Linia mijlocie in trapez

Linia mijlocie in trapez = segmentul care uneste mijloacele laturilor opuse neparalele ale trapezului.

Matematica Capacitate Linia mijlocie in trapez 1

Proprietăți si teoreme ale liniei mijlocii in trapez
  • Trapezul are o singura linie mijlocie.
  • Linia mijlocie a trapezului este paralela cu bazele acestuia si are lungimea egala cu semisuma lungimilor bazelor, \inline \fn_jvn \large MN=\frac{AB+CD}{2}
  • Daca o dreapta trece prin mijlocul uneia dintre cele doua laturi opuse neparalele ale unui trapez si este paralela cu bazele, atunci acea dreapta include linia mijlocie a trapezului.

Teorema paralelor echidistante = daca mai multe drepte paralele determina pe o secanta segmente congruente, ele vor determina pe orice alta secanta segmente congruente.

Matematica Capacitate Linia mijlocie in trapez 2

Linia mijlocie in triunghi

Linia mijlocie in triunghi = segmentul care uneste mijloacele a doua laturi ale triunghiului.

Matematica Capacitate Linia mijlocie in triunghi 3

Proprietăți si teoreme ale liniei mijlocii in triunghi
  • Intr-un triunghi exista 3 linii mijlocii.
  • Teorema liniei mijlocii in triunghi. Fiecare linie mijlocie a triunghiului este paralela cu cea de-a treia latura si are lungimea egala cu jumatate din lungimea acesteia.
    • MO ∥ AB;[MO]=\inline \fn_jvn \large \frac{AB}{2} ; MN ∥ BC;[MN]=\inline \fn_jvn \large \frac{BC}{2}; NO∥AC;[NO]=\inline \fn_jvn \large \frac{AC}{2}
  • Daca o dreapta trece prin mijlocul unei laturi a unui triunghi si este paralela cu o alta latura a triunghiului, atunci acea dreapta trece si prin mijlocul celei de-a treia laturi.
  • Considerand doua puncte pe laturile unui triunghi, daca dreapta care trece prin ele este paralela cu cea de-a treia latura, iar lungimea segmentului determinat de cele doua puncte este jumatate din lungimea celei de-a treia laturi, atunci aceasta este linie mijlocie in triunghi, iar cele doua puncte sunt mijloacele laturilor carora le apartin.

Teorema lui Thales = O paralelă DE la baza BC a unui triunghi ABC împarte laturile AB și AC în segmente proporționale:\inline \fn_jvn \large \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}

Matematica Capacitate Linia mijlocie in triunghi 4

Reciproca Teoremei lui Thales = Dacă o dreaptă determină pe două din laturile unui triunghi, sau pe prelungirile acestora, segmente proporționale, atunci ea este paralelă cu a treia latură a triunghiului.

Rombul

Rombul = Paralelogramul cu doua laturi consecutive congruente.

Matematica Capacitate Rombul 5

Proprietati si teoreme ale rombului
  • Rombul are urmatoarele proprietati:
    • are toate laturile congruente
    • are unghiurile opuse congruente . ∢DAB ≡ ∢ACB; ∢ABD ≡ ∢ADC;
    • oricare doua unghiuri alaturate sunt suplementare;
    • diagonalele au acelasi mijloc
    • are diagonalele perpendiculare AC ⊥ BD.
  • Teorema: Daca un patrulater convex are toate laturile congruente, atunci patrulaterul este romb.
  • Teorema: Daca un paralelogram are diagonalele perpendiculare, atunci paralelogramul este romb.
  • Fiecare diagonala a unui romb este si bisectoarea unghiurilor opuse ale rombului.
  • Daca una dintre diagonalele unui paralelogram este si bisectoarea unui unghi al paralelogramului, atunci paralelogramul este romb.
  • Rombul are:
    • un centru de simetrie: punctul de intersectie a diagonalelor;
    • doua axe de simetrie: dreptele-suport ale diagonalelor.

Aria rombului = produsul diagonalelor / 2 = latura * inaltime

Perimetrul rombului = suma laturilor

Dreptunghiul

Dreptunghiul = Paralelogramul cu un unghi drept.

