina un plan β. Daca α si β n-ar fi paralele, ar avea o dreapta comuna c, care ar trebui sa fie paralela atat cu b cat si cu a, ceea ce ar contrazice postulatul lui Euclid, a si b fiind concurente in P.

Rezumand: Doua plane distincte pot avea comuna o dreapta si numai una, sau pot fi paralele (n-au niciun punct comun). Alta situatie nu exista!

Din demonstratia anterioara, rezulta si urmatoarea teorema, utila la rezolvarea multor probleme: Daca un plan contine doua drepte concurente, paralele cu un alt plan, atunci primul plan este paralel cu cel de-al doilea.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.