Aria si volumul sferei

Aria sferei

Suprafata unei sfere nu se poate “aseza” pe un plan.

Vom incepe prin a studia aria laterala a unui trunchi de con circular drept inscris in sfera (fig.19.8).

Matematica Capacitate Aria si volumul sferei 1
Fig. 19 8

Daca sectionam figura cu un plan ce trece prin cele doua centre C si D ale bazelor trunchiului de con, plan ce va trece prin centrul O al sferei, intersectia cu sfera va da un cerc cu centrul in O. Generatoarea trunchiului de con va fi o coarda AB in acest cerc. Fie M mijlocul acestei coarde. Lungimea MN a perpendicularei din M pe dreapta OC este egala cu \frac{R+r}{2}. Daca P este piciorul perpendicularei din A pe BD, atunci ⊿OMN este asemenea cu ⊿APB, deci \frac{MN}{OM}=\frac{AP}{AB} sau MN\cdot AB=OM\cdot AP. Deci, aria laterala a trunchiului de con circular drept poate fi scrisa A_l=\pi\cdot2\ MN\cdot AB= \pi\cdot2 OM\cdot AP= 2\cdot\pi\cdot OM\cdot CD. Aceasta permite sumarea unor astfel de arii, deoarece OM este acelasi. Anume:

Sa consideram o  “zona sferica”, sectionata cu un plan ce trece prin centrele C, D ale cercurilor ce o formeaza (fig. 19.9).

Sa facem in acest caz un rationament mai riguros decat in cazul celorlalte suprafete curbe pe care le-am considerat pana acum.

Matematica Capacitate Aria si volumul sferei 2
Fig. 19 9

Sa impartim arcul AB in n parti egale prin punctele A=A_0,\ A_1,\ \ldots,A_n=B si sa consideram cele n trunchiuri de con circular drept ce au ca generatoare A_kA_{k+1} si drept centre ale fetelor (bazelor) proiectiile D_kD_{k+1} ale lui A_kA_{k+1} pe CD.

Suma ariilor laterale ale acestor trunchiuri de con va aproxima aria zonei sferice.

Fie M_k mijlocul lui A_kA_{k+1}. Stim ca aria laterala a trunchiului de con respectiv este \pi\cdot2OM_k\cdot D_kD_{k+1} . Dar OM_k este acelasi pentru toti k, deci suma acestor arii este 2\pi OM_k\cdot CD.

Facand pe n tot mai mare, A_kA_{k+1} devine tot mai mic, OM_k se apropie de raza R a sferei. Deci:

Aria unei zone sferice este egala cu 2\pi R\cdot H unde R este raza sferei din care face parte, iar H este distanta dintre acele plane care determina zona sferica. Aceasta formula se foloseste si la calculul ariei unei calote sferice.

Pentru H=2R obtinem toata sfera, deci aria sferei de raza R este egala cu \large {\color{Blue} 4\pi\cdot R^2}.

Volumul sferei

Volumul unei sfere de raza R este egal cu o treime din produsul dintre aria acestei sfere si raza ei, adica:

\large {\color{Blue} V=\frac{4}{3}\pi R^3.}

Aceasta afirmatie se poate argumenta in acelasi mod in care s-a argumentat faptul ca aria cercului este egala cu o jumatate din produsul dintre lungimea cercului si raza. Vom presupune sfera umpluta cu piramide cu varfurile in centrul ei si bazele patrulatere cu varfurile pe sfera. Vom observa ca inaltimile lor aproximeaza raza sferei, iar suma ariilor bazelor lor aproximeaza aria sferei. Suma volumelor lor va aproxima volumul sferei si va fi o treime din inaltimea cumuna (raza sferei) inmultita cu suma ariilor bazelor (aria sferei).

\large {\color{Blue} V=\frac{R}{3}\cdot4\pi R^2=\frac{4\pi R^3}{3}.}

Matematica Capacitate Aria si volumul sferei 3
Fig. 19 10

Problema rezolvata. Un trapez are bazele de 30 cm si 45 cm, iar laturile neparalele de 9 cm si 12 cm. Sa se calculeze aria totala si volumul corpului obtinut prin rotirea trapezului in jurul laturii de 12 cm.