Matematica Capacitate Dreptunghiul 6

Proprietati si teoreme ale dreptunghiului
  • Dreptunghiul este urmaroarele proprietati:
    • laturile opuse sunt paralele ;
    • laturile opuse sunt congruente ;
    • are toate unghiurile de 90°;
    • diagonalele au acelasi mijloc
  • Daca un patrulater convex are toate unghiurile congruente, atunci patrulaterul este dreptunghi.
  • Daca un patrulater convex are trei unghiuri drepte, atunci patrulaterul este dreptunghi.
  • Dreptunghiul are diagonalele congruente.
  • Daca un paralelogram are diagonalele congruente, atunci paralelogramul este dreptunghi.
  • Dreptunghiul are:
    • un centru de simetrie: punctul de intersectie a diagonalelor;
    • doua axe de simetrie: mediatoarele laturilor opuse.

Aria dreptunghiului = Lungimea * latimea

Perimetrul dreptunghiului = 2 * (Lungimea + latimea)

Trapezul

Trapezul = Patrulaterul convex cu doua laturi opuse paralele si celelalte doua laturi opuse neparalele. Laturile paralele se numesc baze, iar distanta dintre bazele trapezului se numeste inaltime a trapezului.

Matematica Capacitate Trapezul 7

Proprietati si teoreme ale trapezului
  • Bazele trapezului au lungimi diferite deoarece in caz contrar, avand doua laturi paralele si congruente ar fi paralelogram.
  • Trapezul cu un unghi drept se numeste trapez dreptunghic. Trapezul dreptunghic are doua unghiuri drepte.

Matematica Capacitate Trapezul 8

  • Trapezul cu laturile neparalele congruente se numeste trapez isoscel.
  • Daca un trapez este isoscel, atunci unghiurile alaturate bazei mari sunt unghiuri ascutite iar unghiurile alaturate bazei mici sunt unghiuri obtuze.
  • Daca un trapez este isoscel, atunci unghiurile alaturate bazei mari si cele alaturate bazei mici sunt congruente.
  • Daca un trapez are unghiurile alaturate uneia din baze congruente, atunci trapezul este isoscel.
  • Daca un trapez este isoscel, atunci el are diagonalele congruente.
  • Daca un trapez are diagonalele congruente, atunci trapezul este isoscel.

Aria trapezului = (Baza mare + Baza mica) * Inaltimea / 2

Patratul

Patratul = Paralelogramul cu un unghi drept si cu doua laturi alaturate congruente.

Matematica Capacitate Patratul 9

Proprietati si teoreme ale patratului
  • are toate laturile congruente
  • toate unghiurile sunt unghiuri drepte m(∢DAB) = m(∢ACB) = m(∢ABD) = m(∢ADC) = 90°;
  • diagonalele au acelasi mijloc si sunt congruente
  • diagonalele sunt perpendiculare AC⊥BD.
  • diagonalele sunt si bisectoarele unghiurilor aferente ∢DAC ≡ ∢CAB; ∢ACD ≡ ∢ACB; ∢ABD ≡ ∢DBC; ∢ADB ≡ ∢BDC;
  • patratul are un centru de simetrie (punctul de intersectie a diagonalelor) si patru axe de simetrie (mediatoarele laturilor opuse si dreptele diagonalelor).

Aria patratului = latura 2

Perimetrul patratului = 4 * latura

Paralelogramul

Paralelogram = Patrulaterul cu laturile opuse paralele.

Matematica Capacitate Paralelogramul 10

Proprietati si teoreme ale paralelogramului
  • Paralelogramul are urmatoarele proprietati:
    • Laturile opuse sunt congruente.
    • Unghiurile opuse sunt congruente. ∢DAB≡∢ACB; ∢ABD≡∢ADC
    • Oricare doua unghiuri alaturate sunt suplementare.
    • Diagonalele se injumatatesc.
    • Punctul de intersectie a diagonalelor este centru de simetrie al paralelogramului.
  • Un patrulater convex este paralelogram daca ıindeplineste una din conditiile urmatoare:
    • Are laturile opuse paralele.
    • Are laturile opuse congruente.
    • Are doua laturi opuse paralele si congruente.
    • Are unghiurile opuse congruente.
    • Diagonalele se injumatatesc.

Aria = Baza * Inaltimea ;

Perimetrul paralelogramului = Suma laturilor

Patrulaterul

Patrulater = Fie punctele distincte A; B; C; D situate in acelasi plan. Numim patrulater, notat ABCD, figura geometrica formata din reuniunea segmentelor [AB]; [BC]; [CD]; [DA]; astfel incat:

  • oricare trei dintre punctele A; B; C; D sunt necoliniare;
  • oricare doua dintre segmentele [AB]; [BC]; [CD]; [DA] sunt disjuncte.

