Probleme: aria si volumul sferei

Probleme de Matematica Capacitate – Aria si volumul sferei

1. Dintr-o bara de otel, sub forma de prisma patrulatera regulata cu latura bazei de 12 cm si inaltimea de 4,5 m, se strunjeste un ax cilindric, cu pierdere minima de material. Sa se afle volumul axului obtinut.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 1

R=\frac{12}{2}=6;

V=\pi\cdot36\cdot450=16200\pi\ {cm}^3

2. Sa se afle volumul unui cilindru circular drept inscris intr-o prisma triunghiulara regulata dreapta care are latura bazei de 4\sqrt3 dm si inaltimea de 10 dm.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 2

R\sqrt3=4\sqrt3=> R=4; V=\pi\cdot16\cdot10=160\pi\ {dm}^3

3. Un con circular drept are raza bazei de 6 cm si generatoarea de 10 cm. Gasiti volumul conului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 3

h=\sqrt{100-36}=8;

\ V=\frac{1}{3}\cdot36\cdot8\pi=96\pi\ {cm}^3

4. Un triunghi dreptunghic ABC m(∢A=90°) se roteste, pe rand, in jurul catetelor si apoi al ipotenuzei. 

  1. Daca AB = 5 dm si AC = 12 dm, gasiti cele trei volume V_1,\ V_2 si \ V_3.
  2. Daca AB = c, AC = b, V_1 si V_2 sunt volumele obtinute prin rotirea triunghiului in jurul catetelor, iar V prin rotirea in jurul ipotenuzei, aratati ca:

\frac{1}{V^2}=\frac{1}{{V_1}^2}+\frac{1}{{V_2}^2}.

Rezolvare:

a.

V_1=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot25\cdot12=100\pi\ {dm\ }^3;

V_2=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot144\cdot5=240\pi\ {dm\ }^3;

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 4

BC=\sqrt{25+144}=13; AO=\frac{12\cdot5}{13}=\frac{60}{13}; OB=\frac{144}{13}; OC=\frac{25}{13}; \ V_3=\frac{1}{3}\cdot\pi\ \frac{{60}^2}{{13}^2}\cdot\left(\frac{144}{13}+\frac{25}{13}\right)= \frac{1}{3}\pi\cdot\frac{3600}{13}=\frac{1200}{13}\pi\ {dm\ }^3

b.

\frac{1}{{V_1}^2}+\frac{1}{{V_2}^2}= \frac{1}{\left(\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot c^2\cdot b\right)^2}+\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot b^2\cdot c\right)^2}= \frac{9}{\pi^2\cdot c^2\cdot b^2}\cdot\left(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{b^2}\right)= \frac{9}{\pi^2\cdot c^2\cdot b^2}\cdot\frac{a^2}{c^2\cdot b^2}= \frac{9}{\pi^2\cdot c^4\cdot b^4}\cdot a^2

V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot h^2\cdot\frac{b^2}{a}+\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot h^2\cdot\frac{c^2}{a}= \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot\frac{h^2}{a}\cdot a^2= \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot h^2\cdot a \frac{1}{V^2}= \frac{1}{\left(\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot\frac{c^2\cdot b^2}{a^2}\cdot a\right)^2}= \frac{9}{\pi^2\cdot c^4\cdot b^4}\cdot a^2

5.*Un con circular drept are raza bazei . El are trei generatoare doua cate doua perpendiculare.

  1. Aflati volumul conului.
  2. Rezolvati problema in cazul general, cand raza bazei este r.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 5

m\left(\sphericalangle AOB\right)=\frac{360^{\circ}}{3}=120^{\circ};

AB=2\cdot\sqrt{r^2-\frac{r^2}{4}}=\frac{r2\sqrt3}{2}=r\sqrt3;

VA=\frac{1}{\sqrt2}\cdot\sqrt{{3r}^2}=\frac{r\sqrt3}{\sqrt2};

H=\sqrt{\frac{{3r}^2}{2}-r^2}=\frac{r}{\sqrt2};

\ V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^2\cdot\frac{r}{\sqrt2}= \frac{\sqrt2}{6}\cdot\pi\cdot r^3;

V=\frac{0.256}{3}\pi\sqrt2\ m^3

6. *Calculati volumul unui con circumscris unui tetraedru regulat de muchie a = 6 cm.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 6

r=\frac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3;

h=\sqrt{36-12}=2\sqrt6;

V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot12\cdot2\sqrt6=8\pi\sqrt6\ m^3

7. Un dreptunghi cu laturile si se roteste in jurul lui a si apoi in jurul lui b.

  1. In ce caz se obtine aria laterala mai mare?
  2. In ce caz se obtine volumul mai mare?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 7

AB=a;BC=b;

A_{L1}=2\pi\cdot\frac{a}{2}\cdot b=ab\pi;

\ A_{L2}=2\pi\cdot\frac{b}{2}\cdot a=ab\pi

Ariile laterale sunt egale.

V_1=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot a^2\cdot b;

\ V_2=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot b^2\cdot a=>V_2>V_1

8. Un trapez dreptunghic ABCD (m(∢B)=m(∢C)=90°) se roteste in jurul unei paralele cu BC, distanta de la BC la axa fiind de 3 cm (se considera axa in planul trapezului, dar in afara lui). Daca AB = 12 cm, AD = 10 cm si CD = 4 cm, sa se afle aria totala si volumul corpului format.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 8

R=AB+3=15; r=DC+3=7; G=AD=10;

H=\sqrt{100-64}=6;

A_T=\pi\left(R+r\right)G+\pi r^2+\pi

R^2=\pi\left(150+70+144+49\right)= 413\pi\ {cm}^2;

V=\frac{\pi h}{2}\left(R^2+r^2+Rr\right)= \frac{6\pi}{2}\left(144+49+84\right)=831\pi\ {cm}^3.

9. Aria totala a unui cilindru circular drept este de 132π cm2, iar cea laterala 96π cm2. Sa se afle volumul cilindrului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 9

A_{.T}=2\pi r^2+2\pi ra= 2\pi r\left(r+a\right)=132\pi;

A_{.L}=2\pi ra=96\pi 2\pi r^2= 132\pi-96\pi=36\pi=>r=3\sqrt2;

a=8\sqrt2;

V=18\pi\cdot8\sqrt2=144\pi\sqrt2\ {cm}^3

10. Un con se desfasoara pe un plan dupa un semicerc cu diametrul de 20 cm. Sa se afle volumul conului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 10

g=R=10; 2πr=πR=10π => r=5

h=\sqrt{100-25}=5\sqrt3;

V=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot25\cdot5\sqrt3=\frac{125\sqrt3}{3}\pi\ {cm}^3

11. *Un trapez dreptunghic se roteste, o data in jurul bazei mici, alta data in jurul bazei mari. Cunoscand volumele V_1 si V_2 ale corpurilor astfel obtinute, precum si latura a perpendiculara pe baze, sa se calculeze, in functie de V_1, V_2 si a, diferenta dintre bazele trapezului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 11

V_1=\pi a^2b+\frac{1}{3}\pi a^2\left(B-b\right);

V_2=\pi a^2B-\frac{1}{3}\pi a^2\left(B-b\right)=>

V_2-V_1=\pi a^2\left(B-b\right)-\frac{2}{3}\pi a^2\left(B-b\right)= \frac{1}{3}\pi a^2\left(B-b\right)=>

B-b=3\cdot\frac{V_2-V_1}{\pi a^2}

12. *Intr-un con circular drept cu diametrul bazei egal cu 12\sqrt2 cm si inaltimea egala cu 6 cm, se inscrie un cub astfel incat o fata a sa sa se gaseasca in planul bazei conului, iar varfurile celelilalte baze sa fie situate pe panza conica.

  1. Sa se gaseasca volumul cubului.
  2. Rezolvati aceeasi problema in cazul cand diametrul bazei cercului este 2a\sqrt2 si inaltimea conului a.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 12

Facem o sectiune axiala in con, determinata de sectiunea ACC’A’ prin cub. Notam cu xlatura cubului si tinanc cont de asemanarea triunghiurilor AVC si PVQ, obtinem:

\frac{x\sqrt2}{2a\sqrt2}=\frac{a-x}{a}=> x=\frac{2a}{3},V=\frac{8a^3}{27}.

Daca a=6 cm=>

x=4 cm, V= 64 cm3

13. Un con circular drept, care are raza bazei de 8 m si inaltimea de 16 m, se taie cu un plan paralel cu planul bazei, determinand astfel un trunchi de con de inaltime de 12 m.

  1. Sa se calculeze volumul trunchiului de con format.
  2. Sa se determine la ce distanta de planul bazei trebuie sa se faca o sectiune in con, printr-un plan paralel cu baza, astfel ca ariile laterale ale celor doua corpuri formate sa fie egale.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 13

Raportul de asemanare dintre conul mic si conul mare este 1/4:

V_{con\ mare}=\frac{\pi}{3}\cdot1024\ {cm}^3;

V_{con\ mic}=\frac{1}{4^3}\cdot V_{con\ mare}=\frac{\pi}{3}\cdot16\ {cm}^3;

V_{trunchi}=V_{con\ mare}-V_{con\ mic}= \frac{\pi}{3}\cdot1024-\frac{\pi}{3}\cdot16=336\pi\ {cm}^3;

A_{l\ con\ mare}=k^2\cdot\ A_{l\ con\ mic};

A_{l\ con\ mic}=A_{l\ trunchi}=>

k=\frac{1}{\sqrt2};

\frac{h}{16}=\frac{\sqrt2}{2}=>h=8\sqrt2;

d=16-8\sqrt2=8\left(2-\sqrt2\right)cm.

14. Un triunghi dreptunghic ABC, (m(∢A)=90°) se roteste in jurul perpendicularei in B pe BC. Daca AB = 3 cm si AC = 4 cm, gasiti volumul corpului format.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 14

V=\frac{\pi h}{2}\left(R^2+r^2+Rr\right);

BC=5; h=\frac{3\cdot4}{5}=\frac{12}{5}; R=5; r=\frac{9}{5};

V=\frac{\pi h}{3}\left(R^2+r^2+Rr\right)= \pi\frac{12}{15}\left(25+\frac{81}{25}+9\right)= \pi\frac{4}{5}\cdot\frac{931}{25};

V_{con\ mic}=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot\frac{81}{25}\cdot\frac{12}{5}= \pi\cdot\frac{27}{25}\cdot\frac{12}{5};

V_{corp}=V-V_{con\ mic}= \frac{\pi}{125}\cdot\left(3724-324\right)=27,2\pi\ {cm}^3

15. Un trunchi de con circular drept are aria laterala 220\ \pi\ {cm}^2 si generatoarea 10 cm. Stiind ca raportul razelor trunchiului este de 4 : 7, sa se afle aria totala si volumul trunchiului de con.

Rezolvare:

A_l=\pi\left(R+r\right)G=10\pi\left(R+r\right)=220\ \pi=>R+r=22;

\frac{r}{R}=\frac{4}{7} =>r=\frac{4R}{7}=> \frac{11R}{7}=22=> R=14,\ r=8

A_t=220\ \pi+196\pi+64\pi=480\pi\ {cm}^2;

h=\sqrt{100-36}=8;

V=\frac{\pi8}{3}\left(196+64+112\right)=992\pi\ {cm}^3

16. Intr-o sfera cu raza R = 5 m, se inscrie un con cu inaltimea h = 8 m. Sa se afle:

  1. Aria si volumul sferei
  2. Aria si volumul conului
  3. Ariile calotelor formate

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 15

A_{sfera}=4\pi\cdot R^2=100\pi\ m^2;

\ V_{sfera}=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{500}{3}\pi\ m^3;

m\left(\sphericalangle VBM\right)=90^{\circ};

 VO=ON=OM=5;O^\prime M=2;OO^\prime=3=>

O^\prime B=\sqrt{25-9}=4\ r=4;

AB=g=\sqrt{64+16}=4\sqrt5

A_{con}=\pi\cdot r^2+\pi rg=16\pi+16\sqrt5\pi= 16\pi\left(1+\sqrt5\right)\ m^2

V_{con}=\frac{1}{3}\cdot8\cdot16\cdot\pi=\frac{128}{3}\pi\ m^3

A_{calota\ mica}=2\pi R\cdot H=2\pi\cdot5\cdot2=20\pi\ m^2;

A_{calota\ mare}=2\pi R\cdot H=2\pi\cdot5\cdot8=80\pi m^2

17. Un con circular drept, in care generatoarele fac unghiuri de 30° cu inaltimea, taie dintr-o sfera, cu centrul in varful conului, o calota. Raza sferei fiind R, sa se afle aria calotei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 16

OA=OB=R;m(∢AOB)=30°+30°=60°=>AB=R;

O^\prime=\sqrt{R^2-\frac{R^2}{4}}=\frac{R\sqrt3}{2};

H=O^\prime M=R-\frac{R\sqrt3}{2}=\frac{R\left(2-\sqrt3\right)}{2}

A_{calota\ }=2\pi R\cdot H=2\pi R\cdot\frac{R\left(2-\sqrt3\right)}{2}=\pi R^2(2-\sqrt3)

18.*O piramida, cu baza patrat de latura a, are toate fetele laterale triunghiuri echilaterale. Calculati raza semisferei cu centrul in centrul bazei piramidei si tangenta la fetele laterale ale piramidei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 17

V=\frac{a^2}{3}\cdot\frac{a\sqrt2}{2}=\frac{a^3\sqrt2}{6};

V=4\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\frac{r}{3}=>

\frac{a^3\sqrt2}{6}=\frac{a^2\sqrt3}{3}\cdot r

=>r=\frac{a\sqrt6}{6}

19. Daca doua cercuri necoplanare au doua puncte comune, atunci ele sunt situate pe aceeasi sfera.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 18

OA=OB=r=>Centrul sferei se afla pe planul mediator al coardei comune.

20.*Daca un poliedru are toate varfurile sale pe o sfera, atunci toate fetele sale sunt poligoane inscriptibile.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 19

Varfurile unei fete apartin intersectiei planului acelei fete cu sfera, care este un cerc.

21.*Piramida VABCD are baza ABCD dreptunghi. Ducem CP⊥VA (P∈AV), iar din D ducem DQ⊥VB (Q∈BV). Demonstrati ca PQBA este un patrulater inscriptibil.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 20

⊿APCeste dreptunghic, deci poate fi inscris intr-un cerc cu diametrul AC;

⊿DQBeste dreptunghic, deci poate fi inscris intr-un cerc cu diametrul BD

Dar BD=AC => consideram sfera cu diametrul egal cu diagonala dreptunghiului. P, Q, A, B sunt coplanare si se afla pe aceeasi sfera => patrulaterul este inscriptibil.

22. Daca exista o sfera tangenta la toate muchiile unui tetraedru, atunci suma oricaror doua muchii opuse ale tetraedrului este aceeasi. (Prin muchii opuse intelegem doua muchii care n-au niciun varf comun.)

