Perpendicularitate in spatiu

Drepte perpendiculare

Stim ce inseamna drepte perpendiculare continute in acelasi plan.

Fie a, b doua drepte, in general necoplanare. Fie P un punct oarecare in spatiu. Sa ducem prin P dreptele a’ si b’, paralele respectiv cu a si cu b. Daca P’ este un alt punct in spatiu, sa ducem si prin el dreptele a”∥a, b”∥b. Avem a”∥a’, b”∥b’; teorema asupra unghiurilor cu laturi paralele arata ca a’⊥b’, daca si numai daca, a”⊥b” . Ajungem la:

Definitie. Doua drepte a si b in spatiu se numesc perpendiculare daca paralele duse printr-un punct P la ele sunt perpendiculare. Scriem a⊥b (fig. 5.1).

Matematica Capacitate Perpendicularitate in spatiu 1
fig. 5 1

Am vazut mai sus ca daca aceasta se intampla relativ la un punct P, atunci acelasi lucru este valabil la orice punct din spatiu.

Dreapta perpendiculara pe un plan

Pentru a explica aceasta notiune vom cauta sa aratam ca, dandu-se o dreapta a si un punct A∈a, exista un plan α care sa treaca prin punctul A, astfel incat orice dreapta a acestui plan sa fie perpendiculara pe dreapta a.

Vom considera doua plane β si γ, care contin dreapta a, si vom duce in fiecare din ele doua drepte b (b⊂β);c (c⊂γ), perpendiculare in A pe dreapta a. Planul determinat de dreptele b si c este cel cautat. (fig. 5.2).

Matematica Capacitate Perpendicularitate in spatiu 2
fig. 5 2

Vom demonstra acest fapt. Pentru dreptele din α paralele cu b sau cu c, este evident, unghiurile lor cu a fiind chiar unghiurile drepte A1 sau A2 din (fig. 5.3).

Matematica Capacitate Perpendicularitate in spatiu 3
fig. 5 3

Sa demonstram acest lucru pentru o dreapta oarecare d⊂α, care nu este paralela cu niciuna din dreptele b si c. (fig. 5.3).

Ducem prin A o paralela d’ la aceasta dreapta. Se arata usor ca ea este continuta in planul α.

Alegem o alta dreapta in planul α, care nu trece prin A si cate intersecteaza dreptele b, c, d’ in B, C, F. Putem presupune ca F se afla intre B si C.

Luam pe a doua puncte E si E’, de o parte si de alta a lui A, asa incat AE≡AE’.

Avem EB≡E’B, EC≡E’Cdin perechile de triunghiuri dreptunghice congruente EAB, E’AB, EAC, E’AC (fig 5.4).

Matematica Capacitate Perpendicularitate in spatiu 4
fig. 5 4

Deci triunghiurile EBC, E’BC sunt congruente (au toate laturile respectiv congruente) si deducem ∢EBC≡∢E’BC.

Aceasta permite sa afirmam ca triunghiurile EBF si E’BF sunt congruente (au doua laturi si unghiul cuprins intre ele respectiv congruente). Rezulta EF≡E’F, adica triunghiul EFE’ este isoscel; in el, mediana FA va fi inaltime, ceea ce reprezinta concluzia dorita: d’⊥a, adica d⊥a.

Printr-un punct A al unei drepte a trece deci un plan astfel incat orice dreapta continuta in acest plan sa fie perpendiculara pe dreapta a.

Ne propunem acum urmatoarea problema: Printr-un punct exterior unei drepte, se poate duce un plan care sa aiba toate dreptele, continute in el, perpendiculare pe dreapta initiala?

Raspunsul este afirmativ. Presupune, data dreapta a si punctul A exterior ei (fig. 5.5).