Matematica Capacitate Aria si volumul sferei 4
Fig. 19 11

Rezolvare. Inainte de a incepe rezolvarea propriu-zisa a problemei, atragem atentia asupra modului in care este bine sa faceti desenul corpurilor de rotatie.

Cand vreti sa vedeti ce forma are un corp, provenind din rotirea unei figuri plane in jurul unei axe, este bine sa procedati in modul urmator: desenati simetrica figurii plane A’ fata de axa, iar cu extremitatile in varfurile simetrice duceti elipse, cu axa mai mica cat mai mica.

Spre exemplu, in cazul problemei noastre, notam cu

Spre exemplu, in cazul problemei noastre, notam cu {P}=AD\cap BC si CC’∥AD, ⊿CC’ B≡⊿PAB=>\frac{AP}{9}=\frac{BP}{12}=\frac{45}{15}=3, AP=27 cm, BP=36 cm.Din ⊿CC’B∼⊿PDC, PC=24 cm Observam ca {AP}^2+{BP}^2={AB}^2, ({27}^2+{36}^2={45}^2).. Deci ∢APB=90°. Fie A’ si D’ simetricele lui A si D fata de BC, ele se vor gasi in prelungirea lui AP. Descriem cercuri cu diametrele AA’ si DD’ (pe care le desenam in spatiu asa cum se vede in figura 19.11). Simetricele punctelor B si C fata de axa de rotatie coincid cu ele insele.

Deci, acum observam ca s-a format un con circular drept (cu varful in B si cu baza cercul de diametru AA’) din care lipseste un alt con (cu varful in C si cu baza cercul de diametru DD’), asemenea cu el.

Volumul conului mic este v=\frac{\pi{18}^2\cdot24}{3}\ {cm}^3.

Volumul conului mare este V=\frac{\pi{27}^2\cdot36}{3}\ {cm}^3. Deci,

V-v=\frac{\pi{18}^2\cdot24}{3}-\frac{\pi{27}^2\cdot36}{3}

=\frac{\pi9^2\cdot12}{3}\left(3^2\cdot3-2^2\cdot2\right)= \pi9^2\cdot4\cdot19=6156\pi

{\ V}^\prime=6156\pi\ {cm}^3.

Pentru a calcula aria totala, vom observa asemanarea dintre cele doua conuri, raportul de asemanare fiind \frac{2}{3}. Notand cu A_l aria laterala a conului mic si cu {A\prime}_l aria laterala a conului mare, putem scrie:

\frac{A_l\ }{{A^\prime}_l\ }= \frac{4}{9}; \ A_l=\frac{4}{9}\cdot\pi\cdot27\cdot45= 540\ \pi\ {cm}^3.

A^\prime=540\pi+1215\pi+405\pi=2160\pi; A^\prime=2160\pi\ {cm}^3

Aria si volumul trunchiului de con circular drept

Prin analogie cu trunchiul de piramida, la fel ca mai sus, pentru con si cilindru, deducem:

Volumul unui trunchi de con circular drept este

\large {\color{Blue} V=\frac{\pi h}{3}\left(R^2+r^2+Rr\right),}

Unde h este inaltimea sa, R si r razele bazelor.

Aria laterala a unui trunchi de con circular drept este

\large {\color{Blue} A_l=\pi\left(R+r\right)G,}

Unde G este generatoarea, iar R si r razele bazelor sale.

Putem deduce aceste formule si din formulele corespunzatoare pentru con, astfel:

Fiind dat trunchiul de con circular drept (fig.19.6) figuram panza conica din care provine (fig.19.7) si determinam elementele x si g, din relatiile:

\frac{x}{x+h}=\frac{r}{R}=\frac{g}{g+G}

De unde: xR=r\left(x+h\right), deci x=\frac{rh}{R-r} si, analog, g=\frac{Gr}{R-r}.