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 21

Tangentele duse dintr-un punct exterior unui cerc la un cerc din acelasi plan sunt congruente ceea ce face ca segmentele care unesc un varf cu punctele de tangenta ale fetelor care il contin sa fie congruente => laturile pot fi determinate in functie de aceste tangente.Daca le notam cu a, b, c, d:

BM=\sqrt{b^2-({d(O,BC)}^2-r^2)};

MC=\sqrt{c^2-({d(O,BC)}^2-r^2)}

AN=\sqrt{d^2-({d(O,AD)}^2-r^2)};

MC=\sqrt{a^2-({d(O,AD)}^2-r^2)}

=>AD+BC=\sqrt{b^2-({d(O,BC)}^2-r^2)}+\sqrt{c^2-({d(O,BC)}^2-r^2)}+

\sqrt{d^2-({d(O,AD)}^2-r^2)}+\sqrt{c^2-({d(O,BC)}^2-r^2)}

Egalitate valabila pentru orice muchii opuse.

23.*Fie A, B, C, D patru puncte necoplanare. Fie M si N doua puncte variabile astfel incat MA⊥AN,MB⊥BN,  MC⊥NC, MD⊥ND Sa se arate ca segmentul MN are lungimea constanta.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: aria si volumul sferei 22

⊿MAN, ⊿MBN sunt dreptunghice => A si B apartin unui cerc de diametru MN => OA=OB, unde O este mijlocul segmentului MN

⊿MAN, ⊿MDN sunt dreptunghice => A si D apartin unui cerc de diametru MN =>OA=OD;

⊿MAN, ⊿MCN sunt dreptunghice => A si C apartin unui cerc de diametru MN=>OA=OC;

=>OA=OB=OC=OD;

=> A, B, C, D apartun unei sfere de diametru MN circumscrisa tetraedrului ABCD

Probleme: Suprafete si corpuri rotunde

1. Un cilindru se desfasoara pe un plan dupa un dreptunghi, ale carui diagonale sunt egale cu 2a si formeaza intre ele un unghi de 120°. Sa se afle raza si generatoarea cilindrului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 23

BD=2πR;

m(∢DOC)=60°=>OD=OC=CD=a (generatoarea);

2\pi R=a\sqrt3=>R=\frac{a\sqrt3}{2\pi}

Sau:

CD=2\pi R=a=>R=\frac{a}{2\pi};

BD=a\sqrt3(generatoarea)

2. Un cilindru circular drept, asezat cu baza intr-un plan orizontal, are generatoarea g=6\sqrt3\ m si raza de 6 m. Se inclina cilindrul, astfel incat centrul unei baze sa se proiecteze vertical intr-un punct al cercului celelilalte baze. Ce unghi formeaza in acest caz generatoarea cu planul orizontal?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 24

tg\ \beta=\frac{1}{\sqrt3}=>

β=30°=> Unghiul cautat este de 90°-30°=60°

3. Un plan ce contine centrele celor doua baze ale unui cilindru circular drept intersecteaza cercurile celor doua baze in A si B si respectiv A’ si B’. (A, A’ sunt pe aceeasi generatoare, B, B’ la fel). Gasiti distanta dintre punctele A si B’, in functie de raza R a bazei si generatoarea G.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 25

AB^\prime=\sqrt{4R^2+G^2}

4. Un con circular drept are raza bazei de 9 cm si inaltimea 20 cm, este intersectat cu un plan paralel cu baza. La ce distanta de varf trebuie dus planul, astfel incat raza cercului de sectiune sa fie de 6 cm?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 26

\frac{VO^\prime}{VO}=\frac{O^\prime A^\prime}{OA}=>

\frac{VO^\prime}{20}=\frac{6}{9}=> VO^\prime=\frac{40}{3}

5. Un con circular drept are diametrul bazei de 12 cm si inaltimea egala cu \frac{2}{3} din diametru. La ce distanta de varful conului trebuie facuta o sectiune printr-un plan paralel cu baza, astfel incat lungimea cercului de sectiune sa fie 9π?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 27

OA=\frac{12}{2}=6;

VO=\frac{2}{3}\cdot12=8;

2\pi\cdot O^\prime A^\prime=9\pi=>

O^\prime A^\prime=\frac{9}{2};

\frac{VO^\prime}{VO}=\frac{O^\prime A^\prime}{OA}=>

\frac{VO^\prime}{8}=\frac{\frac{9}{2}}{6} =>VO^\prime=6

6. Un con cu generatoarea de 16 cm se desfasoara pe un plan, dupa un sfert de cerc. Gasiti raza bazei conului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 28

2\pi\cdot OA=2\pi\cdot16\cdot\frac{1}{4}= 2\pi\cdot4 =>OA=4

7. Intr-un trunchi de con circular drept cu R = 16 cm si r = 8 cm, se inscriu doua conuri care au ca baze, bazele trunchiului si generatoarele unuia in prelungirea generatoarelor celuilalt. Stiind ca inaltimea trunchiului este de 12 cm, sa se afle inaltimile celor doua conuri.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 29

⊿B’O’V∼⊿AVO =>\frac{O^\prime V}{OV}=\frac{O^\prime B}{AO}=> {\frac{O^\prime V}{OO}}^\prime=\frac{8}{24}=>

\frac{O^\prime V}{12}=\frac{1}{3}=> O’V=4; OV=8

8. Fie d o semidreapta de origine O, si un unghi ascutit θ, ambele date. Gasiti locul geometric al punctelor M din spatiu pentru care unghiul dintre OM si d este θ.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 30

MO’=sinθ∙OM;

Locul geometric este o panza conica pentru care generatoarea face cu d un unghi

9. O dreapta ce trece prin centrul unei sfere cu cu raza R = 10 cm, intersecteaza un plan α intr-un punct M, astfel ca OM = 26 cm. Stiind ca distanta de la M la proiectia lui O pe α este 24 cm, stabiliti pozitia planului α fata de sfera.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 31

OA=\sqrt{{26}^2-{24}^2}=10=R=>

Sfera si planul sunt tangente.

10. Un plan α intersecteaza o sfera cu raza R = 0,5 m, astfel incat aria cercului de sectiune este de 4 ori mai mica decat aria unui cerc mare al sferei. Gasiti distanta de la centrul sferei la planul de sectiune.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 32

\pi R^2=4\pi{O^\prime B}^2=>

O^\prime B=\frac{R}{2}=\frac{1}{4};

OO^\prime=\sqrt{{OB}^2-{O^\prime B}^2}= \sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt3}{4}

11. Fie doua sfere de centre O si O’ si raze R si R’. In fiecare din situatiile urmatoare precizati pozitiile sferelor:

  1. R = 8 cm, R’ = 4 cm, OO’ = 3 cm;
  2. R = 13, 5 cm, R’ = 4,5 cm, OO’ = 20 cm;
  3. R\ =\ 2\sqrt3\ cm, \ R^\prime=2\cdot\left(2-\ \sqrt3\right)\ cm, OO^\prime=3\ cm;
  4. R=2\cdot\left(4-\ \sqrt2\right), \ R^\prime=2\cdot\left(3-\ 2\sqrt3\right)\ cm, \ OO^\prime=1\ cm.

Rezolvare:

OO'<R^'<R: Una in interiorul celeilalte;

OO’>R+R’: exterioare;

OO'<R+R’: secante;

R'<0: imposibil.

12. Doua plane paralele intersecteaza sfera de raza R = 5 cm, dupa doua cercuri cu razele respectiv r = 3 cm si r’ = 4 cm. Aflati inaltimea zonei sferice determinata de cele doua plane.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 33

Daca planele sunt de aceeasi parte a centrului sferei:

OO^\prime=\sqrt{25-16}=3;

O{O}''=\sqrt{25-9}=4;

O’O”=OO”-OO’=1;

Daca planele sunt de o parte si de alta a centrului sferei:

O’O”=OO”+OO’=7.

13. Gasiti locul geometric al picioarelor perpendicularelor duse din punctul fix A pe planul variabil ce trece prin punctul fix B.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Suprafete si corpuri rotunde 34

AB este constant iar m(∢AA’B)=90°, unde A’ este proiectia pe planul variabil.=> locul geometric este o sfera cu centrul pe mijlocul lui AB.

Probleme: Transformari, simetrie, congruente, translatii, rotatii in spatiu

1. Care sunt planele de simetrie ale unui diedru?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Transformari, simetrie, congruente, translatii, rotatii in spatiu 35

Planul bisector si orice plan perpendicular pe muchia comuna.

2. Care sunt planele de simetrie a doua plane distincte? Discutie (dupa cum ele sunt paralele sau secante).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Transformari, simetrie, congruente, translatii, rotatii in spatiu 36

Planele bisectoare ale celor patru diedre formate (sunt doua plane perpendiculare) si orice lan perpendicular pe intersectia lor, in cazul in care planele initiale nu sunt paralele, iar, in cazul in care planele sunt paralele, un plan paralel cu ele, situat intre ele, la distante egale de acestea si orice plan perpendicular pe ele.

3. Dar care sunt axele de simetrie a acestor plane?

Rezolvare:

Daca planele sunt secante, axa de simetrie este muchia lor comuna sau orice dreapta dintr-un plan bisector, perpendiculara pe muchia lor comuna; daca planele sunt paralele, axa de simetrie este orice dreapta perpendiculara pe ele sau continuta in planul echidistant.

4. Cate centre, axe si plane de simetrie are un cub?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Transformari, simetrie, congruente, translatii, rotatii in spatiu 37

Are un centru de simetrie, 3 + 6 = 9 axe de simetrie si 3 + 6 = 9 plane de simetrie.

5. Cate centre, axe si plane de simetrie are un tetraedru regulat?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Transformari, simetrie, congruente, translatii, rotatii in spatiu 38

Nu are centru de simetrie. In functie de tipulde rotatie are 4 axe de simetrie – care unesc un varf cu centrul triunghiului opus si 3 axe de simetrie care unesc mijloacele a doua muchii opuse. Are 6 plane de simetrie care contin mijlocul unei muchii si muchia opusa.

6. Care sunt prismele regulate, care au centru de simetrie? Dar axe? Dar plane? Cate?

Rezolvare:

Centre de simetrie au prismele regulate cu numar par de laturi la poligonul de baza. Plane de simetrie sunt n la cele cu numar impar (n) de laturi la poligonul de baza si 2n la cele cu numar par (n) de laturi ale poligonului de baza. Axe de simetrie au numai prismele cu numar par de laturi ale bazei.

7. Aceleasi intrebari pentru piramidele regulate.

Rezolvare:

Piramidele regulate cu numar n par de laturi ale poligonului de baza au 2n plane de simetrie. Cele cu n impar, au n plane de simetrie. Ambele au o singura axa de simetrie.

8. Se dau, in spatiu, o dreapta d si doua puncte P si Q. Se iau simetricele P’ ale punctului P fata de fiecare punct al dreptei d, apoi simetricele Q’ ale fiecarui punct al dreptei d fata de Q. Sa se arate ca toate punctele P’ si Q’ sunt situate in acelasi plan cu paralel cu d.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Transformari, simetrie, congruente, translatii, rotatii in spatiu 39

Locul geometric al lui P este o dreapta p∥d. Locul geometric a lui Q’ este o dreapta q∥d=>p∥q,deci coplanare. Atentie! Nu orice punct al acestui plan apartine acestor locuri geometrice.

9. *Un triunghi ABC, cu unghiurile B si C ascutite, se proiecteaza pe un plan α, care contine latura BC. Fie A’ proiectia lui A pe α. Sa se demonstreze ca ∢BA’C>∢BAC.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Transformari, simetrie, congruente, translatii, rotatii in spatiu 40

Rotim triunghiul ABC in jurul lui BC pana cand punctul A ajunge in planul de proiectie. Punctul A’ va fi interior triunghiului ABC, AA’⋂BC=M Exprimam unghiurile A si A’ ca sume de doua unghiuri (din care cele din A’ sunt exterioare triunghiului).

Probleme: Trunchiul de piramida

1. Un trunchi de piramida triunghiulara regulata are latura bazei mari de 6\sqrt3\ m, latura bazei mici de 2\sqrt3\ m si muchia laterala de 5\ m. Sa se calculeze aria laterla si volumul trunchiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 41

r=\frac{2\sqrt3}{\sqrt3}=2;R=6;

OO^\prime=\sqrt{25-16}=3;

Fetele laterale sunt trapeze isoscel cu inaltimea:

a_l=\sqrt{25-12}=\sqrt{13};

A_l=3\cdot8\sqrt3\cdot\sqrt{13}\cdot\frac{1}{2}=12\sqrt{39\ }\ {cm}^2

V=\frac{3}{3}\left(3\sqrt3+27\sqrt3+\sqrt{3\cdot3\cdot27}\right)=39\sqrt3\ {cm}^3

2. Un trunchi de piramida patrulatera regulata are latura bazei mari L, latura bazei mici l si inaltimea Sa se calculeze, in functie de L, l si h, inaltimea piramidei din care provine trunchiul.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 42

A^\prime O^\prime=l\sqrt2;AO=L\sqrt2;

\bigtriangleup VA^\prime O^\prime\sim\bigtriangleup VAO=>\frac{A^\prime O^\prime}{AO}=\frac{VO^\prime}{VO}=>

\frac{l}{L-l}=\frac{VO^\prime}{h}=>VO^\prime=\frac{hl}{L-l}

=>VO=h+\frac{hl}{L-l}=\frac{hL}{L-l}

3. O piramida are aria bazei de 8 cm2 si inaltimea de 10 cm. Se sectioneaza cu un plan paralel cu baza dusa prin mijlocul inaltimii. Se cere volumul trunchiului de piramida.

Rezolvare:

V_{piramida\ mare}=\frac{1}{3}\cdot8\cdot10=\frac{80}{3};

V_{piramida\ mica}=\frac{1}{3}\cdot2\cdot5=\frac{10}{3}=>

V_{trunchi}=\frac{70}{3}

4. Intr-un trunchi de piramida hexagonala regulata se cunosc (notatiile fiind cele din figura 15.7): inaltimea A’P = 3 cm, distanta B’E’ = 8 cm si latura bazei mari DE = 8 cm.

  1. sa se calculeze volumul trunchiului de piramida.
  2. Sa se calculeze aria laterala a trunchiului de piramida.

