Poligoane regulate

Definitie. Numim poligon regulat un poligon cu toate laturile congruente si toate unghiurile congruente intre ele.

Daca printr-un procedeu oarecare impartim un cerc in n (n≥3 arce egale si ducem corzile care subintind pe fiecare dintre ele, unind punctele de diviziune succesive, obtinem un astfel de poligon.

Matematica Capacitate Poligoane regulate 1

 

Unghiurile unui poligon regulat sunt congruente fiind inscrise in arce de masuri egale cu \frac{360^{\circ}}{2}\cdot \left ( n-2 \right ) iar laturile sunt congruente subintinzand arce de aceeasi masura: \frac{360^{\circ}}{n}.

Am pornit prin a constata ca astfel de poligoane regulate nu exista. Sa demonstram urmatoarea:

Teorema. Orice poligon regulat se poate inscrie intr-un cerc.

Matematica Capacitate Poligoane regulate 2

Demonstratie. Daca ∢A1≡∢A2≡∢A3≡…≡∢An si laturile A_1A_2\equiv A_2A_3\equiv A_3A_4 \equiv\ldots\equiv A_mA_n ducem mediatoarele laturilor A_1A_2 si A_2A_3 (vezi figurile 2.23 si 2.24 si notatiile de acolo). Mediatoarele M_1O si M_2O se intalnesc in O. (Daca nu s-ar intalni, ar insemna ca sunt paralele deci ca m(∢A1A2A3)=180° ceea ce este absurd). Triunghiurile ∆M1A2O≡∆M2A2O (M1 si M2 fiind mijloacele laturilor A_1A_2 respectiv A_2A_3). Rezulta ca {OA}_2 este bisectoarea unghiului ∢A_1A_2A_3. M_2O fiind mediatoare, segmentele {OA}_2\equiv{OA}_3 . Ducem  {OM}_3\bot A_3A_4 . Triunghiurile ∆OA_3M_2\equiv ∆OA_3M_3 pentru ca ipotenuza {OA_3} este aceeasi si ∢M2A3O este jumatate din unghiul poligonului, deci congruente cu ∢OA_3M_3. Rezulta ca si M_2A_3\equiv A_3M_3{M_2A_3}\equiv A_3M_3, deci {OM_3} este mediatoarea segmentului A_3A_4 deci {OA}_3\equiv{OA}_4 . La fel se arata ca {OA}_4\equiv{OA}_5 etc. Deci toate punctele A_1,A_2,A_3,\ldots,A_n sunt egal departate de O. Teorema este demonstrata. Acest punct O se va numi centrul poligonului regulat.

Matematica Capacitate Poligoane regulate 3

Vom nota latura poligonului regulat cu n laturi cu ln (fig. 2.25). Stiind ca un unghi la centru care subintinde o latura de poligon regulat are \frac{360^{\circ}}{n}  si cunoscand raza R a cercului circumscris poligonului, putem calcula AM (unde M este mijlocul laturii AA’). AM=R\cdot sin\frac{360^{\circ}}{n} , deci l_n=2\cdot R\cdot sin \frac{360^{\circ}}{n}. Segmentul OM dus din centru, perpendicular pe latura in punctul M se va numi apotema poligonului regulat. O vom nota cu an, si a_n=R\cdot cos \frac{180^{\circ}}{n}.

Daca lucrurile par simple presupunand deja facuta impartirea unui cerc in arce egale, exista totusi anumite dificultati de constructie. De pilda s-a demonstrat ca impartirea unui cerc in 7 arce egale nu se poate face cu rigla si compasul (aceasta demonstratie tine de algebra si nu de geometrie).

Vom gasi ca unghiul la centru corespunzator laturii unui hexagon regulat este de 60° (fig. 2.26).