Matematica Capacitate Aria si volumul trunchiului de con circular drept 5
Fig. 19 6
Matematica Capacitate Aria si volumul trunchiului de con circular drept 6
Fig. 19 7

Volumul trunchiului de con este diferenta volumelor celor doua conuri:

V=\frac{\pi\left(x+h\right)}{3}R^2-\frac{\pi x}{3}r^2; x+h=\frac{Rh}{R-r};

Deci:

V=\frac{\pi}{3}h\left(\frac{R^3}{R-r}-\frac{r^3}{R-r}\right)= \frac{\pi h}{3}(R^2+r^2+Rr)

(se imparte R^3-r^3 la R – r ca polinoame in R in r).

Analog,

A_l=\pi R\left(G+g\right)-\pi rg;

G+g=\frac{GR}{R-r};

Deci:

A_l=\pi G\left(\frac{R^2}{R-r}-\frac{r^2}{R-r}\right)= \pi G\left(R+r\right).

Aria laterala a cilindrului si a conului

Este mult mai dificil de a defini exact ce intelegem prin aria unei portiuni dintr-o suprafata curba. In cazul nostru avem de-a face cu doua suprafete care se pot “aseza pe un plan”, fara a modifica lungimile curbelor de pe ele. Este natural sa presupunem ca aceasta “asezare” nu modifica nici ariile portiunilor din aceste suprafete, portiuni care se “aseaza” pe niste portiuni din plan.

Aria laterala a cilindrului drept

Daca sectionam cilindrul drept dupa o generatoare, obtinem o suprafata care se poate “aseza” pe un plan, devenind un dreptunghi, cu baza segmentului provenit din curba de baza a cilindrului, iar inaltimea, generatoarea dupa care a fost sectionat cilindrul. Deci:

Aria laterala a cilindrului drept = (lungimea curbei de baza) ∙ (generatoarea), unde se observa ca generatoarea este egala cu inaltimea (fig. 19.3).

Matematica Capacitate Aria laterala a cilindrului si a conului 7
Fig. 19 3

Aria totala a cilindrului se obtine adunand la aria laterala, ariile celor doua baze. Cum cele doua baze sunt congruente, ariile vor fi egale. Deci:

\large {\color{Blue} A_t=A_l+2\cdot A_b,}

Unde \large A_t,\ A_l,\ A_b sunt aria totala, aria laterala si aria bazei.

In cazul cilindrului circular drept, avand raza bazei R si generatoarea G, aria totala este:

\large {\color{Blue} A_t=2\pi RG+2\pi R^2=2\pi R\cdot\left(R+G\right).}

Observatie. Un cilindru oblic se poate transforma intr-unul drept, efectuand o sectiune printr-un plan perpendicular pe generatoare (sectiune normala) si translatand una din parti in directia generatoarei, pana cand baza ei se suprapune peste cealalta.

Matematica Capacitate Aria laterala a cilindrului si a conului 8
Fig. 19 4

Deci: aria laterala a unui cilindru oblic este egala cu lungimea sectiunii normale inmultita cu lungimea generatoarei.

Aria laterala a conului circular drept

Am vazut ca, sectionanad un con circular drept cu o generatoare, suprafata obtinuta se poate “aseaza” pe un plan, devenind un sector de cerc, avand ca raza generatoarea, iar ca arc un arc ce corespunde cercului de baza al conului (fig. 19.5).

Matematica Capacitate Aria laterala a cilindrului si a conului 9
Fig. 19 5

Cum aria unui sector de cerc este jumatate din produsul lungimii arcului sau si raza cercului, in cazul nostru \frac{1}{2}\left(2\pi R\right)G , rezulta ca:

\large {\color{Blue} A_l=\pi RG,}

Unde A_leste aria laterala, R este raza bazei conului, iar G este generatoarea sa.

Aria totala A_t a unui con circular este aria sa laterala adunata cu aria bazei sale; iar in cazul conului circular drept de raza R si generatoare G, aria totala este egala cu

\large {\color{Blue} A_t=\pi RG+\pi R^2=\pi R\left(G+R\right).}

Aria laterala a unui con oblic este mult mai dificil de calculat.

Volumul conului

Aici vom face analogia intre piramida si con. Acolo am unit un punct exterior unui poligon plan cu toate punctele poligonului.

In cazul conului, punctul exterior – varful conului – se uneste cu toate punctele unei curbe plane. Avand in vedere aceasta analogie, vom accepta ca:

Volumul conului este egal cu o treime din produsul dintre aria bazei sale si distanta varfului sau la planul bazei, numita si inaltimea conului.