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 43
fig. 15 7

Rezolvare:

B^\prime E^\prime=2r=>{r=B}^\prime C^\prime=4\ cm;

s=3\cdot16\cdot\frac{\sqrt3}{2};

S=3\cdot64\cdot\frac{\sqrt3}{2};

V=\frac{3}{3}\cdot\left(24\sqrt3+96\sqrt3+\sqrt{24\cdot96\cdot3}\right)= 168\sqrt{3\ }\ {cm}^3;

B^\prime B=\sqrt{9+16}=5;

\ H_{trapez}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}

A=6\cdot\frac{4+8}{2}\cdot\sqrt{21}=36\sqrt{21}\ {cm}^2

5. Se da o piramida regulata VABCD, avand baza un patrat ABCD si lungimea inaltimii egala cu 8 cm. La ce distanta de planul bazei trebuie dus un plan paralel cu planul bazei, astfel incat raportul dintre volumul trunchiului de piramida obtinut si volumul piramidei VABCD sa fie egal cu \frac{7}{8}?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 44

\frac{V_{ABCDA^\prime B^\prime C^\prime D^\prime}}{V_{VABCD}}= \frac{7}{8}=\frac{V_{VABCD}-V_{VA^\prime B^\prime C^\prime D^\prime}}{V_{VABCD}}=

\frac{\frac{1}{3}\cdot{AB}^2\cdot8-\frac{1}{3}\cdot{A^\prime B^\prime}^2\cdot h}{\frac{1}{3}\cdot{AB}^2\cdot8}= 1-\frac{{A^\prime B^\prime}^2\cdot h}{8\cdot{AB}^2};

\frac{A^\prime B^\prime}{AB}=\frac{h}{8}=> 1-\frac{h^3}{8^3}=\frac{7}{8}=>

\left(\frac{h}{8}\right)^3=\frac{1}{8}=> \frac{h}{8}=\frac{1}{2};

h=4;d=8-4=4

6. Intr-un trunchi de piramida triunghiulara regulata se cunosc: latura bazei mari L = 12 cm, latura bazei mici l = 0,6 dm si volumul V=63\sqrt3\ {cm}^3. Sa se afle inaltimea, apotema, muchia si aria laterala a trunchiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 45

r=2\sqrt3;O^\prime M=\sqrt3\;

R=4\sqrt3;ON=2\sqrt3;

s=\frac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3;

S=\frac{144\sqrt3}{4}=36\sqrt3;

V=\frac{I}{3}\cdot\left(9\sqrt3+36\sqrt3+\sqrt{9\cdot36\cdot3}\right)=

63\sqrt3=> I\cdot63\sqrt3=189\sqrt3=>

I=3\ cm;

MN=\sqrt{9+3}=2\sqrt3\ cm;

B^\prime B=\sqrt{12+9}=\sqrt{21}\ cm;

\ A_l=3\cdot\frac{18}{2}\cdot2\sqrt3=54\sqrt3\ {cm}^2

7. Intr-un trunchi de piramida triunghiulara regulata se cunosc: latura bazei mari L = 10m, raza cercului circumscris bazei mici r=\frac{4\sqrt3}{3}m si aria laterala A_l=168\ m^2. Sa se afle volumul si muchia laterala a trunchiului de piramida.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 46

C^\prime B^\prime=4;

\ A_{BCC^\prime B^\prime}=56=\frac{4+10}{2}\cdot MN=>MN=8;

O^\prime M=\frac{2\sqrt3}{3};

OA=\frac{10\sqrt3}{3}; ON=\frac{5\sqrt3}{3};

OO^\prime=\sqrt{64-3}=\sqrt{61};

AA^\prime=\sqrt{12+61}=\sqrt{73};

V=\frac{\sqrt{61}}{3}\cdot\left(\frac{100\sqrt3}{4}+\frac{16\sqrt3}{4}+\sqrt{25\cdot4\cdot3}\right)=

\frac{\sqrt{61}}{3}\cdot51\sqrt3=17\sqrt{183}

8. Un trunchi de piramida patrulatera regulata are diagonala de 9 m si laturile bazelor de 7 m si 5 m. Se cere aria laterala si volumul sau.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 47

A^\prime C^\prime=5\sqrt2;AC=7\sqrt2;\\

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 48

C^\prime M=\sqrt{81-72}=3;

C^\prime C=\sqrt{9+2}=\sqrt{11};

NP=\sqrt{11-1}=\sqrt{10};

A_l=4\cdot\frac{7+5}{2}\cdot\sqrt{10}=24\sqrt{10};

V=\frac{3}{3}\cdot\left(49+25+\sqrt{35}\right)=74+\sqrt{35}

9. Un trunchi de piramida are ca baze doua romburi cu laturile de 6 cm si 8 cm si cu cate un unghi de 120°. Inaltimea trunchiului este egala cu triplul diagonalei mari a bazei mari si uneste centrele romburilor. Sa se calculeze inaltimea piramidei din care provine trunchiul.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 49

Triunghiul ABD este echilateral =>

AB=BD=8\ cm;

AO=\sqrt{64-16}=4\sqrt3;

AC=8\sqrt3;

O^\prime O=24\sqrt3;

\frac{VO^\prime}{VO}=\frac{A^\prime B^\prime}{AB}=>

\frac{VO^\prime}{VO^\prime+24\sqrt3}=\frac{6}{8}=>

VO^\prime=72\sqrt3=>VO=96\sqrt3

10. O piramida are toate muchiile laterale congruente si ele formeaza cu planul bazei unghiuri de 45°. Baza este un trapez isoscel cu unghiurile ascutite de cate 60° si bazele de 6 cm si 8 cm. Se sectioneaza piramida cu un plan paralel cu baza, si care imparte inaltimea in doua parti egale. Sa se afle volumul trunchiului de piramida obtinut.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 50

MB=\frac{8-6}{2}=1; BC=2MB=2;

CM=\sqrt3;AO=OV;

\frac{A^\prime B^\prime}{AB}=\frac{VO^\prime}{VO}=> \frac{A^\prime B^\prime}{8}=\frac{1}{2}=>

A^\prime B^\prime=4;D^\prime C^\prime=3;

C^\prime M^\prime=\frac{\sqrt3}{2};

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 51

AN=ND=1;

AP=2\cdot AN=2;

PT=\frac{AB}{2}-AP=2;

\cos{30}=\frac{PT}{PO}=> PO=\frac{4}{\sqrt3};

OT=\frac{2}{\sqrt3}; OQ=\frac{2}{\sqrt3}+\sqrt3

OD=\sqrt{\frac{25}{3}+9}=\sqrt{\frac{52}{3}}= \frac{2\sqrt{39}}{3}=OA=H;

V=\frac{49\sqrt{13}}{12}

11. O piramida regulata are inaltimea de 12 cm. La ce distanta de varf trebuie sa se faca o sectiune, printr-un plan paralel cu baza, astfel incat aria laterala a piramidei mici, ce se formeaza, sa fie egala cu aria laterala a trunchiului de piramida regulata.

Rezolvare:

Se foloseste relatia \frac{p\cdot a}{P\cdot A}=\frac{1}{2} (p, a fiind perimetrul si apotema piramidei mici si P, A a celei mari). Daca notam cu x distanta de la varf la sectiunea in piramida, \frac{x^2}{144}=\frac{1}{2}

=>x=6\sqrt2\ cm.

12. Un trunchi de piramida regulata are ca baze doua triunghiuri echilaterale cu laturile a si respectiv 2a. Apotema trunchiului este agala cu 4a. Sa se calculeze, in functie de a, aria totala si volumul trunchiului de piramida.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 52C^\prime M=\frac{a\sqrt3}{2};

OM=\frac{\sqrt3}{6}a;

CN=a\sqrt3; ON=\frac{\sqrt3}{3}\ a;

NP=\frac{\sqrt3}{6}a=\frac{a}{2\sqrt3}

h^2=\left(4a\right)^2-\left(\frac{a}{2\sqrt3}\right)^2,\ h fiind inaltimea trunchiului de piramida,

A_t=\frac{75+5\sqrt3}{4}\cdot a^2,

V=\frac{7\sqrt{191}}{24}\cdot a^3.

13. Un trunchi de piramida triunghiulara regulata are latura bazei mari de b metri, latura bazei mici de a metri si unghiul format de muchia laterala cu muchia bazei mari, care pornesc din acelasi varf, egal cu 60°. Sa se calculeze, volumul trunchiului de piramida.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Trunchiul de piramida 53

AT=UC=\frac{b-a}{2};

m\left(\sphericalangle AA^\prime T\right)=30=>

AA^\prime=b-a; A^\prime T=\frac{\sqrt3}{2}\left(b-a\right);

O^\prime N=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt3}{2};

OM=\frac{1}{3}\cdot\frac{b\sqrt3}{2};

MP=\frac{\sqrt3}{6}\left(b-a\right);

NP=\sqrt{\frac{3}{4}\left(b-a\right)^2-\frac{3}{36}\left(b-a\right)^2}=

\left(b-a\right)\sqrt{\frac{8}{12}}=\frac{\left(b-a\right)2}{\sqrt6};

V=\frac{\left(b-a\right)2}{3\sqrt6}\cdot\left(\frac{a^2\sqrt3}{4}+\frac{b^2\sqrt3}{4}+\frac{ab\sqrt3}{4}\right)=

\frac{\left(b-a\right)}{6\sqrt6}\left(a^2+b^2+ab\right)=

\left(a^2b+b^3+ab^2-a^3-{ab}^2-a^2b\right)\cdot\frac{1}{6\sqrt6}=

\frac{b^3-a^3}{6\sqrt6}

14.*Un trunchi de piramida are ariile bazelor egale cu S1 si S2. Se face o sectiune printr-un plan paralel cu bazele, la aceeasi distanta fata de ambele baze. Sa se calculeze aria S a acestei sectiuni in functie de S1 si S2.

Rezolvare:

Daca notam cu H inaltimea piramidei din care face parte trunchiul si cu h inaltimea trunchiului, putem scrie:

\left(\frac{H-h}{H}\right)^2=\frac{S_1}{S_2};

\ \left(\frac{H-\frac{h}{2}}{H}\right)^2=\frac{S}{S_2}=>

h=\frac{H\left(\sqrt{S_2}-\sqrt{S_1}\right)}{\sqrt{S_2}}\ ;

\ \frac{H-\frac{h}{2}}{H}=\frac{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}}{2\sqrt{S_2}}=>

\left(\frac{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}}{2\sqrt{S_2}}\right)^2=\frac{S}{S_2}

=>S=\frac{{(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})}^2}{4}

15. Un trunchi de piramida are ariile bazelor S si s si inaltimea I. Sa se calculeze, in functie de S, s si I, volumul piramidei din care face parte trunchiul.

Rezolvare:

Daca se noteaza cu x inaltimea piramidei:

\frac{x}{I+x}=\frac{\sqrt s}{\sqrt S}=>

\frac{x}{I}=\frac{\sqrt s}{\sqrt S-\sqrt s}=>

x=\frac{I\cdot\sqrt s}{\sqrt S-\sqrt s};

H=\frac{I\cdot\sqrt s}{\sqrt S-\sqrt s};

V=\frac{I\cdot S\sqrt S}{3\cdot(\sqrt S-\sqrt s)}.

Probleme: Piramida

1. Sa se determine aria laterala a unei piramide triunghiulare regulate a carei inaltime este de 4 cm, iar apotema piramidei este de 8 cm.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 54

VM=8;VO=4;

OM=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}; AM=12\sqrt3=>

\frac{12\sqrt3}{AC}=\frac{\sqrt3}{2}=>

AC=24=>

S_{laterala}=3\cdot\frac{1}{2}\cdot24\cdot8=288\ {cm}^2

2. Aria laterala a unei piramide patrulatere regulate este de 14,76 m2, iae cea totala de 18 m2. Sa se determine latura bazei si inaltimea piramidei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 55

S_{ABCD}=18-14,76=3,24={AB}^2

=>AB=1,8;

4\cdot\frac{1}{2}\cdot VM\cdot1,8=14,76=>VM=4,1;

h^2= 16,81-0,81=>h=4

3. Muchia laterala a unei piramide triunghiulare regulate formeaza cu planul bazei un unghi de 45°, iar latura bazei este egala cu a. Sa se determine aria laterala a piramidei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 56

AM=\frac{a\sqrt3}{2};

AO=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt3}{2}= \frac{a\sqrt3}{3}=OV=>

{VM}^2= \left(\frac{a\sqrt3}{6}\right)^2+\left(\frac{a\sqrt3}{3}\right)^2= \frac{3a^2}{36}+\frac{3a^2}{9}=>

VM=\frac{\sqrt{15}a}{6}=> S=3\cdot\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{a\sqrt{15}}{6}=\frac{a^2\sqrt{15}}{4}

4. Intr-o piramida patrulatera regulata apotema bazei este de 24 cm, iar apotema piramidei este de 37 cm. Sa se calculeze: muchia laterala a piramidei, inaltimea si aria ei laterala.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 57

h^2={37}^2-{24}^2=793=> h=\sqrt{793};

AB=48; BM=OM=24=>

{VB}^2={37}^2+{24}^2=1945=> VB=\sqrt{1945};

S=4\cdot\frac{1}{2}\cdot48\cdot37 =3552\ {cm}^2

5. Intr-o piramida triunghiulara regulata se cunosc: latura bazei l_b=5\sqrt3\ m si inaltimea piramidei h = 6 m. Sa se calculeze muchia laterala, apotema piramidei si aria ei totala.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 58

AM=\frac{\sqrt3}{2}\cdot5\sqrt3=\frac{15}{2};

AO=\frac{2}{3}\cdot\frac{15}{2}=5;

OM=\frac{5}{2};

AV=\sqrt{36+25}=\sqrt{61};

VM=\sqrt{\frac{25}{4}+36}=\frac{13}{2};

S=\frac{45\sqrt3}{4}+3\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{13}{2}\cdot5\sqrt3= 60\sqrt3

6. Intr-o piramida hexagonala regulata se da: raza cercului circumscris bazei R = 12 cm si muchia laterala m = 13 cm. Sa se calculeze aria laterala, aria totala si inaltimea piramidei.

Rezolvare

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 59

h^2=169-144=25 =>h=5;

OM=\frac{\sqrt3}{2}\cdot12=6\sqrt3;

VM=\sqrt{25+108}=\sqrt{133};

\ S_{laterala}=6\cdot\frac{1}{2}\cdot12\cdot\sqrt{133}=36\sqrt{133};

S_{totala}=\ 6\cdot144\cdot\frac{\sqrt3}{4}+36\sqrt{133} =36\cdot(6\sqrt3+\sqrt{133})

7. In piramida VABCD, baza ABCD este un patrat cu latura a, iar fetele laterale VAB, VBC, VDC si VAD sunt triunghiuri echilaterale. Sa se determine (in functie de a):

  1. functiile trigonometrice ale unghiului dintre fetele VAD si VAB;
  2. functiile trigonometrice ale unghiului dintre fetele VAB si VDC;
  3. unghiul dintre VA si planul (ABC).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 60

MB\bot AV,\ VM=MV=\frac{a}{2};

MB=\frac{a\sqrt3}{2}=DM;

BQ\bot DM; DB=a\sqrt2;

{BD}^2={MD}^2+{MB}^2-2\ MD\cdot MB\cdot\cos{BMD}=>

2a^2=2\cdot\frac{3a^2}{4}-2\cdot\frac{3a^2}{4}\cdot\cos{BMD}

=>4a^2=3a^2-3a^2\cos{BMD};

cos{BMD}=\frac{1}{3};

\sin{BMD}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt2}{3};

Analog,

\cos{NVP}=\frac{1}{3}; \sin{NVP}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}= \frac{2\sqrt2}{3}

VA=a; VO\bot AC;

AO=\frac{a\sqrt2}{2};

VO=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt2}{2}

=>VO=AO

=>m(∢VAO)=45°

8. Se considera piramida triunghiulara ABCD cu muchiile AB≡BC≡CD≡DA, AB=a. Fie M si N mijloacele muchiilor AC si BD. Sa se arate ca MN este perpendiculara pe AC si BD.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 61

⊿DAB si ⊿BCD sunt isoscele => AN⊥BD; CN⊥BD; AN=CN =\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}} =>⊿ANC este isoscel. => NM este si inaltime, NM⊥AC;

⊿ABC si ⊿ADC sunt isoscele => BM⊥AC; DM⊥AC; BM=DM =\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=>⊿BMD este isoscel. => NM este si inaltime, NM⊥BD.

