Paralelipipedul dreptunghic

Diagonala paralelipipedului dreptunghic este segmentul de dreapta care uneste doua varfuri, care nu sunt pe aceeasi fata (de exemplu A’D din figura 12.1) Intr-un paralelipiped exista patru diagonale. Presupunem, in aceasta figura, ca dimensiunile paralelipipedului sunt a, b, c, si diagonala A’D = d. Sa demonstram ca:

\mathbit{d}^\mathbf{2}=\mathbit{a}^\mathbf{2}+\mathbit{b}^\mathbf{2}+\mathbit{c}^\mathbf{2}

formula utila pentru calculul diagonalei si care este teorema lui Pitagora in spatiu (fig. 12.1).

Matematica Capacitate Paralelipipedul dreptunghic 1
fig. 12 1

In triunghiul dreptunghic ABD (∢B=90°): x^2=a^2+b^2,\ \left(x=AD\right).

In triunghiul dreptunghic AA’D (∢A’AD=90°): d^2=c^2+x^2=c^2+a^2+b^2 , si relatia este demonstrata.

Problema rezolvata. Se da cubul din figura 12.2 cu notatiile ei, unde: M∈DD’, N∈C’C, P∈AB.Sa se deseneze sectiunea determinata de MNP in cub.

Matematica Capacitate Paralelipipedul dreptunghic 2
fig. 12 2

Unim M cu N (fiind pe aceeasi fata), prelungim dreapta lor pana intersecteaza pe DC in Q, care apartine deci planului (C’CD). Unim Q cu P. Notam R}=CB∩PQ. Am obtinut segmentul NR al sectiunii. Ducem, pe fata AA’D’D, MS∥NR, (S∈A’A). Unim S cu P. Suprafata cautata este PRNMS.

Dupa cum ii alegem baza, suntem obisnuiti, la un paralelipiped dreptunghic, sa numim muchiile de marimi diferite: lungime, latime si inaltime; lungimea si latimea sunt laturile bazei, in aceasta ordine (lungimea este mai mare decat latimea). Numim uneori lungimea, latimea si inaltimea, “cele trei dimensiuni ale paralelipipedului”. Daca le notam cu a, b, c, aria totala a paralelipipedului va fi: \mathbf{A}_\mathbf{t}=\mathbf{2}\cdot\left(\mathbf{ab}+\mathbf{bc}+\mathbf{ca}\right) (fig.12.3) a = lungime, b = latime, c = inaltime.

Matematica Capacitate Paralelipipedul dreptunghic 3
fig. 12 3
Matematica Capacitate Paralelipipedul dreptunghic 4
fig. 12 4

Un caz particular de paralelipiped dreptunghic este cubul, care are toate muchiile congruente, deci toate fetele sunt patrate. Notand lungimea muchiei lui cu a, aria sa totala va fi {\color{Blue} \mathbf{6}\mathbf{a}^\mathbf{2} } (fig.12.4).

Desfasurarea paralelipipedului dreptunghic.

Matematica Capacitate Paralelipipedul dreptunghic 5
fig. 12 5

Numim prisma concava, o prisma cu poligoanele de baza concave[1]; constatam ca exista si prisme concave nedesfasurabile (fig. 12.6).

Matematica Capacitate Paralelipipedul dreptunghic 6
fig. 12 6

[1] In general, o multime de puncte o numim convexa, daca unind cu cate un segment oricare doua puncte ale ei, interiorul acestuia este continut, in intregime, de aceasta multime. Se arata ca in cadrul poligoanelor plane acest fapt revine la a spune ca poligonul se gaseste in intregime de aceeasi parte a dreptei-suport a oricarei laturi.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.