Matematica Capacitate Volumul conului 10
Fig. 19 2

La fel ca la cilindru, aceasta analogie nu constituie o demonstratie riguroasa, ci doar o justificare intuitiva.

Volumul cilindrului

Am vazut ca suprafata prismatica era descrisa de o dreapta care se sprijinea pe o linie poligonala si ramanea mereu paralela cu o dreapta data a.

Am obtinut apoi prisma prin sectionarea suprafetei prismatice cu doua plane paralele.

Intr-un mod analog se obtine si cilindrul, doar ca dreapta, care genereaza suprafata cilindrica, nu se mai sprijina acum pe o linie poligonala, ci pe o linie curba.

DE asemenea, asa cum am aratat anterior, am considerat suprafata cilindrica drept “analogul curb” al suprafetei prismatice.

Vom putea accepta ca: Volumul cilindrului este egal cu aria bazei inmultita cu distanta dintre cele doua plane ale bazelor numita si inaltimea cilindrului.

Matematica Capacitate Volumul cilindrului 11
Fig. 19 1

Evident ca analogia de mai sus constituie un argument, dar nu o demonstratie riguroasa.

Suprafete de rotatie

Observatie. Daca aplicam unui punct M toate rotatiile in jurul unei drepte a, obtinem, daca M∉a toate punctele cercului ce trece prin M, situat in planul perpendicular pe a si care contine pe M, cerc cu centrul in proiectia lui M pe a (fig. 18.31).

Matematica Capacitate Suprafete de rotatie 12
fig. 18 31

Definitie. Fie a o dreapta si (C) o curba. Se numeste suprafata de rotatie in jurul lui a, generata de (C), totalitatea punctelor ce se obtin aplicand punctelor de pe (C) toate rotatiile in jurul lui a. (fig. 18.32).

Matematica Capacitate Suprafete de rotatie 13
fig. 18 32

Conform observatiei precedente, suprafata de rotatie se poate defini si ca totalitatea punctelor situate pe toate cercurile avand centrele pe a, continute in plane perpendiculare pe a si care au puncte comune cu (C).

Teorema. Suprafata de rotatie a unei drepte d in jurul unei drepte paralele cu ea este o suprafata cilindrica circulara dreapta.

Matematica Capacitate Suprafete de rotatie 14
fig. 18 33

Demonstratie. Sa consideram suprafata cilindrica dreapta definita de un cerc (C) cu centrul pe a, situat intr-un plan α perpendicular pe a si care trece prin intersectia α cu d. (fig. 18.33). Dreapta d va fi o generatoare a ei, deci va fi continuta in ea. Sectiunile acestei suprafete, prin plane perpendiculare pe a, vor fi toate cercurile de raze congruente cu razele lui (C), cu centrele pe a. Deci, cu centrul in orice punct dat a lui a, putem duce, intr-un plan perpendicular pe a, un cerc care intalneste d. Aceste cercuri “umplu” suprafata de rotatie.

Teorema. Suprafata de rotatie a unei semidrepte d in jurul unei drepte a ce trece prin originea ei O, neperpendiculara pe d, este o panza conica circulara dreapta.

Matematica Capacitate Suprafete de rotatie 15
fig. 18 34

Demonstratie. Sa luam un punct M pe d si sa consideram cercul (C) cu centrul in proiectia N a lui M pe a, situat in planul α ce trece prin M perpendicular pe a (fig. 18.34). Cum d⊥a, N≠O=>O∉α si cum d≠a, avem N≠M.

Fie panza conica circulara dreapta generata de O si (C). Dreapta d este o generatoare a ei, iar sectiunile ei prin toate planele β paralele cu planul α sunt cercurile cu centrele in intersectia lui β cu a si care trec prin intersectia lui β cu d. Acestea sunt toate cercurile ce constituie suprafata de rotatie in discutie.

Observatie. Daca d⊥a, atunci suprafata de rotatie este planul perpendicular in O pe a.