Matematica Capacitate Perpendicularitate in spatiu 5
fig. 5 5

In planul determinat de dreapta a si de punctul A, ducem dreapta AB perpendiculara pe dreapta a (B∈a).Intr-un plan care contine pe a, dar este diferit de planul (a, A)ridicam din B o perpendiculara b pe a. Dreptele AB si b determina un plan care indeplineste, conform celor aratate mai sus, conditiile cerute, trecand prin  si continand doua drepte neparalele perpendiculare pe a.

Vom demonstra acum urmatoarea:

Teorema. Dintr-un punct exterior unui plan, se poate construi o dreapta perpendiculara pe doua drepte neparalele situate in planul dat.

Demonstratie. Fie A punctul exterior planului α dat si fie d1 si d2 doua drepte neparalele continute in planul  (fig 5.6).

Ducem prin punctul A planul β1 care sa aiba toate dreptele, continute in el, perpendiculare pe d1. Ducem prin A planul β2 care sa aiba toate dreptele, continute in el, perpendiculare pe d2. Planele β1 si β2, avand un punct comun A, au o dreapta comuna a, care este perpendiculara, deci, si pe d1 si pe d2. Cum d1 si d2 nu sunt paralele, inseamna ca dreapta a este perpendiculara pe orice dreapta a planului α.

Matematica Capacitate Perpendicularitate in spatiu 6
fig. 5 6

Putem da deci urmatoarea:

Definitie. Numim dreapta perpendiculara pe un plan o dreapta perpendiculara pe doua drepte neparalele continuta in acel plan.

Din cele demonstrate anterior rezulta ca:

O dreapta perpendiculara pe un plan este perpendiculara pe orice dreapta a planului.

Teorema. Dintr-un punct M se poate duce, pe un plan α, o perpendiculara si numai una.

Demonstratie. Cazul 1. Punctul M apartine planului α. Sa presupunem, prin absurd, ca prin punctul M am putea duce doua perpendiculare d1 si d2 pe planul α. Dreptele d1 si d2 determina un plan β. Fie a dreapta de intersectie a planelor α si . Dreptele d1 si d2, presupuse perpendiculare pe planul α, vor fi deci, perpendiculare si pe dreapta a⊂α. (fig.5.7).

Matematica Capacitate Perpendicularitate in spatiu 7
fig. 5 7

Problema devine o problema de geometrie in plan: in planul β, in punctul M, s-ar putea duce doua perpendiculare in acest punct pe dreapta a. Dar acest lucru este imposibil. Deci relatia d1≠d2  este absurda. Rezulta ca prin punctul M, al planului α, se poate duce pe acesta o perpendiculara si numai una.

Matematica Capacitate Perpendicularitate in spatiu 8
fig. 5 8

Cazul 2. Punctul M∉α . Presupunem ca putem duce prin punctul M dreptele d1 si d2  perpendiculare pe planul α (fig.5.8). Fie A si B picioarele acestor perpendiculare. Ar urma ca triunghiul AMB are doua unghiuri drepte, ceea ce este absurd.

Teorema. Locul geometric al punctelor dreptelor care trec printr-un punct A al unei drepte d si sunt perpendiculare pe aceasta, este planul perpendicular pe aceasta dreapta si care trece prin acest punct.

Demonstratie. Fie α planul perpendicular pe d in punctul A (fig.5.9).

Matematica Capacitate Perpendicularitate in spatiu 9
fig. 5 9

Orice dreapta din α este perpendiculara pe d. In particular, toate cele care trec prin A si sunt continute in α.

Presupunem ca exista un punct M∉α, astfel incat dreapta MA=b si b⊥d, deci, ca exista o dreapta b (b⊥d;b⊄α) si A∈b.

Fie planul (b,d), care intersecteaza α dupa o dreapta c. Pentru ca d⊥α si c⊂α, rezulta ca d⊥c. Deci, in planul (b,d), ar rezulta ca se pot duce doua drepte b si c perpendiculare intr-un punct A pe aceeasi dreapta d, ceea ce este imposibil.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.