Plane perpendiculare

Fie un plan α si o dreapta d perpendiculara pe el (fig.7.1). Ele au un punct comun A. (Afirmatia este evidenta: daca d nu ar intersecta planul in A, ar rezulta ca d∥α. In acest caz, ducand prin d un plan β, neparalel cu α, ar intersecta planul α dupa o dreapta g (d∥g). Deci in α ar exista o dreapta g care nu ar fi perpendiculara pe d dar d, fiind perpendiculara pe α, este perpendiculara pe orice dreapta din α). Prin d, ducem un plan γ. Spunem ca planul γ este perpendicular pe planul α.

Matematica Capacitate Plane perpendiculare 1
fig. 7 1

Deci putem da urmatoarea:

Definitie. Un plan γ este perpendicular pe un alt plan , daca contine o dreapta d⊂γ perpendiculara pe acesta (d⊥γ).

Matematica Capacitate Plane perpendiculare 2
fig. 7 2

Vom demonstra ca daca γ⊥α, atunci si α⊥γ. Notam cu g intersectia planelor α si γ (g=α⋂γ) (fig.7.2). Ducem in planul α perpendiculara a pe g in punctul A. (Deci a⊂α, a⊥g, A∈a). Dreapta a este perpendiculara pe planul γ, pentru ca este perpendiculara pe doua drepte ale sale a⊥g, a⊥d (d se gaseste in planul γ si este perpendiculara pe α). Cu alte cuvinte, planul α contine dreapta a care este perpendiculara pe γ. Deci α⊥γ. Am demonstrat astfel:

Teorema. Fiind date doua plane α si γ, daca α⊥γ atunci si γ⊥α.

Sa cautam sa demonstram inca o teorema.

Teorema. Daca se dau doua plane perpendiculare (α⊥β), perpendiculara dintr-un punct oarecare al unuia (A∈α) pe celalalt, este in intregime continuta in primul plan (AA’⊂α, A’∈β, AA’⊥β).

Demonstratie. Notam cu {m}=α∩β. Prin reducere la absurd, presupunem ca AA’⊥β nu este continuta in planul α. Dar α este perpendicular pe β, deci exista in α o dreapta g perpendiculara pe β (fig.7.3), adica pe orice dreapta a lui β. Ducem prin A dreapta d paralela cu g. Si ea va face acelasi unghi cu toate dreptele din β. Dreapta d intalneste dreapta m in B. In planul determinat de A, A’, B ar exista deci doua drepte AB si AA’ perpendiculare pe BA’. Dar acest lucru este imposibil, pentru ca AB si AA’ sunt concurente.

Matematica Capacitate Plane perpendiculare 3
fig. 7 3

Ramane numai cazul cand g ar trece prin A, dar atunci problema este rezolvata, g fiind, prin definitie, continuta in .

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.