Teorema. a) Suprafata de rotatie a unui segment in jurul unei drepte paralele cu el este un cilindru circular drept.

b) Suprafata de rotatie a unui segment in jurul unei drepte ce trece prin unul din capetele lui, neperpendicular pe ea, este un con circular drept.

c) Suprafata de rotatie a unui segment in jurul unei drepte, coplanara cu el, ce nu-l intersecteaza si nu e nici paralela nici perpendiculara pe el, este un trunchi de con circular drept. Demonstratia ei constituie o consecinta imediata a celor de mai sus.

Observatie. In cazurile b), c) din teorema, daca dreapta este perpendiculara pe segment, se obtine un cerc (inclusiv interiorul sau), respectiv o coroana circulara (cuprinsa intre doua cercuri concentrice) (fig. 18.35).

Matematica Capacitate Suprafete de rotatie 16
fig. 18 35

Teorema. Suprafata de rotatie a unui cerc (C) in jurul unui diametru al sau este o sfera.

Demonstratie. Fie R raza lui (C). Fie (S) sfera de centru O, egal cu centrul cercului (C) de raza R. Daca  este planul lui (C), atunci (C) este intersectia lui α cu (S).

Fie a o dreapta care trece prin centrul cercului (C) si care este continuta in planul sau. Sa consideram un plan arbitrar β⊥a, care intersecteaza sfera (fig. 18.36). El se intersecteaza cu a intr-un punct M din interiorul lui (C), deci dreapta d=α∩β intersecteaza (C) in doua puncte P si Q. Stim ca β taie sfera dupa un cerc, care trece prin P si Q, avand drept centru proiectia lui O pe β, care este M. Aceste cercuri “vor umple” suprafata de rotatie.

Matematica Capacitate Suprafete de rotatie 17
fig. 18 36

Definitie. Suprafata de rotatie a unui arc de cerc, mai mic decat un semicerc, in jurul unui diametru ce trece prin unul din capetele sale, se numeste calota sferica. Daca diametrul nu intalneste deloc arcul, suprafata se numeste zona sferica.

Matematica Capacitate Suprafete de rotatie 18
fig. 18 37

Din cele de mai sus, rezulta ca o calota sferica poate fi considerata un caz particular de zona sferica.

Sa consideram un plan α si pe el doua drepte d si c, formand un unghi ascutit in N (fig. 18.38).

Matematica Capacitate Suprafete de rotatie 19
fig. 18 38

Asezam d pe generatoarea unui cilindru circular drept si infasuram apoi planul pe cilindru, astfel incat N’ sa vina in N si M sa se afle pe d. (Bineinteles am presupus ca lungimea cercului de baza al cilindrului este egala, ca masura, cu segmentul NN’.) Perpendiculara in N pe d se va infasura pe cercul de baza al cilindrului. Dreapta c se va infasura determinand o curba numita elice. Filetul unui surub este o elice.

Problema rezolvata. Un con circular drept de raza R si inaltime 2R este intersectat cu o sfera cu diametrul cat inaltimea conului si cu centrul la jumatatea inaltimea conului, dupa un cerc. Sa se afle raza cercului de sectiune, in functie de R.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Suprafete de rotatie 20
fig. 18 39

Din triunghiul dreptunghic VOB (fig.18.39) deducem {VB}^2={VO}^2+{OB}^2. Deci, {VB}^2={VO}^2+{OB}^2

Observam ca triunghiul VNO este, de asemenea, dreptunghic, fiind inscris intr-un semicerc, deci VN este proiectia lui VO pe VB. Deducem ca: 4R^2=VB\cdot VN; VN=\frac{4R^2}{\sqrt5R}= \frac{4R}{\sqrt5}. Din ⊿VO’N∼⊿VOB, unde O’ este centrul cercului de sectiune si x raza sa, deducem:

\frac{VN}{VB}= \frac{x}{R}; \frac{\frac{4R}{\sqrt5}}{R\sqrt5}=\frac{x}{R}, \ X=\frac{4R}{5}.

Tangenta suprafetelor curbe

In cazul cand intersectia dintre o sfera si un plan este formata dintr-un singur punct, spunem ca planul este tangent la sfera. (fig. 18.29).

Matematica Capacitate Tangenta suprafetelor curbe 21
fig. 18 29

In cazul cand intersectia a doua sfere este formata dint-un singur punct, spunem ca sferele sunt tangente.