Matematica Capacitate Patrulaterul 11

Definitii
  • Interiorul unui patrulater convex ABCD; notat Int(ABCD); este multimea punctelor din plan formata prin intersectia semiplanelor (AB; C; (BC; D; (CD; A; (DA; B.
  • Spunem ca un patrulater este convex daca oricare ar fi doua puncte din interiorul sau, segmentul care le uneste este inclus in interiorul patrulaterului.
  • Daca exista doua puncte in interiorul patrulaterului astfel incat segmentul care le uneste nu este inclus in interiorul sau, apunem ca patrulaterul este concav.
  • Punctele unui patrulater convex ABCD impreuna cu punctele din interiorul patrulaterului formeaza o suprafata patrulatera convexa, notata cu [ABCD].
Observatii
  • Observatia 1. Fiecarei suprafete patrulatere convexe [ABCD] i se asociaza un unic numar pozitiv numit arie si notat aria[ABCD] sau AABCD Prin abuz de limbaj, vom mai folosi si denumirea de arie a unui patrulater convex.
  • Observatia 2. Fiind dat un patrulater ABCD; cel putin una dintre diagonalele sale, sa zicem [AC] are proprietatea ca determina cu laturile patrulaterului doua triunghiuri cu interioarele disjuncte: ACB si ACD: Prin urmare, putem defini suprafata patrulatera [ABCD] ca fiind reuniunea suprafetelor triunghiulare ce o compun: [ABCD] = [ACB] ∪ [ACD]. Mai mult, aria unei suprafete patrulatere se poate scrie ca suma ariilor suprafetelor triunghiulare ce o compun.
  • Teorema. Suma masurilor unghiurilor unui patrulater convex este egala cu 360°.
  • Definitie. Un unghi adiacent ¸si suplementar cu un unghi al unui patrulater convex se numeste unghi exterior al patrulaterului.
  • Fiecare patrulater convex are 8 unghiuri exterioare (cate doua unghiuri opuse la varf, deci congruente, pentru fiecare varf al patrulaterului).
  • Patrulaterul convex cu diagonalele perpendiculare se numeste patrulater ortodiagonal.

Cercul

Cercul = Cercul cu centrul in O si de raza r este multimea tuturor punctelor din plan situate la distanta r fata de O. Se noteaza C(O,r).

Matematica Capacitate Cercul 12

Definitii ale elementelor cercului
  • Distanta care uneste centrul cercului cu circumferinta se numeste raza cercului, r. ([OA])
  • Daca M si N sunt doua puncte ale unui cerc, segmentul [MN] se numeste coarda.
  • O coarda ce contine centrul cercului se numeste diametru. ([AB])
  • Cercurile care au raze egale se numesc cercuri congruente.
  • Daca doua cercuri au acelasi centru si aceeasi raza, coincid.
  • Cercurile care au acelasi centru se numesc cercuri concentrice.
  • Fiind dat cercul C(O,r), multimea punctelor M din plan pentru care OM < r se numeste interiorul cercului si se noteaza: IntC(O,r).
  • Multimea punctelor N din plan pentru care ON > r, se numeste exteriorul cercului si se noteaza: ExtC(O,r).
  • Se numeste disc de centru O si raza r, r >0, multimea C(O,r)IntC(O,r) si se noteaza D(O,r).
Propozitii
  • Fiind date doua puncte distincte A si B, exista o infinitate de cercuri ce contin punctele A si B .
  • Oricare trei puncte distincte ale unui cerc sunt necoliniare.
  • Un unghi care are varful in centrul cercului se numeste unghi la centru. (ex. ∢AOC) si are ca marime masura arcului cuprins intre laturi.
  • Multimea punctelor de pe cerc situate in interiorul unghiului ∢AOC reunite cu A si C se numeste arc mic si se noteaza \inline \fn_jvn \large (\widehat{AC}) .
  • Multimea punctelor de pe cerc situate in exteriorul unghiului ∢AOC, reunite cu A si C se numeste arc mare si noteaza \inline \fn_jvn \large (\widehat{AMC}) , unde M∉Int ∢AOC .
  • Punctele A si C se numesc capetele arcelor.
  • Daca A si B sunt capetele unui diametru, arcele se numesc semicercuri.
  • Masura arcului mic este egala cu m(∢AOC) ; masura arcului mare este egala cu 360°-m(∢AOC) ; masura unui semicerc este 180°.
  • Teorema 1: La arce congruente corespund coarde congruente (in acelasi cerc sau in cercuri congruente). Reciproca: La coarde congruente corespund arce mici congruente (in acelasi cerc sau in cercuri congruente).