9. Se da un tetraedru regulat de muchie a.

  1. Sa se determine inaltimea si apotema tetraedrului, precum si valoarea cosinusului unghiului dintre doua fete ale tetraedrului.
  2. Sa se determine distantele unui punct oarecare de pe inaltimea tetraedrului la fetele laterale, in functie de distanta x a acestuia la planul bazei.
  3. Utilizand rezultatul obtinut la punctul b), sa se arate ca suma distantelor oricarui punct de pe inaltime la fetele tetraedrului este constanta.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 62

VM=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt3}{2}=CM=AN;

MO=\frac{1}{3}\cdot CM=\frac{a\sqrt3}{6};

VO=\sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{3a^2}{36}}= \frac{\sqrt2a}{\sqrt3}= \frac{a\sqrt6}{3};

\cos{VMC}=\frac{MO}{VM}=\frac{1}{3};

OE=x; EP⊥VM; EQ⊥VN;

⊿VEP∼⊿VMO => \frac{VE}{VM}=\frac{EP}{OM}; \frac{\frac{a\sqrt6}{3}-x}{\frac{a\sqrt3}{2}}= \frac{EP}{\frac{a\sqrt3}{6}}=>

\frac{2a\sqrt6-6x}{3a\sqrt3}=\frac{6EP}{a\sqrt3}=>

\ EP=\frac{a2\sqrt6-6x}{18}= \frac{a\sqrt6}{9}-\frac{x}{3}

⊿VEQ∼⊿VNO =>\frac{VE}{VO}=\frac{EQ}{ON}=>

\ EQ=\frac{a2\sqrt6-6x}{18}=\frac{a\sqrt6}{9}-\frac{x}{3}=EP;

Suma=3\cdot(\frac{a\sqrt6}{9}-\frac{x}{3})+x= \frac{a\sqrt6}{3}

10. Prin mijlocul inaltimii unei piramide triunghiulare regulate VABC se duce un plan paralel cu una din fetele laterale. Sa se afle aria sectiunii formate, stiind ca aria unei fete laterale este de 72 cm2.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 63

MN∥AC, M∈(AVB); N∈(BVC); MP∥AV; NP∥VC; P∈VB (ultima relatie de paralelism se demonstreaza prin raport de asemanare) => ⊿MNP∼⊿AVC=>

\frac{S_{MNP}}{S_{AVC}}= \left(\frac{MP}{AV}\right)^2=> \frac{S_{MNP}}{72}= \frac{1}{4}=> S_{MNP}=\frac{72}{4}=18

11. Baza unei piramide este un triunghi echilateral cu latura de 8 cm. Una dintre fetele laterale este, de asemenea, un triunghi echilateral, al carui plan este perpendicular pe planul bazei. Sa se determine aria laterala a acestei piramide.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 64

VM⊥AC;BM⊥AC=>VM⊥BM=>

VM=BM =\sqrt{64-16}=4\sqrt3;

VB=8\sqrt3;

AN=\sqrt{64-48}=4;

\ S_{VAB}=\frac{1}{2}\cdot8\sqrt3\cdot4=16\sqrt3

S=64\cdot\frac{\sqrt3}{4}+32\sqrt3= 16\sqrt3+32\sqrt3=48\sqrt3

12. O piramida are ca baza trapezul dreptunghic ABCD (AD∥BC,  m(∢A)=m(∢B)=90°, AD=a, BC=2a si AB=2a). Inaltimea piramidei VO cade in punctul O, mijlocul segmentului AB. Stiind ca VO = a, sa se calculeze:

  1. Ariile triunghiurilor VAB, VAD, VBC;
  2. Volumul piramidei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 65

S_{VAB}=\frac{1}{2}\cdot2a\cdot a=a^2;

\ VA=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2=VB

VO⊥BA; BA⊥BC => VB⊥BC;

S_{VBC}=\frac{1}{2}\cdot2a\cdot a\sqrt2=a^2\sqrt2;

VO⊥AB; AB⊥DA => VA⊥AD;

S_{VAD}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a\sqrt2=\frac{a^2\sqrt2}{2};

V_{VABCD}=\frac{1}{3}\cdot\left(2a+a\right)\cdot2a\cdot\frac{1}{2}\cdot a=a^3

13. O piramida are ca baza un paralelogram ABCD si varful V, astfel incat muchia VD sa fie perpendiculara pe planul bazei. Se noteaza cu M mijlocul muchiei VB, B fiind vrful opus lui D in paralelogramul ABCD. Sa se arate ca:

  1. Planele MAC si MBD sunt perpendiculare pe planul bazei si MB≡MD;
  2. Unghiurile fetelor MAD si MBC cu planul bazei sunt congruente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 66

VM≡MB;OB≡OD=>OM∥VD;VD⊥(ABCD);

OM⊂(DMB)=>(DMB)⊥(ABDC);

OM⊂(AMC)=>(AMC)⊥(ABDC);

OM⊥BD;OD=OB=>⊿DMB este isoscel =>DM=MB

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 67

ON⊥AD;MO⊥ON=>MN⊥AD;

OP⊥BC;MO⊥OP=>MP⊥BC;

DO≡OB;∢NDO≡∢PBO;m(∢OND)=m(∢OPB)=90°=>

⊿NDO≡⊿PBO=>

ON≡OP;m(∢MON)=m(∢MOP)=90°;MO=MO=>

⊿MON≡⊿MOP=>∢MNO≡∢MPO

14. O piramida patrulatera regulata are latura bazei egala cu a, iar sectiunea diagonala este echivalenta cu baza. Sa se determine aria laterala a piramidei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 68

S_{ABCD}=a^2=S_{AVC} =\frac{1}{2}\cdot h\cdot a\sqrt2

=>h=\frac{2a}{\sqrt2}=a\sqrt2;

VM=\sqrt{\frac{a^2}{4}+2a^2}= \frac{3}{2}a;

\ S_{laterala}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{3}{2}a=3a^2

15. O piramida are baza un paralelogram. Ce poligon se obtine sectionand aceasta piramida cu un plan paralel cu o fata laterala a sa?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 69

MN⊂(AMCD); MN∥BC => AM≡DN; MB≡NC

QM⊂(VAB); QM∥VB =>\frac{AM}{MB}=\frac{AQ}{QV};

NP⊂(VDC);NP∥VC =>\frac{DP}{PV}=\frac{DN}{NC};

=>\frac{AQ}{QV}=\frac{DP}{PV} => QP ∥ AD ∥ BC ∥ MN

=>QPNM  trapez

16. Sa se arate ca oricum am alege trei muchii ale unei piramide, cel putin doua sunt situate in acelasi plan.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 70

Daca alegem doua muchii laterale, acestea se intersecteaza in varf, deci determina un plan. Daca alegem doua muchii ale bazei acestea fac parte din planul bazei.

17. Intr-o piramida patrulatera regulata VABCD, cu muchia bazei egala cu 8 cm, se duce, prin mijlocul muchiei VA, un plan paralel cu planul, triunghiul VBD. Stiind ca muchiile piramidei sunt congruente cu diagonala bazei, sa se calculeze:

  1. Aria laterala si volumul piramidei;
  2. Aria sectiunii determinata in piramida.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 71

AC=BD==\sqrt{64+64}=8\sqrt2= VA=VB=VC=VD;

VO⊥(ABCD); OQ⊥DC => VQ⊥DC;

VQ=\sqrt{128-16}=\sqrt{112}=4\sqrt7

S_L=4\cdot\frac{1}{2}\cdot8\cdot4\sqrt7=64\sqrt7;

VO=\sqrt{112-16}=\sqrt{96}=4\sqrt6;

V=\frac{1}{3}\cdot64\cdot4\sqrt6=\frac{256\sqrt6}{3}

MP ∥ VB; VM = MA => MP=\frac{VB}{2};DN=NA

MN ∥ VD; VM = MA => MN=\frac{VD}{2};AP=PB;

DN=NA; AP=PB => NP=\frac{DB}{2}

=>S_{MNP}=\frac{S_{VDB}}{4}= \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot8\sqrt2\cdot4\sqrt6=8\sqrt3

18. Fie o piramida patrulatera regulata cu baza un patrat ABCD de latura 1 cm. Stiind ca unghiurile diedre a doua fete opuse sunt congruente cu unghiurile diedre pe care acestea le formeaza cu baza, sa se determine:

  1. Muchiile laterale;
  2. Inaltimea piramidei;
  3. Aria laterala si aria totala.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 72

⊿MVN este echilateral =>MV=MN=VN=1;

VB=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt5}{2}

VO=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt3}{2}

S_L=4\cdot\frac{1}{2}\cdot1\cdot1=2

S_T=S_L+1=3

19. O piramida cu baza ABCD dreptunghi, are AB=2a, BC=a si inaltimea SD=2a. Pe muchia SB se ia mijlocul ei, P.

  1. Sa se arate ca triunghiul APC este isoscel si sa se calculeze aria sa.
  2. Sa se calculeze aria laterala a piramidei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 73

AC=\sqrt{4a^2+a^2}=a\sqrt5;

PC=\sqrt{4a^2+a^2}=a\sqrt5

=>AC=PC;

SD⊥AD; AD⊥AB; SA⊥AB;

SA=\sqrt{4a^2+a^2}=a\sqrt5

SD⊥DC; DC⊥BC; SC⊥BC;

SC=\sqrt{4a^2+{4a}^2}=a2\sqrt2;

\S_L=\frac{1}{2}\cdot2a\cdot a+\frac{1}{2}\cdot a\sqrt5\cdot2a+\frac{1}{2}\cdot a2\sqrt2\cdot a+\frac{1}{2}\cdot2a\cdot2a

=a^2+a^2\sqrt5+a^2\sqrt2+2a^2

=a^2(3+\sqrt5+\sqrt2)

20. Fie SABCD o piramida regulata cu baza patratul ABCD de latura 3\sqrt2 si muchie laterala 5.

  1. Sa se afle aria laterala si volumul piramidei
  2. Daca notam cu O centrul patratului si consideram un punct M pe muchia SB, sa se determine cosinusul unghiului format de OM cu planul patratului, astfel incat aria triunghiului ACM sa fie minima.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 74

h_{ASB}=\sqrt{25-\frac{18}{4}}=\sqrt{\frac{82}{4}}=\sqrt{\frac{41}{2}};

S_L=4\cdot\frac{1}{2}\cdot3\sqrt{2\cdot\frac{41}{2}}= 6\sqrt{41};

SO=\sqrt{{AS}^2-{AO}^2}=\ \sqrt{25-9}=4;

V=\frac{1}{3}\cdot18\cdot4=24

Pentru ca aria triunghiului ACM sa fie minima, trebuie ca MO sa fie minima, deci OM⊥SB.

OM=\frac{SO\cdot O B}{SB}=\frac{4\cdot3}{5}=\frac{12}{5};

\cos{MOB}=\frac{OM}{OB}=\frac{12}{5}\cdot\frac{1}{3}=0.8

21.*Daca o piramida triunghiulara regulata are muchia laterala de marime a constanta si latura x a bazei variabila (dar baza este mereu un triunghi echilateral de latura x), sa se gaseasca marimea lui x pentru care volumul piramidei este maxim.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 75

Se considera ca baza a piramidei o fata laterala. Se tine seama intai ca din toate piramidele cu aceeasi baza si cu muchia constanta, cea cu volum maxim este cea in care muchia laterala este inaltime; apoi, ca din toate triunghiurile isoscele cu laturile congruente de lungime constanta, cel de arie maxima este triunghiul dreptunghic.

a^2+a^2=x^2

x=a\sqrt2.

22. Intr-o piramida de inaltime h, sa se spuna la ce distanta de varf trebuie dus un plan paralel cu baza, astfel incat aria totala a piramidei mici obtinute, sa fie de doua ori mai mica decat a celei initiale.

Rezolvare:

Daca x este distanta de la varf la plan:

\frac{A_{1T}}{A_{2T}}=\frac{A_{1L}}{A_{2L}}=\frac{x^2}{h^2}=\frac{1}{2},\ x=\frac{h}{\sqrt2}.

23. O piramida are muchiile laterale congruente si ele formeaza cu planul bazei unghiuri de 45°. Baza este un trapez isoscel cu unghiurile ascutite de cate 60° si bazele de 6 cm si 8 cm. Sa se calculeze:

  1. Raza cercului circumscris trapezului isoscel;
  2. Volumul piramidei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 76

AP=1; AD=BC=2; DP=\sqrt3=NM;

{OA}^2=16+{OM}^2=9+{ON}^2;

OM+ON=\sqrt3

16+\left(\sqrt3-ON\right)^2= 9+{ON}^2;16+3-2\sqrt3 ON=9;

ON=\frac{5}{\sqrt3};

OA=\sqrt{9+\frac{25}{3}}= 2\sqrt{\frac{13}{3}}=\frac{2\sqrt{39}}{3}

m(∢VAO)=45°=> VO=AO=\frac{2\sqrt{39}}{3};

V=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot14\cdot\sqrt3\cdot\frac{2\sqrt{39}}{3} =\frac{1}{3}\cdot14\cdot\sqrt{13}

24. O piramida triunghiulara regulata are latura bazei de 6\sqrt3 m si apotema (piramidei) de 5 m. Sa se afle volumul piramidei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 77

CM=\sqrt{36\cdot3-9\cdot3}=9;

OM=\frac{9}{3}=3;

VO=\sqrt{25-9}=4;

V=\frac{1}{3}\cdot36\cdot3\cdot\frac{\sqrt3}{4}\cdot4=36\sqrt3

25. Dreptunghiul ABCD este baza unui paralelipiped dreptunghic ABCDEFGH, in care AB≡AE, AB=2a si AD=a\sqrt3. Fie P mijlocul laturii AB si Q mijlocul laturii AE. Sa se calculeze volumul tetraedrului FHPQ in functie de a.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 78

HE⊥(ABCD); ⊿QPF⊂(ABCD) => HE este inaltime;

EB=\sqrt{4a^2+4a^2}=2\sqrt2a;

QP=\frac{EB}{2}=\sqrt2a;

QF=PF=\sqrt{a^2+4a^2}=a\sqrt5;

\ h_{\bigtriangleup Q F P}=\sqrt{5a^2-\frac{2a^2}{4}}=\frac{a3\sqrt2}{2};

V=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{a3\sqrt2}{2}\cdot\sqrt2a\cdot a\sqrt3=\frac{a^3\sqrt3}{2}

26. Printr-una din laturile bazei unei piramide triunghiulare regulate cu inaltimea h=4\sqrt3 cm si latura bazei 5 cm, se duce planul perpendicular pe muchia opusa. Sa se calculeze aria sectiunii obtinute.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 79

AN=\sqrt{25-\frac{25}{4}}= \frac{5\sqrt3}{2};

AO=\frac{2}{3}\cdot\frac{5\sqrt3}{2}=\frac{5\sqrt3}{3};

AV=VC=VB=\sqrt{48+\frac{25}{3}}=\frac{13\sqrt3}{3};

V_{VABC}=\frac{1}{3}\cdot4\sqrt3\cdot\frac{25\sqrt3}{4}=

V_{AMBC}+V_{VMCB}= \frac{1}{3}\cdot AM\cdot S+\frac{1}{3}\cdot MV\cdot S=

\frac{1}{3}\cdot S\cdot\frac{13\sqrt3}{3}=>

75=S\cdot\frac{13}{\sqrt3}=>S=\frac{75\sqrt3}{13}

27. Fetele unei piramide triunghiulare regulate sunt triunghiuri isoscele de baza 4 si unghi la varf 30°. Sa se exprime volumul piramidei, cu ajutorul unor functii trigonometrice ale unghiului de 15°.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 80

BM=2\sqrt3;MO=\frac{2\sqrt3}{3};

VM=2\cdot ctg\ 15;