Nu intotdeauna doua suprafete tangente au un singur punct comun. Fara a incerca sa definim riguros tangenta suprafetelor, dam cateva exemple (fig. 18.30).

Matematica Capacitate Tangenta suprafetelor curbe 22
fig 18 30

Sfera

Definitie. Se numeste sfera de centru O si raza R > 0, locul geometric al tutror punctelor M din spatiu, pentru care OM = R.

Matematica Capacitate Sfera 23
fig 18 23

Teorema. Intersectia dintre un plan si o sfera este sau vida, sau formata dintr-un singur punct, sau un cerc avand drept centru proiectia centrului sferei pe acel plan.

Matematica Capacitate Sfera 24
fig. 18 24; fig. 18 25; fig. 18 26

Demonstratie. Fie O centrul sferei, R raza sa si fie α un plan. Ceea ce cere enuntul este de a determina locul geometric al punctelor M din α, pentru care OM=R.

Fie P piciorul perpendicularei din O pe planul α.

Daca R < PO, cum OM > OP, oricare ar fi M∈ α, atunci nu exista puncte M pentru care OM = R (fig. 18.24).

Daca R = OP, atunci OM = R, M∈α este posibil numai pentru M=P (fig. 18.25), oblicele fiind mai lungi decat perpendiculara. In acest caz, intersectia se reduce la punctul P.

Daca R > OP, atunci OM = R este echivalent cu MP=\sqrt{R^2-{OP}^2} deoarece OP⊥PM, si deci, intersectia este cercul de centru P si raza \sqrt{R^2-{OP}^2}(fig.18.26).

Teorema. Intersectia a doua sfere distincte este sau vida, sau formata dintr-un singur punct, sau un cerc.

Matematica Capacitate Sfera 25
fig. 18 27

Demonstratie. Este clar ca daca sferele sunt concentrice distincte intersectia lor este vida.

Matematica Capacitate Sfera 26
fig. 18 28

Fie O, O’ centrele sferelor si R, R’ razele lor. Fie M un punct comun al celor doua sfere. Avem MO = R si MO’ = R’, OO’ = constant (fig. 18.27).

Existenta lui M reclama OO’ ≤OM+O^’ M=R+R’. Deci daca R+R^'<OO’, intersectia este vida (fig. 18.28). Acelasi lucru se intampla daca OO’<|R-R’|.

Daca OO’=R+R’ sau daca OO’=|R-R’|, atunci M trebuie sa se afle pe OO’, intr-un punct bine determinat de OM = r, O’M=R’, deci, in acest caz, intersectia se reduce la un punct.

In fine, daca |R-R’|<OO^'<R+R’, atunci, in orice plan ce trece prin dreapta OO’, putem construi un triunghi (neredus la o dreapta) MOO’ cu MO = R, MO’ = R’.

Sa observam ca triunghiul MOO’ este bine determinat, fiind date varfurile O, O’ ca si lungimile laturilor OM si O’M. In particular, lungimile OP si MP, unde P este piciorul perpendicularei din M pe OO’, sunt bine determinate (faptul ca P este de aceeasi parte a lui O ca si O’ sau nu, de asemenea, este bine determinat), P este deci fix. M este situat in planul β perpendicular pe OO’ in P, la distanta fixa de P, deci descrie un cerc de centru P, situat in planul β.

Panze conice circulare

Definitie. Fie (C) un cerc si P un punct nesituat in planul al cercului. Se numeste panza conica circulara de varf P si baza (C), totalitatea punctelor situate pe semidreptele cu originea in P ce intalnesc cercul (C) (fig.18.18).

Matematica Capacitate Panze conice circulare 27
fig. 18 18

Definitie. O panza conica circulara de varf P si baza (C) se numeste dreapta daca proiectia lui P pe planul cercului (C) este centrul lui (C).

Matematica Capacitate Panze conice circulare 28
fig. 18 19

Definitie. Se numeste con circular, corpul geometric marginit de o panza conica circulara si de planul cercului, care genereaza panza conica. Daca panza conica circulara este dreapta atunci conul circular se numeste drept. (fig.18.20).