Matematica Capacitate Cercul 13

Teorema 2: Daca A si B sunt doua puncte distincte ale unui cerc, atunci diametrul perpendicular pe coarda AB imparte coarda si arcele in doua parti congruente.
Teorema 3: Daca doua coarde ale unui cerc sunt congruente, atunci distantele de la centru la coarde sunt egale.
Teorema 4: Daca A si B sunt doua puncte distincte ale unui cerc si punctul M apartine arcului determinat de ele, atunci masura arcului \inline \fn_jvn \large \widehat{AB} este egala cu masura arcului \inline \fn_jvn \large \widehat{AM} plus masura arcului \fn_jvn \large \widehat{MC}.

Matematica Capacitate Cercul 14

Teorema 5: Daca [AB] si [CD] sunt doua coarde paralele ale unui cerc, iar punctele A si C sunt situate de aceeasi parte a diametrului perpendicular pe coarde atunci: arcele mici \inline \fn_jvn \large \widehat{AC} si \inline \fn_jvn \large \widehat{BD} sunt congruente; coardele AC si BD sunt congruente.

Cercuri si alte figuri geometrice

Pozitiile relative ale unei drepte fata de un cerc

Matematica Capacitate Cercul 15

  • Dreapta secanta fata de un cerc este dreapta care are doua puncte comune cu cercul: A si B.
  • Dreapta tangenta la cerc este dreapta care are un singur punct comun cu cercul: C. Dreapta tangenta la cerc este perpendiculara pe raza in punctul de intersectie al ei cu cercul. Raza trasata in punctul de tagenta este perpendiculara pe tangenta.
  • Dreapta exterioara cercului este dreapta care nu are puncte comune cu cercul.

Unghi inscris in cerc

Matematica Capacitate Cercul 16

  • Unghiul ∢ABC se numeste unghi inscris in cercul C(O, r) daca A, B, C ∈ C(O, r).
  • Unghiurile ∢ABC, ∢MNP, ∢STU sunt unghiuri inscrise in cerc, iar arcele mici \inline \fn_jvn \large \widehat{AC}, \widehat{MP} si \inline \fn_jvn \large \widehat{SU} sunt arce cuprinse intre laturile unghiurilor inscrise.
  • Spunem ca triunghiul ∆ABC este inscris in cerc daca varfurile sale apartin cercului.
  • Teorema 1: Masura unui unghi inscris in cerc este jumatate din masura arcului cuprins intre laturile sale.
  • Teorema 2: Masura unui unghi cu varful pe cerc, avand una din laturi secanta, iar cealalta latura tangenta cercului (fig.1), este jumatate din masura arcului de cerc inclus in interiorul unghiului.

Matematica Capacitate Cercul 17

  • Unghiul cu varful in interiorul cercului (fig.2), ∢NMP, (care este congruent cu ∢SMT fiind unghiuri opuse la varf) are ca masura jumatate din suma masurilor arcelor cuprinse intre laturile sale.  m(∢NMP)= \inline \fn_jvn \large \frac{\widehat{NP}+\widehat{TS}}{2} 
  • Unghiul cu varful in exteriorul cercului (fig.3), ∢EGI, are ca masura jumatate din diferenta arcelor cuprinse intre laturile sale. m(∢EGI)= \inline \fn_jvn \large \frac{\widehat{EI}-\widehat{FH}}{2} 

Pozitiile relative a doua cercuri

Cercurile exterioare sunt cercurile care nu au nici un punct comun si sunt exterioare. Distanta dintre centrele lor este mai mare decat suma razelor lor. d > r1 + r2

Matematica Capacitate Cercul 18

Cercurile interioare nu au nici un punct comun si sunt interioare. Distanta intre centrele lor este mai mica decat diferenta razelor lor. d < R – r

Matematica Capacitate Cercul 19

Cercurile tangente exterior sunt cercurile exterioare care se intersecteaza intr-un singur punct si au o tangenta comuna. Distanta dintre centrele lor este egala cu suma razelor.  d = R + r

Matematica Capacitate Cercul 20

Cercurile tangente interior sunt cercurile interioare care se interseaza intr-un singur punct si au o tangenta comuna. Distanta dintre centrele lor este egala cu diferenta razelor. d = R – r

Matematica Capacitate Cercul 21

Cercurile concentrice au acelasi centru si marimile razelor lor sunt diferite.