OV=\sqrt{\frac{4}{3}+4\cdot c t g\ 15^{\circ}}=\frac{2}{\sqrt3}\sqrt{1+ctg\ 15^{\circ}}=>

V=\frac{1}{3}\cdot\frac{16\sqrt3}{4}\cdot\frac{2}{\sqrt3}\sqrt{1+ctg\ 15^{\circ}}= \frac{8}{3}\sqrt{1+ctg\ 15}^{\circ}

28. Fie OABC o piramida triunghiulara cu muchiile OA, OB, OC perpendiculare, doua cate doua si OA=30 cm, OB=40 cm, OC=70 cm. Sa se afle distanta de la varful O la planul ABC.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 81

AB=\sqrt{900+1600}=50;

OM\bot AB;CO\bot OM=> CM\bot AB;OM=24;

CM=\sqrt{4900+576}=\sqrt{5476}

BC=\sqrt{1600+4900}=\sqrt{6500}=10\sqrt{65};

AC=\sqrt{900+4900}=\sqrt{5700}=10\sqrt{57};

V=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot30\cdot40\cdot70= \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\ 50\cdot\sqrt{5476}\cdot h=>

h=\frac{120\cdot70}{5\cdot\sqrt{5476}}=\frac{840}{\sqrt{1369}}=\frac{840}{37}

29. Fie SABC un tetraedru regulat si M mijlocul muchiei SC.

  1. Sa se demonstreze ca dreapta SC este perpendiculara pe planul MAB.
  2. Sa se afle raportul dintre volumele piramidelor SABM si MABC.
  3. Sa se arate ca ariile totale ale acestor piramide sunt egale.
  4. Ce pozitie trebuie sa aiba punctul M pe SC, pentru ca aria triunghiului ABM sa fie minima.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 82

SM=MC => AM⊥SC (⊿SAC); BM⊥SC (⊿SBC); => SC⊥(AMB);

\frac{V_{SABM}}{V_{MABC}}=\frac{\frac{1}{3}\cdot S_{AMB}\cdot S M}{\frac{1}{3}\cdot S_{AMB}\cdot C M}=1;

S_{SAMB}=S_{AMB}+S_{SAM}+S_{SBM}+S_{SAB}=

S_{AMB}+\frac{1}{2}\cdot SM\cdot AM+\frac{1}{2}\cdot SM\cdot BM+\frac{a^2\sqrt3}{4}=

S_{AMB}+S_{AMC}+S_{MBC}+S_{ABC}=S_{MABC}

Pozitia din problema deoarece AB este constanta iar cea mai scurta distanta de la un punct la o dreapta este perpendiculara, deci AM⊥SC; BM⊥SC .

30. *Sectionand partea superioara a unui acoperis, se obtine un corp ca in figura 14.9 cu dimensiunile de acolo (bazele sunt dreptunghiuri, iar fetele laterale trapeze isoscele). Prelungind AA’, DD’ si BB’, CC’, pana se intalnesc, sa se gaseasca volumul acoperisului din care provine aceasta sectiune.

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 83
fig. 14 9

Rezolvare:

AA’∩DD’={M}; BB’⋂CC’={N};

(APQ)⊥(ABC); AD∥(APQ); (NLR)⊥(ABC);

AD∥(NLR); ⊿D’MA’∼⊿DMA;

\frac{D^\prime A^\prime}{AD}=\frac{MA^\prime}{MA}=\frac{1}{3}=\frac{MA^\prime}{MA^\prime+a}

=>MA^\prime=\frac{a}{2};MA=\frac{3a}{2}

h_{A^\prime B^\prime B A}=TQ=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt3}{2};

\frac{MT}{MQ}=\frac{1}{3};\frac{MT}{MT+TQ}=\frac{1}{3}=>

MT=\frac{TQ}{2}=\frac{a\sqrt3}{4};\ MQ=\frac{3\sqrt3\cdot a}{4};

H_{DMPQA}=\sqrt{\frac{27a^2}{16}-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{23a^2}{16}}=\frac{a}{4}\sqrt{23};

AQ=\sqrt{\frac{9a^2}{4}-\frac{27a^2}{16}}=\frac{3a}{4}

V_{acoperis}=2\cdot\frac{1}{3}\cdot H_{DMPQA}\cdot S_{AQPD}+V_{PQRLNM}=

2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{a}{4}\sqrt{23}\cdot\frac{3a}{4}\cdot a+\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{4}\sqrt{23}\cdot a\cdot \left(2a-\frac{3a}{2}\right)=\frac{3a^3\sqrt{23}}{16}

31. *In figura 14.10 este reprezentat un cort, cu baza un dreptunghi, doua fete triunghiuri echilaterale si doua fete trapeze isoscele. Sa se determine volumul cortului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 84

(EMN)⊥(ABCD); MN∥AD; (QFP)⊥((ABCD); QP∥BC;

EF=NP=4; AN=BP=\frac{AB-EF}{2}=\frac{3}{2};

EN=FP=\sqrt{9-\frac{9}{4}}=\frac{3\sqrt3}{2};

h_{ENADM}=\sqrt{\frac{27}{4}-\frac{9}{4}}= \frac{3\sqrt2}{2}

V=\frac{1}{3}\cdot2\cdot\frac{3}{2}\cdot3\cdot\frac{3\sqrt2}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{3\sqrt2}{2}\cdot3\cdot4 =\frac{27\sqrt2}{2}

32. Pe un cub ABCDA’B’C’D’ cu muchia DC = a se aseaa o piramida regulata VABCD, cu toate fetele triunghiuri echilaterale (14.11).

  1. Sa se determine volumul corpului obtinut.
  2. Sa se arate ca AV⊥VC.
  3. Daca nu se cunoaste latura a ci numai lungimea segmentului VA’=3\sqrt{2+\sqrt2} metri, sa se gaseasca lungimea laturii a.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 85
fig. 14 11

BD=a\sqrt2; VO=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt2}{2};

V=a^3+\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot\frac{a\sqrt2}{2}=a^3\cdot(1+\frac{\sqrt2}{6})

{AC}^2=2a^2={AV}^2+{VC}^2=>AV\bot VC

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 86

{VO^\prime}^2={VA^\prime}^2-{A^\prime O^\prime}^2=

9\cdot\left(2+\sqrt2\right)-\frac{a^2}{2}= a^2\left(1+\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 =>a^2\left(1+\frac{1}{2}+\sqrt2+\frac{1}{2}\right)= 18+9\sqrt2;

a^2=\frac{18+9\sqrt2}{2+\sqrt2}=9=>a=3

33. Se da o prisma triunghiulara ABCA’B’C’ de volum 8 m2. Fie M mijlocul muchiei laterale BB’. Sa se afle volumul piramidei MACC’A’.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 87

MC=MC’=MA=MA’=\sqrt{\frac{{BB^\prime}^2}{4}+l^2};

V_{ABCA^\prime B^\prime C^\prime}=\frac{l^2\sqrt3}{4}\cdot H=8=>

l^2H=\frac{32\sqrt3}{3};

MO=\sqrt{\frac{H^2}{4}+l^2-\frac{H^2+l^2}{4}}=\frac{l\sqrt3}{2};

\ V_{MAA\prime C\prime C}=\frac{1}{3}\cdot H\cdot l\cdot\frac{l\sqrt3}{2}=

\frac{1}{3}\cdot\frac{32\sqrt3}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{16}{3}

34. O piramida regulata VABCD are latura bazei AB = 4 cm si apotema piramidei egala cu 2,5 cm. Fie A’, B’, C’ D’ mijloacele muchiilor laterale VA, VB, VC, VD (in aceasta ordine) si fie N un punct oarecare in planul bazei. Sa se afle volumul piramidei NA’B’C’D’.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 88

VO=\sqrt{\frac{25}{4}-4}=\frac{3}{2};

A^\prime B^\prime=B^\prime C^\prime=C^\prime D^\prime=A^\prime D^\prime=\frac{4}{2}=2\\ (linii mijlocii);

distanta de la planul ABCD la planul A’B’C’D’ este constanta si este

OO^\prime=\frac{VO}{2}=\frac{3}{4};

V_{NA\prime B\prime C\prime D\prime}=\frac{1}{3}\cdot4\cdot\frac{3}{4}=1

35. Intr-o cutie cubica cu capacul ABCD si muchia AB = 2 dm, punem o piramida regulata VA’B’C’D’ unde A’B’C’D’ este cealalta baza a cubului. Dar capaul ABCD nu se mai inchide. El face un unghi de 45° cu planul bazei.

  1. Care este volumul piramidei?
  2. Sa se gaseasca sinusul unghiului plan al diedrului format de o fata laterala a piramidei cu baza acesteia.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 89

MA=MB=ND=NC=PQ=PR=1;

m(∢PMN)=45°=> VO^\prime=MO^\prime=1;

VO=VO^\prime+OO^\prime=3;

V=\frac{1}{3}\cdot4\cdot3=4\ {dm}^3

sin{VTO}=\frac{VO}{VT}; VT=\sqrt{1+9}=\sqrt{10};

sin{VTO}=\frac{3\sqrt{10}}{10}

36. Daca desfasuram suprafata laterala a unei piramide triunghiulare regulate, obtinem figura 4.12. Stiind ca latura bazei este BC = 10 dm, sa se afle aria si volumul piramidei (VA, VA’ sunt in prelungire).

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 90

Rezolvare:

CM=VM=\sqrt{100-25}=5\sqrt3;

OM=\frac{5\sqrt3}{3};

VO=\sqrt{75-25}=5\sqrt2;

V=\frac{1}{3}\cdot100\cdot\frac{\sqrt3}{4}\cdot5\sqrt2=\frac{125\sqrt6}{3}{\ dm}^3;

A=4\cdot100\cdot\frac{\sqrt3}{4}=100\sqrt3\ {dm}^2

37. Se da o piramida patrulatera regulata cu varful V si baza ABCD (VA≡VB≡CV≡DV,VA=a) si unghiurile de la varf le fetelor laterale de 30°. O furnica porneste din varful A si merge pe toate fetele laterale, in linie dreapta, pana revine in punctul A. Se noteaza cu B’, C’, D’ punctele unde furnica traverseaza respectiv muchiile VB, VC si VD. Se cere:

  1. Sa se desfasoare pe un plan suprafata laterala a piramidei si sa se traseze pe ea drumul furnicii.
  2. Cand este drumul acesta cel mai scurt si in acest caz sa se calculeze lungimea lui.
  3. Unghiurile sub care drumul furnicii taie muchiile laterale.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 91

Cel mai scurt drum este cel drept, care uneste A cu A’; ⊿AVA’ este isoscel;

m(∢VAA’ )=m(∢VA’A)=30°; VC’ bisectoare si mediatoare;

\sin{60}=\frac{AC^\prime}{VA}=\frac{\sqrt{3\ }}{2}=\frac{AC^\prime}{a}=>AA^\prime=a\sqrt3;

m(∢VB’A’)=m(∢VD’A)=60°

38. Sa se arate ca perpendicularele pe fetele unui tetraedru, in centrele cercurilor circumscrise acestor fete, sunt concurente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Piramida 92

MO⊥(VAB)=>MB=MV=MA;

MO’⊥(ABC)=>MB=MC=MA=>

MC=MV=MA=MB=>MO”⊥(VAC); MO”’⊥(VBC)

Probleme: Volumul prismei triunghiulare

1. O prisma dreapta are ca baza un triunghi echilateral cu latura de 6 cm. Stiind ca aria laterala a prismei este de 288 cm2, sa se afle volumul prismei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 93

A_l=3\cdot AB\cdot h= 18\cdot h=288=>h=16;

V=16\cdot A_{ABC}= 16\cdot\frac{36\sqrt3}{4}=144\sqrt3

2. O prisma are baza un paralelogram cu dimensiunile de 6 cm si 8 cm si unghiul ascutit egal cu 60°. Stiind ca inaltimea prismei este de 10 cm, sa se afle volumul prismei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 94

DE=\frac{\sqrt3}{2}\cdot6=3\sqrt3;

V=8\cdot3\sqrt3\cdot10=240\sqrt3

3. O prisma hexagonala regulata are aria totala de 224\sqrt3\ m^2 si cea laterala de \ 200\sqrt3\ m^2. Sa se calculeze volumul prismei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 95

A_B=\frac{A_T-A_L}{2}= 12\sqrt3=\frac{3\sqrt3}{2}\cdot l^2 =>l=2\sqrt2;

AA^\prime=\frac{200\sqrt3}{6}\cdot\frac{1}{2\sqrt2}= \frac{25}{3}\sqrt6;

V=12\sqrt3\cdot\frac{25}{3}\sqrt6=300\sqrt2

4. O prisma triunghiulara are ca baza un triunghi dreptunghic cu catetele de 5 m si 12 m. Muchiile laterale sunt egale cu 6 m si fac cu planul bazei unghiuri de 45°. Sa se afle volumul prismei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 96

Ducem inaltimea prismei din A’. Se va forma un triunghi dreptunghic isoscel (avand un unghi de 45°) cu ipotenuza AA’. Aplicand teorema lui Pitagora, obtinem:

2\cdot h^2=36=>h=3\sqrt2;

V=\frac{5\cdot12}{2}\cdot3\sqrt2=90\sqrt2

5*. O prisma dreapta are ca baza un patrat de latura a. Stiind ca diagonala prismei formeaza cu o fata laterala ce porneste din acelasi varf un unghi de 30°, sa se afle volumul prismei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 97

A^\prime C=2\cdot BC=2a;

{A^\prime C}^2=a^2+a^2+h^2=4a^2=>

h=a\sqrt2;

V=a^3\sqrt2

6. Baza unei prisme oblice este patrulaterul ABCD in care diagonalele sunt perpendiculare intre ele. Sectiunea diagonala AA’C’C este perpendiculara pe planul bazei si are aria egala cu a2, iar diagonala BD=b. Sa se afle volumul prismei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 98

(AA’C’C)⊥(ABCD)=>AA’⊥(ABCD), deci este inaltime.

