Piramida

O piramida este definita de un poligon plan, pe care il numim baza, si un punct exterior planului sau, pe care il numim varful piramidei. Unim acest punct cu toate varfurile poligonului plan (fig.14.1). Un triunghi care are un varf in varful piramidei si latura opusa varfului este o latura a bazei se numeste fata laterala a piramidei. (consideram fata piramidei cu interiorul ei cu tot.)

Matematica Capacitate Piramida 1
fig. 14 1

Segmentul (cu interiorul sau), care uneste varful piramidei cu un varf al bazei se numeste muchie laterala. Laturile poligonului de la baza piramidei se numesc muchiile de la baza. Muchiile laterale ale piramidei, impreuna cu muchiile de la baza se numesc muchiile piramidei. Reuniunea punctelor din interiorul fetelor laterale, a muchiilor laterale, a muchiilor de la baza si a interiorului bazei alcatuieste suprafata piramidei. Interiorul piramidei se defineste in mod asemanator ca la tetraedru si la prisma.

Suprafata piramidei, reunita cu interiorul ei, alcatuieste corpul numit piramida. Cateodata insa prin piramida vom intelege numai suprafata sa.

Distanta dintre varf si planul bazei se numeste inaltime. Luata astfel, inaltimea este un numar. In unele probleme o vom considera si ca segment cu un capat in varf si celalalt in planul bazei. (fig.14.2).

Inaltimea unei piramide poate sa cada:

Matematica Capacitate Piramida 2
fig. 14 2

Dupa natura poligonului de baza, piramida se numeste patrulatera, hexagonala etc., tetraedrul este in fond o piramida triunghiulara.

Daca baza piramidei este un poligon regulat, iar inaltimea coborata din varful piramidei trece prin centrul bazei, piramida se numeste “regulata”.

Intr-o piramida regulata, inaltimea unei fete se numeste apotema piramidei. Ea este ipotenuza intr-un triunghi dreptunghic in care catetele sunt inaltimea piramidei si apotema bazei. Aplicand teorema lui Pitagora obtinem, cu notatiile din figura 14.3a’2=a2+h2

Matematica Capacitate Piramida 3
fig. 14 3

Daca notam cu R raza cercului circumscris bazei si cu m muchia laterala a piramidei, putem exprima, cu ajutorul teoremei lui Pitagora, inaltimea, inca intr-un mod: h2=m2-R2. Se mai poate stabili o legatura intre elementele bazei unei piramide regulate, tot cu ajutorul teoremei lui Pitagora{a^\prime}^2+\frac{b^2}{4}=R^2.

Aria laterala a piramidei este suma ariilor fetelor ei laterale. In cazul piramidei regulate, ea se obtine din formula A_{lat}=\frac{a^\prime\cdot p}{2} unde p este perimetrul bazei, sau A_{lat}=\frac{n\cdot b\cdot a^\prime}{2}, unde n este numarul laturilor bazei, b latura bazei, a’ apotema piramidei. Intr-adevar, avem n fete laterale si aria fiecareia este \frac{b\cdot a^\prime}{2}.

Aria totala a piramidei este suma dintre aria laterala si aria bazei. Se obtine, in cazul piramidei regulate: A_{tot}=\frac{n\cdot b\cdot\left(a^\prime+a\right)}{2} sau A_{tot}=\frac{\left(a^\prime+a\right)\cdot p}{2}.

Dam mai jos doua moduri de a “desfasura” o piramida. (Expresia “a desfasura” are acelasi inteles ca la tetraedru si paralelipiped. (fig. 14.4 si fig.14.5).

Matematica Capacitate Piramida 4
fig. 14 4
Matematica Capacitate Piramida 5
fig. 14 5

Volumul piramidei

Presupunem ca s-au dus diagonalele bazei care pornesc dintr-un varf al ei. Planele determinate de aceste diagonale cu varful, luate ca plane de sectiune, impart piramida in tetraedre de aceeasi inaltime (fig.14.6).

