Lungimea si aria cercului

Nu vom demonstra in aceasta sectiune formulele pentru lungimea si aria cercului ci doar vom arata un mod intuitiv de a ajunge la ele.

Sa consideram doua poligoane regulate convexe cu acelasi numar de laturi, de exemplu doua octogoane, inscrise fiecare in cate un cerc.

Matematica Capacitate Lungimea si aria cercului 1

Sa notam cu P, p perimetrele lor, cu R, r razele cercurilor in care sunt inscrise.

Avem \frac{P}{p}=\frac{8\cdot A B}{8\cdot A\prime B\prime}=\frac{AB}{A\prime B\prime}=\frac{R}{r}, ca urmare a faptului ca \bigtriangleup AOB\sim \bigtriangleup A\prime O\prime B\prime, (cazul 1, de exemplu: \frac{CA}{O\prime A\prime}=\frac{OB}{O\prime B\prime}, \sphericalangle AOB=\frac{360^{\circ}}{8}=\sphericalangle A\prime O\prime B\prime ).

Daca am considera in loc de octogoane, poligoane cu un numar foarte mare de laturi inscrise in aceleasi cercuri, relatia \frac{P}{p}=\frac{R}{r} ar ramane adevarata, iar P ar fi “aproape” de lungimea L a cercului de raza R, p ar fi “aproape” de lungimea l a cercului de raza r.

Obtinem, schimband mezii intre ei, \frac{L}{R}=\frac{l}{r} , adica: raportul dintre lungimea unui cerc si raza sa este acelasi pentru toate cercurile.

Acest raport constant se noteaza cu 2∙π; valoarea aproximativa a lui π este 3,14159… π este un numar irational; nici el nu se “masoara” ci se determina de exemplu prin formala, ce contine o suma infinita:

\pi=2\cdot\sqrt3\cdot(1-\frac{1}{3\cdot3}+\frac{1}{5\cdot3^2}-\frac{1}{7\cdot3^3}\ldots).

Lungimea L a unui cerc, de raza R este egala cu 2 π inmultit cu R, adica L=2 πR.

Sa revenim la figura 2.37 si sa notam cu Q lungimea liniei ABC formata din trei laturi ale octogonului. Avem \frac{Q}{P}=\frac{3AB}{8AB}=\frac{3}{8}=\frac{m(\sphericalangle A O C)}{360^{\circ}}=\frac{A\widehat{BC}}{360^{\circ}}, relatie ce ramane adevarata chiar daca arcul ABC ar fi mare (prin ABC intelegem masura, in grade, a arcului ABC).

Sa pastram punctele A si C fixe si sa consideram in loc de octogon, un poligon regulat cu un numar mare de laturi, inscris in acelasi cerc, avand A si C printre varfurile sale (pentru aceasta numarul laturilor sale il vom alege un multiplu de 8). Relatia \frac{Q}{P}=\frac{A\widehat{BC}}{360^{\circ}} va ramane valabila si pentru acest poligon; Q va fi “aproape” de lungimea M a arcului ABC, iar P va fi, ca mai inainte “aproape” de lungimea L a cercului de raza R. Obtinem \frac{M}{L}=\frac{A\widehat{BC}}{360^{\circ}},de unde deducem:

Lungimea unui arc de cerc de masura u dintr-un cerc de raza R este data de formula {\color{Blue} \frac{u\pi R}{360^{\circ}}} (u fiind exprimata in grade).

Matematica Capacitate Lungimea si aria cercului 2

Sa revenim din nou la figura 2.37 si sa consideram aria octogonului AB ∙ C…Ea este egala cu {8\cdot S}_{AOB}=\frac{8\cdot A B\cdot O M}{2}=\frac{P\cdot O M}{2}. Pana aici demonstratia este riguroasa si ne conduce la:

Teorema. Aria unui poligon regulat convex este egala cu jumatatea produsului dintre perimetrul si apotema poligonului.

Daca vom considera un poligon regulat cu numar foarte mare de laturi, inscris in cercul de raza R, atunci perimetru sau va fi “aproape” de lungimea cercului, iar apotema “aproape” de raza cercului. Ajungem la concluzia ca aria unui cerc este egala cu jumatate din produsul dintre lungime si raza sa, adica \frac{2\pi R\cdot R}{2}: Aria unui cerc de raza R este egala cu {\color{Blue} \pi R^2}.

In fine, sa consideram, in figura 2.37, aria poligonului AB…CO. Ea este egala cu de trei ori aria triunghiului AOB, deci cu \frac{3}{8} din aria octogonului regulat; raportul \frac{3}{8}  este tot una cu raportul dintre masura arcului ABC si 360°. Tinand punctele A si C fixe si marind mult numarul laturilor poligonului regulat (acest numar ramanand multiplu de 8), aria poligonului considerat AB…CO va fi “aproape de aria marginita de razele OA, OC si arcul ABC etc. Ajungem la:

Definitie. Se numeste sector circular figura formata dintr-un arc al unui cerc si din razele acelui cerc cu capetele in captele arcului.

Matematica Capacitate Lungimea si aria cercului 3

Si la:

Aria unui sector circular al unui cerc de raza R ce coresunde unui arc de masura u (exprimata in grade) este data de formula \frac{u\pi R^2}{360^{\circ}}.

Observatie: Cuvintele “multe”, “aproape”, nu au sens matematic. Ele sugereaza numai un rationament, mai rafinat, ce nu l-am precizat aici.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.