S_{AA^\prime C^\prime C}=AA^\prime\cdot AC= H\cdot AC=a^2; AC\bot BD;

\ S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}= \frac{1}{2}\cdot BD\cdot AC= \frac{b}{2}\cdot AC;

V=S_{ABCD}\cdot H= \frac{b}{2}\cdot AC\cdot H= \frac{a^2b}{2}

7. Se considera paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’cu dimensiunile AB = 16 cm, BC = 12 cmsi AA’ = 3,2 cm. Pe muchia AB se ia AI = 4 cm, iar pe muchia AD se ia AL = 3 cm si se sectioneaza paralelipipedul cu planul A’IL. Se cere:

  1. volumul poliedrului ramas dupa inlaturarea tetraedrului A’AIL;
  2. aria totala a poliedrului ramas.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 99

V=V_{ABCDA\prime B\prime C\prime D\prime}-V_{A^\prime A I L}=

16\cdot12\cdot\frac{32}{10}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot3\cdot4\cdot\frac{32}{10}= \frac{16}{5}\cdot190=608

A=A_{A^\prime B^\prime B I}+A_{BB^\prime C^\prime C}+A_{CC^\prime D^\prime D}+ A_{LDD^\prime A^\prime}+A_{A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime}+A_{LIBCD} =

\left(A_{AA^\prime B^\prime B}-A_{ALA\prime}\right)+ \left(12\cdot3,2\right)+\left(16\cdot3,2\right)+ \left(A_{ADD^\prime A^\prime}-A_{LAA^\prime}\right)+

\left(16\cdot12\right)+(A_{ABCD}-A_{AIL)}=

 16\cdot3,2-\frac{1}{2}\cdot3,2\cdot4+ 38\cdot3,2+3,2\cdot12-\frac{1}{2}\cdot3,2\cdot3+

16\cdot12+16\cdot12-\frac{1}{2}\cdot3\cdot4=

 3,2\cdot64-1,6\cdot3+16\cdot24=584

8. O prisma patrulatera regulata ABCDA’B’C’D’ are diagonala de 13 cm si raza cercului circumscris bazei de 6 cm. Sa se afle volumul prismei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 100

DD^\prime=\sqrt{169-144}=5;

\ A_{ABCD}=2\cdot\frac{1}{2}\cdot6\cdot12=72;

V=72\cdot5=360\ {cm}^3

9. In figura 13.8 este desenata o prisma hexagonala regulata dreapta. Stiind ca EB’ = 26 cm si apotema bazei OP=\frac{5\sqrt3}{2}\ cm, sa se determine volumul si aria laterala a prismei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 101
fig. 13 8

⊿BOC este echilateral =>

OP=\frac{\sqrt3}{2}\cdot OB= \frac{5\sqrt3}{2}=>OB=5;

B^\prime B=\sqrt{{26}^2-100}=24;

V=6\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{5\sqrt3}{2}\cdot5\cdot24= 900\sqrt3\ {cm}^3;

A=6\cdot5\cdot24=720\ {cm}^2

10. In figura 13.8, care reprezinta o prisma hexagonala regulata dreapta, se cunosc AB = 6 cm si F’D = 12 cm. Sa se calculeze aria totala si volumul prismei.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 102
fig. 13 8

FM=\frac{\sqrt3}{2}\cdot FE=3\sqrt3=>

FD=6\sqrt3;

F^\prime F=\sqrt{144-108}=6;

A=2\cdot\frac{1}{2}\cdot3\cdot\sqrt3\cdot36+36\cdot6= 108\cdot(2+\sqrt3)

V=3\cdot\sqrt3\cdot36\cdot\frac{1}{2}\cdot6=324\sqrt3

11. O prisma oblica are bazele hexagonale regulate ABCDEF si A’B’C’D’E’F’ si ca inaltime A’O, O fiind centrul bazei ABCDEF. Daca latura hexagonului este de 4 cm si m(∢AA’O)=60°, sa se calculeze:

  1. volumul prismei;
  2. unghiul fetei ABB’A’ cu planul bazei. (Valoarea unei functii trigonometrice a acestui unghi).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 103

A^\prime O=\frac{2}{\sqrt3}\cdot AO=\frac{4\sqrt3}{3};

V=\frac{3\sqrt3}{2}\cdot16\cdot\frac{48\sqrt3}{3}=96

OG=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt3;

tg\ \sphericalangle A^\prime GO=\frac{A^\prime O}{GO}=\frac{4\sqrt3}{3}\cdot \frac{1}{2\sqrt3}=\frac{2}{3}

12. Pe o masa se gaseste o vaza plina cu apa, avand forma unui paralelipiped dreptunghic, cu baza un patrat de latura 8 cm si inaltimea egala cu 12 cm. Se inclina vasul, astfel incat una din muchiile bazei sa ramana pe masa, pana cand portiunile neudate ale muchiilor au lungimea de 4 cm. Dupa aceasta vasul revine in pozitia intitiala. La ce inaltime se ridica apa ramasa?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 104

V_{Ramas}=V_{ABCDA^\prime B^\prime C^\prime D^\prime}-V_{MA^\prime B^\prime C^\prime D^\prime N}=

8\cdot8\cdot12-4\cdot8\cdot12\cdot\frac{1}{3}=640;

8∙8∙h=640=>h=10 cm

13*. Un tetraedru are fetele laterale triunghiuri isoscele cu unghiurile de la varful comun format de laturile congruente de 30° si muchia laterala a. Sa se afle volumul tetraedrului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 105

⊿AVB≡⊿AVC≡⊿CVB (L.U.L)=>AB=BC=AC

VO⊥(ABC);OM⊥BC=>VM⊥BC;m(∢MVB)=15°;

BM=a\cdot\sin{15}^{\circ}; BC=2\cdot a\cdot\sin{15}^{\circ};

VM=\sqrt{a^2-a^2\cdot\sin^2{15}}

AM=\sqrt3\cdot a\cdot\sin{15}^{\circ};

OM=\frac{1}{3}\cdot\sqrt3\cdot a\cdot\sin{15}^{\circ};

VO=\sqrt{a^2-a^2\cdot\sin^2{15}-3\cdot a^2\cdot\sin^2{15}}= \sqrt{a^2-{4\cdot a}^2\cdot\sin^2{15}};

V=\frac{\sqrt3}{4}\cdot a^3\cdot \sin^2{15}\cdot\sqrt{1-4\cdot\sin^2{15}}

14.* Un paralelipiped are toate muchiile egale cu a si toate fetele sunt romburi, avand un unghi ascutit de 60°. Sa se calculeze volumul paralelipipedului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 106

B’M⊥(ABCD); MN⊥AB; MP⊥BC => B’N⊥AB; B’P⊥BC;

B^\prime N=\frac{a\sqrt3}{2}; NB=\frac{a}{2};BM=2MN;

\ 4{MN}^2={MN}^2+\frac{a^2}{4}

=>MN=\frac{a\sqrt3}{6};

 B^\prime M=\sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{12}}= \frac{a\sqrt6}{3};

V=\frac{a^3\sqrt2}{2}

15. In cubul ABCDA’B’C’D’ de muchie a, O este centrul sau, O1 cel al fetei ABCD, O2, cel al fetei BB’C’C, O3 al fetei CDD’C’, M mijlocul lui DC, N mijlocul lui CC’, P al lui CB. Dupa inlaturarea cubului, O1PCMOO2NO3 cum s-a modificat aria corpului ramas fata de aria totala a cubului. Dar volumul?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 107

A_{modificata}=A_{totala}-S_{PO_2NC} -S_{O_1PCM}-S_{O_3NCM}+ S_{O_3MO_1O}+S_{O_2PO_1O}+ S_{O_1MO_3O}=A_{totala};

V_{modificat}=V_{total}-\frac{a^3}{8}

16. In cubul ABCDA’B’C’D’, M este mijlocul muchiei AD, iar N este mijlocul muchiei CD. Stiind ca MN=5\sqrt2\ m, sa se afle volumul si aria totala a cubului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 108

MN este linie mijlocie in ⊿ADC=> AC=2\cdot MN=10\sqrt2=>

AB=\sqrt{100}=10; \ A=600\ {cm}^2; V=1000\ {cm}^3

17. In cubul ABCDA’B’C’D’, N este mijlocul muchiei C’B’. Segmentul AN=3 dm. Sa se afle aria totala si volumul cubului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 109

Ducem NP∥BB’ => BP=B’N =\frac{a}{2}=>

{AP}^2={BP}^2+{AB}^2= a^2+\frac{a^2}{4}=\frac{5a^2}{4}=>

{NP}^2+{AP}^2={AN}^2=> a^2+\frac{5a^2}{4}=9=> 9a^2=36=>a=2;

A=24\ {dm}^2;V=8\ {dm}^3

18. Suma tuturor muchiilor unui paralelipiped dreptunghic este de 48 m, iar diagonala de 5\sqrt2 m. Sa se afle aria totala a paralelipipedului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 110

4\cdot\left(a+b+h\right)=48

=>a+b+h=12=>

 a^2+b^2+h^2+2ab+2ah+2bh=144

a^2+b^2+h^2=50=> 2ab+2ah+2bh=94

A=2ah+2bh+2ab=94

19. O prisma dreapta cu baza un trapez oarecare ABCD, cu AB∥CD, AB=25 cm, CD=8 cm, BC=13 cm si inaltimea de 5 cm, este sectionata cu doua plane paralele ce trec prin D si C si sunt perpendiculare pe CD. Sa se calculeze volumele si ariile corpurilor formate, stiind ca inaltimea prismei este de 10 cm.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Volumul prismei triunghiulare 111

CN\bot NB=> CN=\sqrt{169-25}= \sqrt{144}=12;

A_{NBCC^\prime Q B^\prime}= \frac{1}{2}\cdot5\cdot12\cdot2+13\cdot10+5\cdot10+12\cdot10= 360\ {cm}^2;

V_{NBCC^\prime Q B^\prime}= \frac{1}{2}\cdot NC\cdot NB\cdot QN= \frac{1}{2}\cdot5\cdot12\cdot10=300\ {cm}^3;

A_{MNCDD^\prime C^\prime Q P}= 2\cdot8\cdot10+2\cdot5\cdot10+2\cdot8\cdot5= 340\ {cm}^2;

V_{MNCDD^\prime C^\prime Q P}= 8\cdot5\cdot10=400\ {cm}^3;

AM=25-12-8=5; AD=5\sqrt2

A_{AMDD^\prime A^\prime P}= \frac{1}{2}\cdot2\cdot5\cdot5+10\cdot5+10\cdot5+10\cdot5\sqrt2= 125+50\sqrt2\ {cm}^2;

V_{AMDD^\prime A^\prime P}= \frac{1}{2}\cdot5\cdot5\cdot10=125\ {cm}^3

Probleme: Paralelipipedul dreptunghic

1. Un paralelipiped dreptunghic ABCDA’B’C’D’ are dimensiunile AB = 3 cm, BC = 4 cm si AA’ = 12 cm. Sa se calculeze:

  1. Lungimea diagonalei sale.
  2. Distanta de la punctul C la dreapta AC’.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 112

{AC^\prime}^2=144+16+9=169 =>AC^\prime=13;

CM\bot DC; MN\bot AC^\prime =>CN\bot AC^\prime;

 C^\prime D=\sqrt{9+144}=3\sqrt{17};

\ AC=5;

CM=\frac{AC\cdot C C^\prime}{\sqrt{{AC}^2+{CC^\prime}^2}}= \frac{60}{\sqrt{15+144}}=\frac{60}{13}

2. Un paralelipiped drept ABCDA’B’C’D’ are baza ABCD un romb cu latura de 8 cm si unghiul A de 120°. Stiind ca muchia laterala a paralelipipedului este de 6 cm, sa se calculeze:

  1. Aria laterala a paralelipipedului;
  2. Lungimea segmentelor A’C si BD’.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 113

A=4∙6∙8=192 cm2

AC⊥BD; m(∢ABD)=60°

BD=2\cdot\frac{1}{2}\cdot AB=8; AC=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot8= 8\sqrt3

A^\prime C=\sqrt{36+192}= \sqrt{228}=2\sqrt{57}; BD^\prime=\sqrt{36+64}=10

3. Un cub are muchia a. Sa se afle distantele de la varfurile sale la o diagonala.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 114

AD^\prime=BC^\prime= A^\prime B=CD\prime=a\sqrt2; BD^\prime=a\sqrt3;

AP=C\prime N=A^\prime M= CQ=\frac{AD^\prime\cdot A B}{BD^\prime}= \frac{a^2\sqrt2}{a\sqrt3}=\frac{a\sqrt6}{3};

4. Un paralelipiped drept are laturile bazei de 6 cm si 10 cm si unghiul dintre ele de 60°, stiind ca inaltimea paralelipipedului este de 12 cm, sa se afle aria sa totala.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 115

DM=\frac{\sqrt3}{2}\cdot6=3\sqrt3;

S=2\cdot12\cdot10+2\cdot12\cdot6+ 2\cdot2\cdot\frac{1}{2}\cdot3\sqrt3\cdot10= 384+60\sqrt3

5. Fie ABCDA’B’C’D’ un cub (figura 12.7).

  1. Dintre planele determinate de punctele din figura, sa se indice unul care este perpendicular pe muchia AB.
  2. Sa se indice o dreapta determinata de punctele din figura, perpendiculara pe dreapta AC’.
Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 116
fig. 12 7

Rezolvare:

BC⊥AB; B’B⊥AB => (BB’C’C)⊥AB

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 117

CC’⊥DC; CC’⊥BC => CC’⊥(ABCD) => CC’⊥BD;

BD⊥AC; AC⊂(ACC’) => BD⊥(ACC’) => BD⊥AC’

6. Sa se demonstreze ca intr-un cub ABCDA’B’C’D’ perpendiculara din D pe diagonala AC’ o intersecteaza pe aceasta intr-un punct Q, astfel incat \frac{AQ}{AC\prime}=\frac{1}{3}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 118

AC=DC=a\sqrt2;

AC^\prime=a\sqrt3; DQ=\frac{a\sqrt6}{3};

AQ=\frac{a\sqrt3}{3}=>\frac{AQ}{AC}=\frac{1}{3}

7. Fie ABCDA’B’C’D’ un paralelipiped dreptunghic cu AB = 9 cm, AD = 15 cm si AA’ = 20 cm. Se cere distanta lui B’ la diagonala AD’.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 119

A^\prime D^\prime=\sqrt{400+225}=25;

A^\prime M=\frac{20\cdot15}{25}=12;

B^\prime A^\prime\bot A^\prime M =>BM^\prime=\sqrt{144+81}=15

8. Un paralelipiped ABCDA’B’C’D’ are baza ABCD un patrat. Muchiile laterale formeaza cu planul bazei unghiuri de 30°, iar planele AA’B si DD’C’ sunt perpendiculare pe planul bazei. Cunoscand ca AB = 4 cm si AA’ = 6 cm, sa se calculeze aria totala a paralelipipedului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 120

A^\prime M=\frac{6}{2}=3;

S=2\cdot S_{A\prime A B B\prime}+ 2\cdot S_{B\prime B C C\prime}\cdot2\cdot S_{ABCD}=

2\cdot\frac{1}{2}\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot6\cdot4+2\cdot4\cdot4=104\ {cm}^2

 

9. Fie ABCA’B’C’ o prisma dreapta, cu baza ABC un triunghi dreptunghic in A, cu AB = 15 cm, AC = 20 cm si AA’ = 30 cm. Fie M mijlocul lui CC’. Sa se determine forma si perimetrul sectiunii prismei cu planul determinat de punctele A’, M, B.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 121

BC=\sqrt{400+225}=25; BM=\sqrt{225+625}=5\sqrt{34};

BA^\prime=\sqrt{900+225}=15\sqrt5; A^\prime M=\sqrt{400+225}=25;

P=\ 5\sqrt{34}+15\sqrt5+25

Un triunghi.

