Cum se poate stabili teorema lui Pitagora cu ajutorul notiunii de arie

Matematica Capacitate Cum se poate stabili teorema lui Pitagora cu ajutorul notiunii de arie 1

In figura 2.17 ABCD este un patrat, AM≡BN≡CP≡CP≡DQ=a iar AQ≡BM≡CN≡DP=b. Din triunghiurile congruente AMQ, BNM, CPN, DQP deducem congruenta unghiurilor marcate cu o linie, respectiv vu doua si apoi, pe baza teoremei sumei unghiurilor intr-un triunghi, ca MNPQ este un dreptunghi. Din congruenta acelorasi triunghiuri deducem ca MNPQ este un patrat. Scriind S_{ABCD}=S_{MNPQ}+S_{AMQ+\ldots} , deducem ca {(a+b)}^2= {MN}^2+4\cdot\frac{ab}{2} , deci {MN}^2 =a^2+b^2 , ceea ce este tocmai teorema lui Pitagora.

Problema distractiva. Impartiti poligonul din figura 2.18 in cinci poligoane astfel incat, aranjandu-le altfel, sa se formeze din ele un patrat.

Rezolvare. Aria poligonului este 3, deci latura patratului ce se va forma va fi \sqrt3. . Daca examinam mai atent figura, gasim in ea segmente de lungime \sqrt2,\sqrt5, dar nu de \sqrt3.

Matematica Capacitate Cum se poate stabili teorema lui Pitagora cu ajutorul notiunii de arie 2

Sa transformam intai poligonul intr-un dreptunghi, de forma mai apropiata de cea patrata:

Matematica Capacitate Cum se poate stabili teorema lui Pitagora cu ajutorul notiunii de arie 3

Apoi sa transformam dreptunghiul intr-un paralelogram, ce are una din laturi \sqrt{3}, dar avand grija sa nu atingem triunghiurile mici, deja mutate.

Matematica Capacitate Cum se poate stabili teorema lui Pitagora cu ajutorul notiunii de arie 4

Latura din stanga a triunghiului G se calculeaza prin teorema lui Pitagora, gasindu-se \frac{\sqrt3}{2}<1, de unde suntem siguri ca taietura ce separa pe G nu le intalneste pe cele dinainte.

In fine, cum aria paralelogramului obtinut este tot 3, ca si a figurii intiale, rezulta ca inaltimea sa corespunzatoare acestei laturi va fi \sqrt{3}  si, sectionandu-l dupa aceasta inaltime, vom putea obtine patratul dorit (vezi fig. 2.21). Dar problema ne cere sa obtinem 5 figuri, iar sectionarea dupa acea inaltime risca sa conduca la 6 poligoane cu exceptia cazului in care am incepe din coltul din dreapta jos P al paralelogramului. (fig. 2.21)

Verificam daca dreapta trasata din punctul P va intersecta cele doua triunghiuri mai mici: distanta MN este de \frac{1}{2} (fig. 2.19) iar inaltimeadin P intersecteaza MN intr-un punct Q astfel incat ∆MPQ este asemenea cu G, iar din acea asemanare obtinem \frac{MQ}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{MP}{\frac{2}{3}} de unde MQ=\frac{\sqrt3}{2}>\frac{1}{2} iar inegalitatea se verifica direct sau prin ridicare la patrat: \frac{3}{9}>\frac{1}{4}.

Matematica Capacitate Cum se poate stabili teorema lui Pitagora cu ajutorul notiunii de arie 5

Sa observam si ca G este un triunghi dreptunghic cu unghiul “din dreapta” de 30°. Aceasta ne arata ca ∢QPM=30°, deci PQ intalneste latura opusa a paralelogramului intr-un punct la distanta de \frac{1}{2}\cdot2=1 de la capatul din dreapta al acestei laturi in interiorul ei.

Exista si alta solutie:

Matematica Capacitate Cum se poate stabili teorema lui Pitagora cu ajutorul notiunii de arie 6

Explicati-o si incarcati sa gasiti si altele!

Eventual incercati aceeasi problema si in alte poligioane: un paralelogram, un triunghi etc.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.