Matematica Capacitate Piramida 6
fig. 14 6

Suma volumelor lor o vom numi volumul piramidei. Volumul este independent de alegerea varfului bazei sau a unui punct din interiorul ei. Fie s1, s2, … sn, ariile triunghiurilor in care a fost impartit poligonul de baza si h inaltimea piramidei (care este comuna tuturor tetraedrelor). Aria bazei este

S=s_1+s_2+\ldots+s_n si volumul

V=\frac{s_1h}{3}+\frac{s_1h}{3}+\ldots+\frac{s_nh}{3}=\left(s_1+s_2+\ldots+s_n\right)\cdot\frac{h}{3}={\color{Blue} \frac{Sh}{3}}.

Deci, volumul piramidei este o treime din produsul dintre aria bazei si inaltime.

O problema de desen. Fie VABCD o piramida patrulatera cu baza ABCD. Fie M, N si P puncte situate pe muchiile AB, VB si respectiv VD, astfel incat  AM<\frac{AB}{2},VN>\frac{VB}{2} si VP>\frac{VD}{2}. Sa se determine forma sectiunii piramidei VABCD cu planul determinat de punctele M, N si P (fig.14.7).

Matematica Capacitate Piramida 7

Rezolvare. Cele patru desene din figura 14.7 rezolva problema propusa. Cititorii vor face singuri comentariul in aceeasi maniera cu cel de la problemele rezolvate privind sectiunile cu un plan, de la tetraedru si paralelipiped.

Problema rezolvata. Se da o piramida hexagonala regulata VABCDEF cu elementele de lungimi cunoscute (fig.14.8). Vom calcula cateva din elementele-unghiuri care apar.

Matematica Capacitate Piramida 8
fig. 14 8

1. Unghiul α dintre AB si VA. In triunghiul isoscel VAB fie M mijlocul lui AB.

Avem \cos{\alpha}=\frac{AM}{VA}. Cum VA=\sqrt{h^2+a^2}, rezulta: \cos{\alpha}=\frac{a}{2\sqrt{h^2+a^2}}.

Cum AB∥DE rezulta ca α=∢(DE, VD)=∢(AB, VD) si analog α=∢(AB, VE) si α=∢(AB,VB).

2. Unghiul β dintre AB si VC. Avem AB∥CF, deci unghiul  se determina din triunghiul isoscel VCF: tg\ \beta=\frac{VO}{OC}=\frac{h}{a}.

Avem si β=∢(AB,VF).

3. Unghiul γ dintre VA si VB. Din triunghiul VAB avem

 γ=180°-2∙α=2∙(90°-α).

4. Unghiul δ  dintre VA si VC. Acest unghi se determina din triunghiul isoscel VAC. AC este latura triunghiului echilateral inscris in cercul de raza a, deci AC=a\sqrt3 si obtinem: \sin{\frac{\delta}{2}}=\frac{\frac{AC}{2}}{VA}=\frac{a\sqrt3}{2\sqrt{h^2+a^2}}.

5. Unghiul ε dintre VA si VD. Din triunghiul isoscel VAD, congruent cu triunghiul VCF, avem:

ε=180°-2β=2(90°-β).

6. Unghiul diedru π dintre planul bazei si planul unei fete (VAF) este unghiul din Q al triunghiului VOQ, deci: tg\ \pi=\frac{VO}{OQ}=\frac{h}{\frac{a\sqrt3}{2}}=\frac{2h\sqrt3}{3a}.

7. Unghiul diedru σ dintre planele fetelor VAB si VBC. Perpendicularele coborate din A si C pe VB cad in acelasi punct H; AH≡CH, deci, in triunghiul ACH, avem: \sin{\frac{\sigma}{2}}=\frac{\frac{AC}{2}}{AH}=\frac{a\sqrt3}{2AH}; AH\cdot VB=AB\cdot VM (dublul ariei triunghiului VAB).

AH=\frac{AB\cdot V M}{VB}=\frac{\sigma\sqrt{4h^2+3a^2}}{2\sqrt{a^2+h^2}}

8. Unghiul diedru ω dintre planele fetelor VCD si VAF. Avem CD∥AF, deci AF∥(VCD), deci planele fetelor VCD si VAF se intersecteaza dupa o paralela la CD si AF, ce trece prin V.

Avem VR⊥CD, VQ⊥AF, deci ω=∢RVQ, tg\frac{\omega}{2}=\frac{RO}{VO}=\frac{a\sqrt3}{2h}.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.