Matematica Capacitate Poligoane regulate 4

De aici rezulta un procedeu simplu de constructie a sa. Toate triunghiurile avand un varf in centrul hexagonului si ca latura opusa lui, laturile hexagonului, sunt triunghiuri echilaterale. Deci latura masoara cat raza: l_6=R. Impartim un cerc in 6 parti egale luand un punct A pe cerc drept centru si cu o “deschidere” a compasului cat R, trasand B si F (fig.2.27).

Matematica Capacitate Poligoane regulate 5

Mutand apoi succesiv centrul cercului obtinem si celelalte puncte de diviziune, varfurile hexagonului cautat. Observam ca este suficient sa gasim cu compasul numai trei puncte consecutive A, B, F, si pe celelalte le aflam ducand diametrele cu aceste extremitati. Apotema a_6=\frac{R\cdot\sqrt3}{2} .

Daca unim din doua in doua varfurile unui hexagon, de pilda, A, C, E, obtinem un triunghi echilateral. Calculand din formulele laturilor si apotemelor obtinem L_3=R\sqrt3 si a_3=\frac{R}{2}.

La patrat (poligon regulat cu patru laturi), unghiul la centru corespunzator este de 90°. Aplicand formulele obinem L_4=R\sqrt2 si a_4=R\frac{\sqrt2}{2}.

Poligoane regulate stelate

Daca impartim cercul in cinci arce egale si unim punctele de diviziune din doua in doua, segmentele AC, CE, EB, BD, Da vor fi laturile unui “poligon” regulat de un tip anumit: Laturile lui se intersecteaza si in interiorul cercului. Acest “Poligon” se numeste stelat. (fig. 2.28).

Matematica Capacitate Poligoane regulate 6

(El este un poligon regulat concav.)

Atunci cand am facut afirmatia ca orice poligon regulat are varfurile pe cerc, demonstratia de mai sus era valabila si pentru “poligoane” stelate: nu s-a intrebuintat nicaieri in demonstratie faptul ca poligonul ar fi convex. Trebuie numai sa consideram laturile complete, nu portiuni din ele, cu varfurile lui, extremitatile laturilor, asezate pe cerc.

O prima constatare: Presupunem ca un cerc a fost impartit intr-un numar par de arce egale si ducem ca laturi coardele sarind peste cate un punct de diviziune. Obtinem un poligon regulat cu numar de laturi de doua ori mai mic. De pilda unind varfurile unui hexagon regulat din doua in doua, obtinem un triunghi echilateral. Se pune deci problema “simplificarii” cu un factor comun al numarului de diviziuni in care am impartit cercul si al “pasilor” – arcuri pe care “ii sarim” cand ducem corzile – laturi.

Sa presupunem ca am impartit un cerc in 14 arce egale. Facem un tabel in care apare ca fractie ireductibila raportul dintre numarul de arce initiale si al “pasilor sariti”. In functie de acesta vom preciza natura poligonului obtinut. Notam cu n numarul de diviziuni initiale, cu k “pasii” (arcele subintinse de o coarda) si cu f fractia ireductibila obtinuta din simplificarea raportului n/k.

Matematica Capacitate Poligoane regulate 7

Am oprit aici tabelul. Daca k=8, atunci n-k=6 si este ca si cum am fi inceput sa socotim de la punctul initial pe cerc in celalalt sens. Daca in loc de 14 am fi avut un numar impar de diviziuni initiale, de exemplu 2p+1, ne opream la k=p; de exemplu n=17 ne opream la k=8.

Alta constatare: daca fractia ireductibila este un numar intreg, poligonul este convex. Daca numitorul lui f nu este 1 atunci poligonul este stelat si anume steaua area atatea “colturi” cat arata numaratorul.

Deci nu toate poligoanele stelate cu acelasi numar de colturi sunt “asemenea”. Heptagonul din coloana a IV-a difera de cel din coloana a VI-a.

Matematica Capacitate Poligoane regulate 8

Tabelul ar deveni mai usor de retinut daca am adauga la a_3 si l_6 cate un factor  \sqrt1 pe langa R; ultimele doua linii din tabel nu trebuie memorate.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.