10. Intr-un paralelipiped dreptunghic ABCDA’B’C’D’, cu baza ABCD un patrat, inaltimea este de 3 cm, iar dreptunghiul ABB’A’ are aria de 21 cm2. Sa se afle dimensiunile paralelipipedului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 122

AB=\frac{21}{3}=7,\ AA^\prime=3

11. Se da un paralelipiped drept cu baza un romb, in care se cunosc: inaltimea h, latura a a rombului, precum si un unghi ascutit θ, al rombului. Sa se calculeze, in functie de a, h, θ, diagonalele paralelipipedului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 123

AO=\cos{\frac{\theta}{2}}\cdot a =>AC=2a\cos{\frac{\theta}{2}}; OB=\sin{\frac{\theta}{2}}\cdot a=>DB=2a\sin{\frac{\theta}{2}}; AC^\prime=\sqrt{h^2+4a^2\cos^2{\frac{\theta}{2}}}; BD^\prime=\sqrt{h^2+4a^2\sin^2{\frac{\theta}{2}}}

12. Sa se determine, in cuburile din figura 8, sectiunile determinate de planele ce trec prin punctele M, N, P.

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 124
fig. 12 8

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 125

13. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile proportionale cu numerele 2, 3,5. Stiind ca diagonala paralelipipedului este de 2\sqrt{38} cm, sa se afle dimensiunile paralelipipedului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 126

a^2+b^2+c^2=152;  \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=k; 4k^2+9k^2+25k^2=38k^2=152 =>k^2=4=> k=2;a=4;b=12;c=10

14. Pe planul triunghiului dreptunghic isoscel ABC, (AB≡AC;AB=a), ducem perpendiculara AA’ = a. Din A’ ducem un segment A^\prime D=a\sqrt2, perpendicular pe AA’. Daca BD este perpendiculara pe AB si daca D este de aceeasi parte a planului AA’B ca si C, atunci triunghiul DBC este echilateral.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Paralelipipedul dreptunghic 127

DA\bot AA^\prime =>AD=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt3;

BD\bot AB =>BD=\sqrt{3a^2-a^2}=a\sqrt2\ (1);

BC=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2\ (2);

Ducem in planul  (ABC), AN∥A’D, AN=A’D=>AA’DNdeptunghi;

DN⊥CN; DN∥AA’; AA’⊥AB=>

CN∥AB => ⊿ANC≡⊿CBA => CN=a;

CD=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2\ (3)

Din  si  => ⊿CDB este echilateral.

Probleme: Tetraedrul

1. Un tetraedrul are baza un triunghi dreptunghic, cu ipotenuza de 10 cm si o cateta de 8 cm. Inaltimea tetraedrului este de 10 cm. Care este volumul sau?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 128

{BC}^2={AB}^2-{AC}^2= 100-64=36 =>BC=6

V_{DABC}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot8\cdot6\cdot10=80\ {cm}^3

2. Tetraedrul VABC are fata ABC un triunghi echilateral cu latura  cm, stiind ca distanta lui V la planul (ABC) este 10 cm, sa se afle volumul tetraedrului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 129

V_{VABC}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot12\cdot8\sqrt3\cdot10= 160\sqrt3\ {cm}^3

3. Un triunghi dreptunghic ABC are catetele AB = 3 m si AC = 4 m. In A se ridica o perpendiculara pe planul triunghiului, pe care se ia un segment AV = 2,4 m. Sa se afle:

  1. volumul tetraedrului VABC.
  2. aria totala a tetraedrului VABC;
  3. unghiul plan al diedrului format de fata VBC si planul triunghiului ABC.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 130

a. V=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot4\cdot3=2\ m^3

b. AM\bot BC=>VM\bot BC; AM=\sqrt{12}=2\sqrt3; VC=\sqrt{16+\frac{144}{25}}= \frac{\sqrt{544}}{5}; VB=\sqrt{9+\frac{144}{25}}= \frac{\sqrt{369}}{5}=> {VM}^2=\frac{544}{25}-{CM}^2= \frac{369}{25}-25-{CM}^2+10CM=> 50CM=\frac{544}{25}-\frac{369}{25}+25= \frac{800}{25}=32=>

CM=\frac{32}{10}= \frac{16}{5}; \ {VM}^2=\frac{544}{25}-\frac{256}{25}= \frac{288}{25}; VM=\frac{12}{5}\sqrt2

A= \frac{1}{2}\cdot\left(2,4\cdot4+2,4\cdot3+3\cdot4+\frac{12}{5}\sqrt2\cdot5\right)= \frac{1}{2}\cdot\left(28,8+12\sqrt2\right)= 14,4+6\sqrt2

c. AM=\frac{144}{25}\cdot2-\frac{144}{25}= \frac{144}{25} =>AM=VA=2,4=>

m(∢VMA)=45°

4. Tetredrul VABC are fata ABC un triunghi isoscel (AB≡AC), iar piciorul perpendicularei din V pe planul (ABC) este punctul A. Stiind ca: AB=AC=5 m, BC=6 m si AV=3 m, sa se calculeze aria totala si volumul tetraedrului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 131

{VC}^2={VA}^2+{AC}^2= 9+25=34=>VC=\sqrt{34}; {VB}^2={AV}^2+{AB}^2=9+25=34 =>VB=\sqrt{34}; S_{VAC}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot5=\frac{15}{2}; S_{VAB}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot5=\frac{15}{2}; S_{ABC}=\sqrt{8\cdot3\cdot3\cdot2}=12; \ S_{BVC}=15;  S_{total}=42\ m^2; V=\frac{1}{3}\cdot3\cdot12=12\ m^3

5. Pe perpendiculara in A pe planul dreptunghiului ABCD se ia punctul M, astfel incat MB=20 cm, MC=5\sqrt{17} cm si MD=13 cm. Se cere:

  1. sa se demonstreze ca triunghiurile MBC si MDC sunt dreptunghice;
  2. sa se calculeze volumul tetraedrului MABC.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 132

c^2+a^2=400; b^2+c^2=169; a^2+b^2+c^2=25\cdot17=425=> b^2=25;b=5; \ a^2=256;a=16; c^2=144;c=12; {MB}^2=400 ={BC}^2+{MC}^2=256+144 =>⊿MBC dreptunghic

{MC}^2=425= {MD}^2+{DC}^2=169+256 =>⊿MDC dreptunghic

V=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot5\cdot16\cdot12=320

6. Tetraedrul VABC are fata ABC un triunghi echilateral, iar distanta lui V la planul ABC este de 8 cm. Stiind ca raza cercului circumscris triunghiului ABC este R=4\sqrt3 cm, sa se afle volumul tetraedrului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 133

AB=AC=BC=R\sqrt3=12;

V=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{4}\cdot12\cdot12\cdot8 =96\sqrt3

7. Intersectand un tetraedru regulat cu un plan ce trece prin mijloacele a trei muchii ce pornesc din acelasi varf, sa se determine si aria sectiunii in functie de latura “a” a tetraedrului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 134

Segmentele care alcatuiesc baza tetraedrului sunt linii mijlocii in triunghiurile laterale, deci ele formeaza un triunghi echilateral cu latura \frac{a}{2}.\ A=\frac{a^2\sqrt3}{16}.

8. Cunoscand latura “a” a unui tetraedru regulat, sa se calculeze aria totala si volumul tetraedrului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 135

Bazandu-ne pe problema anterioara, A=\frac{a^2\sqrt3}{16}\cdot4= \frac{a^2\sqrt3}{4}; a=R\sqrt3=> R=\frac{a}{\sqrt3};

 H=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}= a\sqrt{\frac{2}{3}};

h=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}

 V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt3}{16}\cdot \frac{a}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}= \frac{a^3\sqrt2}{96}

9. Gasiti o desfasurare a unui tetraedru regulat, astfel incat fiecare fata sa aiba cel mult doua laturi comune cu o alta fata. Aratati ca, in acest caz, doua din laturile poligonului obtinut sunt paralele si congruente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 136

Laturile paralele si congruente sunt evidentiate in figura.

10. In figura 10.7 punctele M, N sunt mijloacele muchiile laturilor AB si AD, iar P un punct interior muchiei CD. Sa se determine natura sectiunii determinate in tetraedru, de planul ce trece M, N, P si sa se deseneze aceasta sectiune.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 137

Este un trapez.

11. Fie ABCD un tetraedru si A’, B’, C’, D’, centrele de greutate ale fetelor opuse varfurilor A, B, C, D. Sa se arate ca AA’, BB’, CC’ si DD’ sunt concurente intr-un punct G.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 138

In triunghiul BPC:

 \frac{PC^\prime}{C^\prime B}= \frac{PB^\prime}{B^\prime C}=\frac{1}{2} => C’B’∥BC => ⊿B’C’G∼⊿BCG => \frac{GC^\prime}{GC}=\frac{GB^\prime}{BG}=\frac{1}{2};

In triunghiul AMC:

\frac{MC^\prime}{C^\prime A}=\frac{MA\prime}{A^\prime C}=\frac{1}{2} => A’C’∥BC => ⊿A’C’G∼⊿ACG => \frac{GC^\prime}{GC}=\frac{GA^\prime}{AG}=\frac{1}{2};

In mod similar =>

\frac{GC^\prime}{GC}= \frac{GB^\prime}{BG}= \frac{GA^\prime}{GA}= \frac{GD^\prime}{DG}=\frac{1}{2}=>

Dreptele se intersecteaza intr-un punct aflat la doua treimi de varfuri si o treime de baza.

12. Un triunghi ascutitunghic “se indoaie” de-a lungul liniilor mijlocii pana se obtine un tetraedru. Sa se arate ca o inaltime a tetraedrului obtinut cade in ortocentrul triunghiului initial.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 139

AQ⊥MN; QP⊥BC => AP⊥BC;

(QAP)⊥(MBCN); BN⊥NC; BN⋂QP = {H};

BH ⊂ (MNCB) => AH⊥BH

13. Sa se arate ca perpendicularele in centrele cercurilor circumscrise fetelor unui tetraedru sunt concurente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 140

C’N⊥AD; AN=ND; C’M⊥BD; BM=MD; OC’⊥(ABD)=>

OC’⊥C’M => OM⊥BC => OB=OD;

OC’⊥C’N => ON⊥AD => OD=OA;

OA’⊥(BCD) => OA’⊥A’M; OM⊥BD => A’M⊥BD; BM=MD =>

A’M mediatoarea laturii BD in ⊿BDC;

OB’⊥(ADC) => OB’⊥B’P; OP⊥AC => B’P⊥AC; AP=PC =>

B’P mediatoarea laturii AC in ⊿ADC;

Analog si pt celelalte.

14. Daca intr-un tetraedru cu toate fetele triunghiuri dreptunghice se intalnesc intr-un varf doua unghiuri drepte, atunci mai exista un varf al tetraedrului, in care se intalnesc doua unghiuri drepte.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 141

Fie AB⊥BC; AB⊥BD => AB⊥(BCD); daca BC⊥CD => AC⊥CD (teorema celor trei perpendiculare)

15. Fie OABC un tetraedru astfel incat OA⊥OB⊥OC⊥OA. Sa se arate ca patratul fetei ABC este egal cu suma patratelor ariilor OAB, OAC, OBC.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 142

h^2=a^2+\frac{b^2c^2}{c^2+b^2}; {BC}^2=c^2+b^2; S_{ABC}=\frac{1}{2}{(a}^2+\frac{b^2c^2}{c^2+b^2}){(c}^2+b^2)= \frac{1}{2}\cdot\left(a^2c^2+a^2b^2+b^2c^2\right) = S_{OAC}+S_{OAB}+S_{OBC}

16. Fie ABCD un tetraedru in care AB⊥CD. Sa se arate ca piciorul perpendicularei din A pe planul BCD cade pe inaltimea din B a triunghiului BCD . Daca, in plus, AC⊥BD, atunci AD⊥BC si inaltimile tetraedrului sunt concurente.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Tetraedrul 143

Din B ducem BE, inaltimea triunghiului BCD, (E∈CD). Se demonstreaza ca CD⊥(ABE) si apoi ca (BCD)⊥(ABE), rezultand astfel ca inaltimea din A a tetraedrului cade pe BE.

Fie H piciorul inaltimii din A. Daca, in plus, AC⊥BD, atunci H∈CF (CF fiind inaltimea fetei BCD). Deci DC⊥(DHA) si BC⊥AD.

Laturile opuse ale tetraedrului fiind respectiv perpendiculare, picioarele inaltimilor sunt ortocentrele fetelor.

Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu

1. Un segment AB = 10 cm face cu planul α un unghi de a) 45°; b) 30°; c) 60°. Aflati masura proiectiei segmentului AB pe planul α, in cele trei cazuri.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu 144

Cos ∢ABC  =\frac{BC}{AC}=\cos{45^{\circ}}=\frac{1}{\sqrt2} =>BC=5\sqrt2\ cm;

Cos ∢ABC =\frac{BC}{AC}=\cos{60^{\circ}}=\frac{1}{2} =>BC=5\ cm

Cos ∢ABC =\frac{BC}{AC}=\cos{30^{\circ}}=\frac{\sqrt3}{2} =>BC=5\sqrt3\ cm

2. Triunghiul dreptunghic ABC (m(∢A)=90°) are cateta AB continuta in planul . Proiectia punctului C pe este C’. Sa se demonstreze ca triunghiul ABC’ este dreptunghic.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu 145

{BC}^2={AC}^2+{AB}^2 =>{AB}^2={BC}^2-{AC}^2

{AC}^2={CC^\prime}^2+{AC^\prime}^2 =>{AC^\prime}^2={AC}^2-{CC\prime}^2

{BC}^2={CC^\prime}^2+{C^\prime B}^2 =>{C^\prime B}^2={BC}^2-{CC\prime}^2

=>{C^\prime B}^2={AC^\prime}^2+{BC\prime}^2

=>⊿AC’B este dreptunghic

3. Triunghiul dreptunghic isoscel ABC (m(∢A)=90°) are latura BC continuta in planul α, si se proiecteaza pe acest plan dupa A’BC. Stiind ca m(∢BA’C)=120° si ca BC=a, sa se afle:

  1. Inaltimea A’D (D∈BC) a triunghiului BA’C in functie de a;
  2. Una din functiile trigonometrice ale unghiurilor formate de AB si AC cu planul .