Matematica Capacitate Cercul 22

Cercurile secante sunt cercurile care au in comun doua puncte. Distanta intre ele este mai mare decat diferenta razelor si mai mica decat suma acestora. R – r < d < R + r

Matematica Capacitate Cercul 23

Teorema: Prin orice punct exterior unui cerc trec doua drepte tangente la cerc.

Teorema: Tangentele duse dintr-un punct exterior unui cerc sunt congruente.

Matematica Capacitate Cercul 24

Lungimea cercului si aria discului

  • Valoarea raportului dintre lungimea unui cerc si lungimea diametrului sau se noteaza cu \inline \fn_jvn \large \pi. Acesta este un numar irational pe care il aproximam cu 3,14.
  • Lungimea cercului este deci: L=2\inline \fn_jvn \large \pir
  • Pentru calcului lungimii unui arc de cerc se foloseste regula de trei simpla admitand ca lungimea arcului este direct proportionala cu masura arcului.
  • Aria unui cerc de raza r se calculeaza cu formula: A= \inline \fn_jvn \large \pir2.
  • Se numeste sector de cerc o portiune din interiorul unui cerc cuprinsa intre doua raze.
  • Fiecarui sector de cerc ii corespunde un arc pe cerc.
  • Pentru calculul ariei sectorului de cerc, se foloseste regula de trei simpla, aria sectorului fiind proportionala cu masura arcului.

Poligoane regulate

  • Un poligon convex cu toate laturile si toate unghiurile congruente se numeste poligon regulat. Orice poligon regulat se poate inscrie intr-un cerc.
  • Segmentul dus din centrul cercului circumscris unui poligon regulat, perpendicular pe latura poligonului, se numeste apotema.
  • Daca printr-un procedeu oarecare impartim cercul in n arce congruente, si unim succesiv punctele de diviziune, obtinem un poligon cu n laturi congruente.
  • Laturile sunt congruente deoarece obtinem arce de cerc de aceeasi masura: (360°)/n (masura unghiului la centru corespunzator)
  • Unghiurile poligonului sunt unghiuri inscrise in cerc care cuprind intre laturi arce de masura: \inline \fn_jvn \large \frac{180^{\circ}}{n}\cdot (n-2) .

Matematica Capacitate Cercul 25

Drepte paralele

Drepte paralele = doua drepte coplanare distincte, care nu au nici un punct comun. In figura de mai jos a∥b.

Matematica Capacitate Drepte paralele 26

Proprietățile dreptelor paralele
  • Daca a∥b si c intersecteaza cele doua drepte, c se numeste secanta.
  • Unghiurile care se formeaza sunt:
  • Alterne interne – perechi de unghiuri interioare dreptelor taiate de secanta si aflate de o parte si de alta a secantei:
  • ∢A3  si ∢B3; ∢A2  si ∢B2  
  • in cazul dreptelor paralele unghiurile alterne interne sunt congruente: ∢A3 ≡ ∢B3; ∢A2 ≡ ∢B2
  • Alterne externe – perechi de unghiuri exterioare dreptelor taiate de secanta si aflate de o parte si de alta a secantei ∢A1  si ∢B1; ∢A4 si ∢B4  
  • in cazul dreptelor paralele unghiurile alterne externe sunt congruente: ∢A1 ≡ ∢B1; ∢A4 ≡ ∢B4
  • Corespondente – perechile de unghiuri aflate unul in interiorul uneia dintre drepte si altul in exteriorul celeilalte, de aceeasi parte a secantei ∢A1 si ∢B3; ∢A3  si ∢B1; ∢A4 si ∢B2; ∢A2 si ∢B4
  • in cazul dreptelor paralele unghiurile corespondente sunt congruente:∢A1 ≡ ∢B3; ∢A3 ≡∢B1; ∢A4 ≡∢B2; ∢A2 ≡∢B4
  • Interne de aceeasi parte a secantei ∢A2 si ∢B3; ∢Asi ∢B2 acestea fiind suplementare m(∢A2) + m(∢B3)=180°; m(∢A3) + m(∢B2)=180°
  • Externe de aceeasi parte a secantei ∢A2 si ∢B3; ∢A3 si ∢B2  aceste fiind suplementare m(∢A1) + m(∢B4)=180°; m(∢A4) + m(∢B1)=180°
  • Teorema: daca doua drepte taiate de o secanta determina o pereche de unghiuri alterne interne congruente, atunci fiecare pereche de unghiuri alterne interne, alterne externe si corespondente sunt congrunete iar dreptele sunt paralele.
  • Doua drepte paralele intersectate de alte doua drepte parelele, determina segmente congruente.

Matematica Capacitate Drepte paralele 27