Cateva teoreme de paralelism

Teorema 1. Daca o dreapta (d) este paralela cu un plan (α), oricare plan (β), care contine aceasta dreapta si intersecteaza planul intial, o face dupa o dreapta (g) paralela cu d.

Matematica Capacitate Cateva teoreme de paralelism 1
fig. 2 7

Demonstratie. Dreptele d si g, fiind coplanare (fig. 2.7), sunt fie paralele, fie concurente. Daca ar fi concurente (in A), ar rezulta ca acest punct apartine si dreptei d si planului α. Dar cum d si αsunt paralele, rezulta ca si d si g dunt paralele. Aceasta teorema poate fi considerata o reciproca a teoremei care afirma ca o dreapta paralela cu o dreapta din plan este paralela cu planul (sau continuta in el).

Teorema 2. Daca o dreapta (d) este paralela cu un plan (α) si printr-un punct al planului (A∈ α) ducem o paralela (g) la dreapta intiala (d), aceasta a doua dreapta este continuta in plan.

Matematica Capacitate Cateva teoreme de paralelism 2
fig. 2 8

Demonstratie. Presupunem, prin reducere la absurd, ca g nu este continuta in α (fig. 2.8)Consideram planul determinat de dreptele d si g, notat cu β. Planele α si β se intersecteaza in b. Deci, in planul β, prin punctul A trec dreptele g si b, ambele paralele cu d, ceea ce este imposibil.

Teorema 3. Tranzitivitatea relatiei de paralelism. In spatiu, doua drepte distincte, paralele cu o a treia, sunt paralele intre ele.

Matematica Capacitate Cateva teoreme de paralelism 3
fig. 2 9

Demonstratie. Daca dreptele sunt toate trei coplanare, este vorba de o consecinta evidenta a axiomei paralelelor din geometria in plan. Daca sunt numai doua cate doua coplanare, presupunem ca  a∥b;b∥c si vom arata ca a∥c (fig.2.9). Consideram planul β, determinat de dreptele b si c, si ducem, printr-un punct A∈c, o dreapta g∥a. Conform teoremei precedente, g⊂β. Fata de dreapta b, dreapta g poate fi paralela sau o poate intalni intr-un punct B. Daca s-ar intalni intr-un punct B, ar rezulta ca prin B se pot duce doua paralele distincte, b si g, la a. S-ar contrazice astfel postulatul lui Euclid. Rezulta deci ca dreapta g coincide cu c si deci tranzitivitatea este demonstrata.

Problema rezolvata. Se dau trei drepte d1, d2 si d3, astfel incat oricare pereche din ele sa fie necoplanara, si nici toate trei sa nu fie paralele cu un acelasi plan. Sa se arate ca exista o dreapta g care se “sprijina” pe d1 si pe d2 si care este paralela cu d3. Sa se arate ca aceasta dreapta este unica.

Existenta. Consideram un punct A pe d1 si ducem prin a dreapta d’3 paralela cu d3. Dreptele d1 si d3 determina un plan α, paralel cu d3 (pentru ca d_3\subset\alpha;\ {d^\prime}_3\parallel d_3), care intersecteaza dreapta d2 in punctul B (fig. 2.10).

Matematica Capacitate Cateva teoreme de paralelism 4
fig. 2 10

Ducem prin punctul B dreapta BC paralela cu d3  (C∈d1); dreapta BC este chiar dreapta g cautata.

Vom da, ca sa puteti spune unde este greseala o falsa demonstratie de unicitate. Desi punctul A este arbitrar ales pe d1, planul α paralel cu d3 este unic. Acest plan este intersectat de dreapta d2intr-un punct B, evident unic. Din postulatul lui Euclid, paralela BC la d3, este evident unica. Deci dreapta g este unica.

Chiar daca este adevarat ca dreapta g este unica, demonstratia de mai sus trebuie s-o consideram totusi eronata. Greseala consta in faptul ca metoda de constructie folosita la demonstrarea existentei nu este singura metoda posibila si astfel, demonstratia unicitatii a devenit dependenta de constructia aleasa.

Matematica Capacitate Cateva teoreme de paralelism 5
fig. 2 11

Unicitatea. Consideram ca “sprijinindu-se” pe d1 si d2 exista doua drepte CB si EF, amandoua paralele cu d3 (fig.2.11). Aceste drepte, CB si EF, vor fi deci paralele intre ele, si deci coplanare. Deci si dreapta CE= d1 si dreapta BF= d2 se gasesc in acelasi plan determinat de CB si EF. Aceasta concluzie insa este absurda, pentru ca in ipoteza am precizat ca d1 si d2 nu sunt coplanare.

Aceasta este o demonstratie de unicitate corecta, pentru ca face abstractie de modul cum s-a demonstrat existenta. Ne-am oprit mai mult la comentarea acestei probleme pentru a pune in evidenta un tip de eroare de rationament, destul de des intalnit, dar care trebuie evitat cu multa grija.

Atentie! La o demonstratie de unicitate, evitati sa folositi demonstratia de existenta.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.