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu 146

AB=AC=b;

2b^2=a^2 =>b=\frac{a\sqrt2}{2};

BA^\prime=A^\prime C  =>\ BD=\frac{a}{2};

m\left(\measuredangle DA^\prime B\right)=60^{\circ};

tg∢DA’B =\frac{DA^\prime}{BD}= \frac{2DA^\prime}{a}= \sqrt3 =>DA^\prime=\frac{a}{2\sqrt3}

{AD}^2={AB}^2-{BD}^2= \frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{8}= \frac{{3a}^2}{8} =>AD=\frac{a\sqrt6}{4};

{AA^\prime}^2= {AD}^2-{DA^\prime}^2= \frac{3a^2}{8}-\frac{a^2}{12} =>AA^\prime=\frac{a}{\sqrt6};

tg∢ABA’ =\frac{AA^\prime}{BA^\prime}= \frac{a}{\sqrt6}\cdot\frac{2}{A}=\frac{\sqrt6}{3}

4. Se da unghiul xOy si un punct M ce nu apartine planului unghiului. Sa se arate ca, daca proiectia lui M pe planul unghiului apartine bisectoarei acestuia, atunci punctul M este egal departat de laturile unghiului xOy.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu 147

Fie MN⊥ON; ∢AON≡∢BON, NA⊥Ox;NB⊥Oy;=>NA≡NB;

MN⊥NA;MN⊥NB=>⊿NMA≡⊿NMB(c.c.)=>MB≡MA

5. Un trapez dreptunghic ABCD (AB∥CD, m(∢A)=90°) are baza AB continuta in planul α. Stiind ca AB=5 cm, CD=2 cm, BC=6 cm, si ca planul trapezului formeaza cu α un unghi egal cu unghiul sau ascutit, se cere:

  1. Sa se arate ca patrulaterul ABC’D’, (C’, D’ – proiectiile lui C si D pe α) este trapez dreptunghic.
  2. Sa se calculeze dimensiunile trapezului ABC’D’.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu 148

a. AD⊥AB, AB⊂α; DD’⊥α, AD’⊂α => DD’⊥AD’ => AD’⊥AB (conform teoremei celor trei perpendiculare);

AB∥DC; AB⊂α => AB∥α; D’C’⊂α => AB∥D’C’

ABC’D’ este trapez dreptunghic.

b. {AD}^2={BC}^2-\left(AB-DC\right)^2= 36-9=27 =>AD=3\sqrt3;

\sin{ \sphericalangle CBA}=\frac{AD}{BC}= \frac{3\sqrt3}{6}= \frac{\sqrt3}{2}=\sin{\sphericalangle D A D^\prime}=\frac{DD^\prime}{AD}= \frac{DD^\prime}{3\sqrt3}=>

DD^\prime=\frac{9}{2}; {AD^\prime}^2= 27-\frac{81}{4}= \frac{27}{4}=>AD^\prime= \frac{3\sqrt3}{2};

D^\prime C^\prime=2; {BC^\prime}^2=\left(AB-D\prime C\prime\right)^2+ {AD^\prime}^2= 9+\frac{27}{4} =>BC^\prime=\frac{3\sqrt7}{2}

6. Un segment AB se proiecteaza pe un plan  dupa A’B’. Stiind ca A^\prime B^\prime=\frac{3}{5}AB, sa se calculeze tangenta unghiului format de segmentul AB cu α.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu 149

Consideram M∈MB, AB≡A’M=>ABMA’ dreptunghi => AB = A’M

In triunghiul dreptunghic A’MB : A^\prime B^\prime=\frac{3}{5}A^\prime M;

{A^\prime M}^2= {MB^\prime}^2+{A^\prime B^\prime}^2 =>MB^\prime= \sqrt{{A^\prime M}^2-\frac{9}{25}{A^\prime M}^2}= \frac{4}{5}A^\prime M=> tgMA^\prime B^\prime= \frac{MB^\prime}{A^\prime B^\prime}= \frac{4}{3}

7. Un triunghi echilateral ABC cu latura de 6 cm se proiecteaza pe un plan α, ce contine punctul A, dupa AB’C’. Se stie ca m(∢B’AC’)=90°, AB si AC fac cu α unghiuri congruente, si ca sunt de aceeasi parte a lui α. Sa se calculeze unghiul format de AB si AC cu α.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu 150

Cos ∢CAC’ =cos ∡BAB’ =\frac{x}{6}=\frac{y}{6} =>x=y;2x^2=36 =>x=3\sqrt2;

Cos ∢CAC’ =cos ∡BAB’ =\frac{\sqrt2}{2}=>

m(∢CAC’)=m(∢BAB’)=45°

8. Doua oblice, care pleaca din acelasi punct exterior unui plan, au lungimile de 20 cm si 16 cm. Proiectia pe plan a primei oblice este de 15 cm. Sa se afle lungimea proiectiei celei de-a doua oblice.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu 151

Ducem un plan paralel cu (ABC) care intersecteaza planul initial in punctele E si F si dreapta AD in G.

{GD}^2={GF}^2-{DF}^2= {GE}^2-{DE}^2 =>400-225=256-{DF}^2=> {DF}^2=81=>DF=9

9. Triunghiul ABC se proiecteaza pe planul , care contine pe BC, dupa triunghiul A’BC. Stiind ca: m(∢BA^’ C)=90°, m(∢ABC)=45°, m(∢BAC)=75° si ca inaltimea AD a triunghiului ABC, (D∈BC) are lungimea a, sa se calculeze:

  1. Segmentele BD si DC in functie de a;
  2. Inaltimea corespunzatoare a laturii BC a triunghiului BA’C;
  3. Cosinusurile unghiurilor formate de AB si AC cu planul α.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu 152

tg∢ABC =\frac{AD}{BD}= \frac{a}{BD}=1 =>BD=a;AB=a\sqrt2;

tg∢ACB =\frac{AD}{CD}= \frac{a}{CD}=\sqrt3 =>CD=\frac{a\sqrt3}{3}\ ; AC=a\sqrt{\frac{2}{3}}

BC=a+\frac{a\sqrt3}{3}

AD⊥BC;AA’⊥AD=>AD⊥BC; {A^\prime D}^2=BD\cdot CD=\frac{a^2\sqrt3}{3};

 {A^\prime C}^2=\frac{a^2\sqrt3}{3}+\frac{a^2}{3}= \frac{a^2}{3}\left(\sqrt3+1\right) =>A^\prime C=\frac{a}{\sqrt3}\sqrt{\sqrt3+1}\ ;

\cos{ACA\prime}=\frac{A^\prime C}{AC}= \frac{a}{\sqrt3}\sqrt{\sqrt3+1}\cdot\frac{1}{a}\sqrt{\frac{3}{2}} =\sqrt{\frac{\sqrt3+1}{2}}

10. Un triunghi dreptunghic ABC (m(∢A)=90°) , cu AB=6 cm, AC=8 cm se proiecteaza pe un plan α dupa A’B’C’. Stiind ca aria triunghiului A’B’C’ este de 12cm2, sa se afle unghiul plan al diedrului format de α cu planul triunghiului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu 153

Ducem prin B’ paralele la laturile triunghiului ABC si reconstruim triunghiul conform figurii.

NM⊥MB’; NM⊥MA’ => NM ⊥ (ABB’A’) deci paralel si congruent cu inaltimea din C’ a triunghiului A’B’C’

Cos ∢MB’A’ =\frac{A^\prime B^\prime}{MB^\prime}= \frac{A^\prime B^\prime\cdot\frac{H}{2}}{MB^\prime\cdot\frac{NM}{2}} =\frac{12}{24}=\frac{1}{2}=>

m(∢MB’A’)=60°

11. Un trapez dreptunghic, cu bazele de 2 cm si \left(2+3\sqrt3\right)cm, are latura oblica de 6 cm. Se proiecteaza acest trapez pe un plan. Acest plan face cu planul trapezului un unghi cat unghiul ascutit al trapezului. Sa se afle aria proiectiei trapezului.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu 154

Ducem un plan paralel cu planul pe care se face proiectia si care sa contina latura AD a trapezului, conform figurii.

∢B’A’M ≡ ∢C’D’N ≡ ∢BCE =>

Cos ∢B’A’M = cos ∢C’D’N = cos ∢BCE =\frac{BE}{BC}=\frac{\sqrt3}{2}=> \frac{A^\prime B^\prime}{2}= \frac{\sqrt3}{2}=>A^\prime B^\prime= \sqrt3; \frac{D^\prime C^\prime}{2+3\sqrt3}= \frac{\sqrt3}{2} =>D^\prime C^\prime=\frac{9+2\sqrt3}{2}

S=\frac{1}{2}\cdot3\cdot\left(\sqrt3+\frac{9+2\sqrt3}{2}\right)= \frac{3}{4}\cdot(4\sqrt3+9)

12. Triunghiul ABC se indoaie de-a lungul liniei mijlocii MN (M∈AB, N∈AC), astfel incat planul triunghiului AMN si cel al trapezului MNCB sa formeze un diedru drept.

  1. Sa se determine unghiul plan al diedrului format de planul trapezului MNCB si cel determinat de punctele A, B, C.
  2. Notand cu S aria triunghiului initial ABC, sa se determine, in functie de S, aria noului triunghi obtinut dupa indoire.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu 155

MA=MB=>m(∢MAB)=m(∢MBA)=\frac{90^{\circ}}{2}=45°

Fie AE⊥BC, AE⋂MN = {D}; AD=DE

S_{ABC\ inainte}=\frac{1}{2}\left(AD+DE\right)\cdot BC= AD\cdot BC;

S_{ABC\ dupa}=\frac{1}{2}\cdot AE\cdot BC;

{AE}^2={AD}^2+{DE}^2=2{AD}^2 =>AE=AD\sqrt2=>

S_{ABC\ dupa}=\frac{\sqrt2}{2}\cdot AD\cdot BC= \frac{\sqrt2}{2}\cdot S_{ABC\ inainte}

13. Un trapez isoscel are baza mica si laturile oblice egale fiecare cu 2a, iar unghiurile ascutite egale cu 60°. Sa se calculeze aria proiectiei acestui trapez pe un plan care face cu planul trapezului un unghi congruent cu unghiul ascutit al diagonalelor.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu 156

⊿DAB este isoscel => m(∢ADB)=m(∢ABD)=30°

⊿ABC este isoscel => m(∢BAC)=m(∢BCA)=30°=>

m(∢DAC)=90°=>m(∢AOD)=60°;cos ∢ADC =\frac{1}{2}=\frac{AD}{AC}=> AC=DB=4a; {DC}^2={AC}^2-{AD}^2 =>DC=2\sqrt3a

Cos ∢BCF =\frac{BF}{BC}=\frac{BF}{2a}=\frac{1}{2} =>BF=a;

⊿ADE≡⊿BCF (i.u)=>AE=BE=>

ABFE dreptunghi => EF=2a;

Inaltimea triunghiului DBC, h=\sqrt{DB\cdot D C}=2\sqrt2a

Inaltimea trapezului EFCD se opune unui unghi de 30° intr-un triunghi dreptunghic de ipotenuza a =>

H\ =\frac{a}{2}; S=\frac{1}{2}\cdot\left(2a+2\sqrt3a\right)\cdot\frac{a}{2}= \frac{a^2}{2}\cdot(1+\sqrt3)

14. Un trapez ABCD, cu baza mare AB, continuta in planul , are raportul bazelor \frac{CD}{AB}=\frac{5}{7}. Stiind ca distanta de la punctul C la planul α este de 24 cm, sa se afle distanta de la punctul O, de intersectie a diagonalelor trapezului, la planul α.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Unghiuri in geometria in spatiu 157

∢BAC≡∢ACD; ∢DBA≡∢BDC=>⊿DOC∼⊿BOA=>

\frac{OC}{OA}=\frac{DC}{AB}=\frac{5}{7}  =>\frac{AC}{OA}=\frac{12}{7}

⊿OAP∼⊿CAQ=> \frac{OA}{AC}=\frac{OP}{CQ}=> \frac{OP}{CQ}=\frac{7}{12}=\frac{OP}{24} =>OP=14

Probleme: Proiectii. Proiectii pe un plan.

1. Trei puncte coliniare A, B, C se proiecteaza pe un plan in A’, B’, C’. Sa se demonstreze ca \frac{AB}{BC}=\frac{A^\prime B^\prime}{B^\prime C^\prime}.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Proiectii. Proiectii pe un plan. 158

Se demonstreaza formarea unor dreptunghiuri sau poriectantele sunt drepte paralele si determina pe secante segmente proportionale.

2. Fie ABC un triunghi si A’B’C’ proiectia lui pe un plan α. Daca sunt mijloacele segmentelor BC, CA, AB, atunci aceste trei puncte se proiecteaza, pe α, in mijloacele segmentelor B’C’, C’A’, A’B’.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Proiectii. Proiectii pe un plan. 159

Proiectantele AA’, BB’, CC’ sunt paralele si deci determina, pe orice secanta, segmente proportionale.

3. Fie a, b doua drepte paralele. Ce puteti spune despre proiectiile lor, a’ si b’, pe un acelasi plan?

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Proiectii. Proiectii pe un plan. 160

Daca planul celor doua drepte paralele este paralel cu planul initial atunci proiectiile vor fi doua drepte paralele, daca este perpendicular pe plan, ele vor genera o singura dreapta, dreapta de intersectie a celor doua planuri.

4. Se proiecteaza un triunghi oarecare ABC pe un plan α in A’B’C’. Sa se demonstreze ca proiectia centrului de greutate G al triunghiului ABC este centrul de greutate G al triunghiului A’B’C’.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Proiectii. Proiectii pe un plan. 161

Medianele triunghiului ABC se proiecteaza pe medianele lui A’B’C’, deci punctul lor de intersectie se va afla in acelasi loc.

5. Triunghiul echilateral ABC (AB = a) are latura BC continuta in planul α, iar A’ este proiectia lui A pe α. Stiind ca m(∢BA’C)=90°, sa se calculeze tg(∢A’BA).

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Proiectii. Proiectii pe un plan. 162

{A^\prime B}^2={A^\prime C}^2= a^2-{AA^\prime}^2=>

⊿BA’C este dreptunghic isoscel =>

A^\prime B=A^\prime C=\frac{a\sqrt2}{2}=> {AA^\prime}^2=a^2-\frac{a^2}{2}=\frac{a\sqrt2}{2}=>

tg(∢A’BA)=\frac{AA^\prime}{BA^\prime}=1

6. Unghiul AOB are masura de 90° si latura OA paralela cu planul α. Daca A’, O, B’ sunt proiectiile punctelor A, O, B pe α, aratati ca m(∢A’O’B’)=90°.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Proiectii. Proiectii pe un plan. 163

Consideram planul β care contine dreapta OA si este paralel cu planul unghiului OAB. Ducem din B perpendiculara BM pe planul β; OM⊥OA conform teoremei celor trei perpendiculare.

OM⊂β; β∥α => OM∥α => OM∥O’B’;

Unghiurile ∢MOA; ∢B’O’A’ sunt unghiuri cu laturile paralele, deci sunt congruente.

7. Triunghiul isoscel ABC (AB≡AC) are punctul B in planul α, iar C si A de aceeasi parte a planului α. Fie A’ si C’ proiectiile punctelor A si C pe α. Stiind ca triunghiurile AA’B si A’BC’ sunt dreptunghice si isoscele (A’B≡BC’; A’B=a), sa se calculeze lungimea segmentului CC’.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Proiectii. Proiectii pe un plan. 164

AB≡AC;  AA’=A’B=BC’=a; AB=a\sqrt2=A\prime C\prime

AA’C’C este dreptunghi => A^\prime C^\prime=AC=a\sqrt2

8. Triunghiul isoscel ABC se proiecteaza pe planul α, ce contine pe BC, dupa triunghiul dreptunghic A’BC. Stiind ca A’B = 4 cm, A’C = 3 cm, sa se calculeze:

  • Cosinusul unghiului ABC;
  • Lungimea laturii necongruente cu celelalte ale triunghiului ABC.

Rezolvare:

Matematica Capacitate Probleme: Proiectii. Proiectii pe un plan. 165

{BC}^2=16+9=25; BC=5; A^\prime M\bot BC; {A\prime M}^2= {A^\prime B}^2-{MB}^2= {A^\prime C}^2-\left(BC-MB\right)^2=> 16-{MB}^2= 9-25-{MB}^2+10\cdot MB =>MB=\frac{32}{10}= \frac{16}{5}; MC=\frac{9}{5}

{AB}^2={AA^\prime}^2+{A^\prime B}^2= 16+{AA^\prime}^2; {AC}^2=9+{AA^\prime}^2

=>AB≠AC;

Daca AB=BC:

\cos{ABC}=\frac{MB}{AB}=\frac{16}{25};

{AC}^2=25+25-50\ \cos{ABC}= 50-\frac{160}{5}=\frac{90}{5}=18=>

AC=3\sqrt2

Daca AC=BC:

{AM}^2=25-\frac{81}{25}=\frac{544}{25}; {AB}^2=\frac{256}{25}+\frac{544}{25}=32=> AB=4\sqrt2

\cos{ABC}=\frac{MB}{AB}= \frac{16}{5}\cdot\frac{1}{4\sqrt2}=\frac{2\sqrt2}{5}