Perpendiculara comuna a doua drepte

Teorema. Daca a si b sunt doua drepte necoplanare, atunci exista o dreapta unica, perpendiculara atat pe a cat si pe b, care le intalneste pe amandoua.

Cu alte cuvinte, exista o dreapta si numai una, perpendiculara pe doua drepte necoplanare si care sa se sprijine pe ele.

Existenta. Dintr-un punct P a lui a ducem b’ paralela cu b si consideram planul  determinat de a si b’ (fig.7.4). ducem planul β perpendicular pe α si care contine dreapta a. Aceasta se intersecteaza cu dreapta b in M. Perpendiculara MN (din M pe a) este dreapta cautata. Intr-adevar, pentru ca α⊥β; MN⊂β; MN⊥a => MN⊥α => MN⊥b’, MN⊥b. Iar din  constructie, MN⊥a.

Matematica Capacitate Perpendiculara comuna a doua drepte 1

Unicitatea. Presupunem, prin absurd, ca ar exista doua perpendiculare MN si PQ pe a si b, cu punctele M, P situate pe b si N, Q pe a, (a si b fiind necoplanare) (fig.7.5). Din Q ducem QS paralela cu MN si consideram planul γ determinat de PQ si QS. Dreptele a si b sunt perpendiculare, ambele, pe planul γ fiind perpendiculare pe doua din dreptele sale. Ar insemna ca a si b sunt paralele, dar ele sunt necoplanare, iata contradictia. Ar ramane de studiat cazul cand cele doua perpendiculare ar avea pe una din dreptele a sau b, un punct comun. De pilda N = Q. Lasam pe seama cititorului sa elimine si acest caz.

Matematica Capacitate Perpendiculara comuna a doua drepte 2

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.