Perpendicularitate si oblice. Distanta de la un punct la un plan

Teorema. Fie M un punct in spatiu,  un plan si N piciorul perpendicularei duse din M pe α.

  1. Daca P∈ α, P≠N, atunci MP > MN.
  2. Daca P1, P2 sunt puncte din , atunci NP1≡NP2,daca si numai daca, MP1≡MP2.

Demonstratia este imediata, considerand triunghiul MNP, respectiv triunghiurile MNP1, MNP2 (fig. 7.6).

Matematica Capacitate Perpendicularitate si oblice. Distanta de la un punct la un plan 1
fig. 7 6

Observatie. Teorema se poate formula si astfel: perpendiculara dintr-un punct pe un plan este mai scurta decat orice oblica dusa din acelasi punct pe plan; doua oblice duse din acelasi punct la un plan sunt congruente, atunci si numai atunci, cand picioarele lor sunt egal departate de piciorul perpendicularei.

Definitie. Prin distanta de la un punct M la un plan α, intelegem lungimea MN, unde N∈α este piciorul perpendicularei duse din M pe α.

Teorema. Fie α, β doua plane paralele. Atunci distanta de la punctele M∈α la planul β este constanta. Aceasta constanta se numeste distanta intre planele paralele α si β.

Demonstratie. Fie M1, M2∈α si N1, N2 picioarele perpendicularelor din M1, M2 pe β (fig.7.7).

Matematica Capacitate Perpendicularitate si oblice. Distanta de la un punct la un plan 2
fig. 7 7

Stim ca M1N1∥M2N2 (perpendicularitate si paralelism), deci M1, M2, N1, N2 sunt in acelasi plan. De la proprietatile planelor paralele stim ca M1M2∥N1N2 deci M1N1M2N2 este dreptunghi si deci M1N1=M2N2 ceea ce trebuia demonstrat.

Aplicatii. Se pot dovedi usor, folosind teorema asupra oblicelor congruente, urmatoarele afirmatii:

1. Locul geometric al punctelor din spatiu egal departate de varfurile unui triunghi este perpendiculara dusa din centrul cercului circumscris triunghiului pe planul acestuia.

Demonstratie. Cu notatiile din figura 7.8, A, B, C sunt varfurile triunghiului, O centrul cercului circumscris, d perpendiculara in O pe planul triunghiului si M un punct oarecare al ei. Stim ca razele OA≡OB≡OC, deci MA≡MB≡MC, ca oblice duse din acelasi punct, egal departate de piciorul perpendicularei. Reciproc: daca N este un punct in spatiu, astfel incat NA≡NB≡NC si N’ este piciorul perpendicularei din N pe planul (ABC), atunci N’A≡N’B≡N’C, deci N’ coincide cu O.

Matematica Capacitate Perpendicularitate si oblice. Distanta de la un punct la un plan 3
fig 7 8

2. Locul geometric al punctelor egal departate de laturile unui triunghi este perpendiculara pe planul sau, in centrul cercului inscris in triunghi.

Demonstratie. Cu notatiile din figura 7.9, A, B, C sunt varfurile triunghiului, I centrul cercului inscris, d perpendiculara in I pe planul triunghiului si M un punct curent al ei. Avem: MA’≡MB’≡MC’ ca oblice duse din acelasi punct, egal departate de piciorul perpendicularei. Deci orice punct M∈d are proprietatea ceruta. Reciproc, considerand un punct M exterior planului triunghiului (ABC), astfel incat distantele la laturile lui sa fie egale (MA’=MB’=MC’), ducand din M perpendiculara MI’ pe planul triunghiului (I’ in acest plan) si aplicand o reciproca a teoremelor celor trei perpendiculare avem: I’A’=I’B’=I’C’; deci I si I’ coincid.

Matematica Capacitate Perpendicularitate si oblice. Distanta de la un punct la un plan 4
fig 7 9

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.