Poliedre particulare: Tetraedrul

Intelegem prin poliedru o figura care, prin proprietatile ei spatiale, ne aminteste proprietatile poligonului, ca figura plana.

Vom incepe prin a studia diferite poliedre particulare. Sa mentionam ca paralelipipedul, de pilda (intalnit in clasa a cincea), este un poliedru.

Poliedrul, analog triunghiului din plan, este tetraedrul.

Un tetraedrul este definit prin patru puncte, numite varfuri, care trebuie sa fie patru puncte necoplanare (la fel, in plan, triunghiul este definit prin cele trei varfuri ale sale, care trebuie sa fie necoliniare).

Sa unim cele patru puncte in toate modurile posibile (fig.10.1). Segmentele de dreapta obtinute le numim muchiile tetraedrului. Triunghiurile care se formeaza si interioarele lor alcatuiesc fetele tetraedrului. Reuniunea acestor fete este suprafata tetraedrului.

Unind cu un segment doua puncte de pe suprafata unui teraedru, neasezate pe aceeasi fata, orice punct din interiorul acestui segment se numeste punct interior tetraedrului.

Reuniunea dintre suprafata tetraedrului si interiorul sau formeaza un corp numit tetraedrul. Uneori, vom considera in probleme drept tetraedru numai suprafata sa.

Suma ariilor fetelor tetraedrului o numim arie totala a tetraedrului. Daca consideraam tetraedrul “asezat” pe una din fete, o vom numi pe aceasta baza, iar pe celelalte, fete laterale.

Distanta de la un varf (de pilda A) la fata opusa lui (⊿DBC), (fig.10.1), se numeste inaltimea tetraedrului (ha din fig. 10.1). Luata astfel, inaltimea este un numar. In unele probleme o vom considera si ca segment cu un capat in varf si cu celalalt capat in planul fetei ce nu trece prin varful respectiv. Un tetraedru are patru inaltimi.

Matematica Capacitate Poliedre particulare: Tetraedrul 1
fig. 10 1

Despre volum. Obiectele din jurul nostru ocupa “loc” mai mare sau mai mic. Un dulap de bucatarie, de pilda, daca este “mai mare” lasa “mai putin loc” de trecere in jurul sau, deci el ocupa “mai mult loc” din “cantitatea de loc” a camerei. Bineinteles ca fortam putin modul de exprimare pentru a vorbi de lucruri cunoscute. Suntem condusi in mod firesc sa comparam, intr-un fel oarecare, cat loc ocupa un obiect, cu cat loc ocupa alt obiect, din spatiul inconjurator. Apare ideea de a asocia fiecarui corp din spatiu cate un numar, pe care il vom numi volumul sau, care sa ne permita sa facem astfel de comparatii.

Volumul tetraedrului este un numar egal cu o treime din produsul dintre aria unei fete si inaltimea care este perpendiculara pe ea.

Aceasta definitie necesita precizari. In primul rand trebuie aratat ca acest numar este acelasi, oricare ar fi alegerea fetei tetraedrului, considerata ca baza, si a inaltimii corespunzatoare ei.

Pentru aceasta, ducem inaltimile fetelor ABC si DBC (AM=a2, DN=a1) si inaltimile tetraedrului AQ=h1, DP=h2 (fig.10.2).

Matematica Capacitate Poliedre particulare: Tetraedrul 2
fig. 10 2

Sa demonstram egalitatea produselor a_{1}h_{1} si a_{2}h_{2}. Pentru aceasta vom constata congruenta unghiurilor QAM si PDN. Dreptele MQ si ND sunt perpendiculare pe BC (DN fiind inaltime si MQ din una dintre reciprocele teoremei celor trei perpendiculare). Deci MQ∥ND. La fel, MA∥PN. Inseamna ca ∢AMQ≡∢PND. Rezulta ca si complementele lor sunt congruente (∢MAQ≡∢NDP), (m(∢MAQ)=α). Exprimam, in doua moduri, cosinusul unghiului \alpha:\cos{\alpha}=\frac{h_1}{a_2}=\frac{h_2}{a_1} si, egaland produsul mezilor cu al extremilor, obtinem egalitatea cautata.

Vom nota cu si  ariile fetelor BCD, respectiv BCA. Sa dovedim ca \frac{S_{BCD}\cdot h_1}{3}= \frac{S_{BCA}\cdot h_2}{3}\Longleftrightarrow \frac{BC\cdot a_2h_2}{6}= \frac{BC\cdot a_1h_1}{6}\Longleftrightarrow a_1h_1=a_2h_2, relatie demonstrata. Dar, intr-un tetraedru, oricare doua fete au o latura comuna, deci oricare ar fi fata aleasa cu inaltimea corespunzatoare, produsul lor este acelasi.

Daca se da un tetraedru ABCD si prin dreapta AD se duce un plan care intersecteaza muchia BC intr-un punct interior M, este evident ca suma volumelor tetraedrelor ABMD si ACMD este egala cu volumul tetraedrului ABCD, pentru ca suma ariilor ⊿BMD si ⊿MCD este aria ⊿BCD, iar inaltimea corespunzatoare acestor fete este aceeasi (fig.10.3).

Matematica Capacitate Poliedre particulare: Tetraedrul 3
fig. 10 3

Un tetraedru cu toate muchiile congruente se numeste tetraedru regulat.

Cand desenam un tetraedru, avem grija, in general, sa figuram muchiile care nu se vad, punctat. Exemple in fig.10.4:

Matematica Capacitate Poliedre particulare: Tetraedrul 4
fig. 10 4

Sectiuni intr-un tetraedru. Intersectia unui plan cu un tetraedru se numeste sectiunea determinata in plan in tetraedru.

O problema de desen. Dandu-se tetraedrul ABCD si punctele M, N, P pe muchiile sale, asa cum ne arata figura 10.5, sa desenam sectiunea determinata in tetraedru de planul ce trece prin M, N, P.

Matematica Capacitate Poliedre particulare: Tetraedrul 5
fig. 10 5

Observam ca segmentul MN este continut in fata ABC, la fel MP⊂(ABD). Le figuram, unind M cu N si M cu P. Dreapta MN are comun cu dreapta BC punctul Q, care, fiind pe BC, apartine si planului (BCD), la fel ca si punctul P, deci dreapta PQ este continuta in planul (BCD). Dreapta PQ intersecteaza pe CD in T. Segmentul TP este o latura a sectiunii. Punctele N si T sunt pe aceeasi fata, deci sectiunea este poligonul NMPT cu interiorul sau.

Desfasurarea unui tetraedru. Presupunem, prin concretizare, un tetraedrudin carton (tetraedru-suprafata deci, nu tetraedru-corp). Sectionandu-l de exemplu, de-a lungul muchiilor AB, AC, AD, sa-i “rabatam” fetele, fara a le deforma, pana se ajunge la un poligon plan A1BA2CA3D, care reprezinta o desfasurare a tetraedrului ABCD. (atentie A1B≡A2B; A2C≡CA3; A2D≡DA1) (fig.10.6).

Matematica Capacitate Poliedre particulare: Tetraedrul 6
fig. 10 6

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.