Matematica Capacitate Panze conice circulare 29
fig. 18 20

Teorema. Sectiunea unei panze conice circulare printr-un plan paralel cu baza, situat de aceeasi parte a varfului cu ea, este un cerc.

Matematica Capacitate Panze conice circulare 30
fig. 18 21

Demonstratie. Fie P varful conului, (C) cercul de baza, O centrul sau, α planul cercului (C) si  β un plan paralel cu planul α. Sa consideram intersectia O’ a lui PO cu planul β. Sa alegem M’∈β (M’≠O’) (fig. 18.21).

Planul (M’OP) taie planul α dupa o dreapta OM∥O’M’. Fie M∈PM’. Avem \frac{OM}{O^\prime M^\prime}=\frac{PO}{P^\prime O^\prime}=k (constant).

Punctul M’ se afla pe panza conica, daca si numai daca, M se afla pe (C), deci, daca si numai daca, OM=R este raza lui (C). Conform relatiei de mai sus, aceasta este adevarata, daca si numai daca, O'M'=\frac{R}{k} ceea ce inseamna ca M’ se afla pe cercul de centru O’ si de raza \frac{R}{k}, situat in planul β.

Comentariu. Centrele cercurilor de sectiune sunt coliniare cu varful, deci, inlocuind cercul generator al unei panze conice circulare drepte cu un crec dintr-un plan paralel cu acesta, situat pe panza conica, se obtine un alt cerc generator in raport cu care panza conica este tot dreapta.

Definitie. Se numeste trunchi de con circular, corpul marginit de o panza conica circulara, de baza acesteia si de un plan paralel cu ea, situat de aceeasi parte a varfului ca si baza. Trunchiul de con se numeste drept, daca panza conica circulara este dreapta.

Matematica Capacitate Panze conice circulare 31
fig. 18 22

Observatie. Un trunchi de con circular este drept, daca si numai daca, dreapta ce uneste centrele bazelor este perpendiculara pe planele bazelor.

Cilindrii circulari

Definitie. a) Fie (C) un cerc situat in planul α si a o dreapta neparalela cu α. Prin suprafata cilindrica circulara generata de (C) si a, intelegem totalitatea punctelor situate pe toate dreptele paralele cu a, care trec prin puncte ale lui (C).

b) Prin suprafata cilindrica circulara dreapta generata de cercul (C) din planul α, intelegem suprafata cilindrica generata de (C) si de o perpendiculara a pe α. Aceasta este, de fapt, totalitatea punctelor situate pe toate dreptele perpendiculare pe α, care trec prin puncte ale lui (C).

Ea poate fi definita si drept totalitatea punctelor a caror proiectii pe α sunt situate pe (C).

Teorema. Intersectia dintre o suprafata cilindrica si un plan β, paralel cu planul α, al cercului (C) care o genereaza, este un cerc de raza R, egala cu cea a lui (C).

Matematica Capacitate Cilindrii circulari 32
fig. 18 16

Demonstratie. Fie O centrul lui (C), b paralela (fig. 18.16) prin O la a si O’ intersectia lui b cu planul α. Sa aratam ca intersectia lui β cu suprafata cilindrica este cercul de centru O’ si raza R, situat in planul β.

Fie P∈β. Il consideram diferit de O’, deoarece O’ nu se afla pe suprafata cilindrica.

Sa ducem planul (P’OO’) (unic determinat). Acest plan taie planele α si β dupa doua drepte paralele. Ducand si paralela din P’ la OO’, se formeaza in planul (P’OO’) un paralelogram P’O’OP (P∈α) (fig 18.17).

Matematica Capacitate Cilindrii circulari 33
fig. 18 17

Punctul P’ se afla pe suprafata cilindrica, daca si numai daca, P∈(C), deoarece P’P∥O’O∥a, adica daca si numai daca, PO=R. Cum P’O’≡PO, PO=R este echivalent cu P’O’=R si teorema este demonstrata.

Definitie. Prin cilindru circular, intelegem corpul geometric cuprins intre o suprafata cilindrica circulara si doua plane distincte paralele cu planul cercului ce genereaza suprafat ilindrica.

Cilindrul circular se numeste cilindru circular drept daca suprafata cilindrica circulara corespunzatoare este dreapta.