Aria unui triunghi

Definitie. Prin aria unui triunghi intelegem jumatate din produsul dintre o latura a triunghiului si inaltimea corespunzatoare acelei laturi. Cu alte cuvinte aria unui triunghi este egala cu jumatate din produsul dintre “baza” si “inaltime”.

Aria triunghiului ABC o vom nota cu SABC.

Matematica Capacitate Aria unui triunghi 1

Avem trei posibilitati de a calcula aria unui triunghi dat, corespunzatoare celor trei laturi ale sale, si nu stim dinainte ca toate trei conduc la acelasi rezultat. Ar fi trebuit deci sa demonstram, inainte de a da definitia de mai sus, o teorema, al carei enunt il puteti usor deduce.

Teorema asupra puterii punctului aparuse ca o teorema importanta; din ea am dedus teorema lui Pitagora. Teorema ce va trebui s-o demonstram aici, desi “de neinlocuit” in acest paragraf, nu apare ca o teorema atat de importanta in alte capitole incat sa merite sa fie pusa in rand cu teorema lui Thales, cea a lui Pitagora etc. O astfel de teorema se numeste “lema”: deci prin lema vom intelege tot o teorema, insa care are numai rol ajutator.

Istoria matematicii cunoaste insa exemple in care o “umila lema” a sfarsit prin a deveni mai celebra decat teoreme demonstrate pe baza ei.

Lema. Intr-un triunghi, produsul dintre o latura si inaltimea corespunzatoare ei este aceeasi pentru toate cele trei laturi (altfel spus, definitia precedenta este corecta).

Matematica Capacitate Aria unui triunghi 2

Ipoteza: AD⊥BC,BE⊥AC (fig.2.4)

Concluzie: AD∙BC=BE∙AC

Demonstratie. ∆ACD∼∆BCE, conform cazului 2 de asemanare, deoarece m(∢ADC)=90°=m(∢BEC) si ∢C≡∢C. Rezulta \frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BE}, de unde obtinem, scriind ca produsul mezilor este egal cu cel al extremilor, relatia din concluzie.

Observatie. Aria unui triunghi depinde de unitatea de masura aleasa pentru lungimi. Daca inlocuim aceasta unitate cu alta, de k ori mai lunga decat prima, atunci lungimile tuturor segmentelor se impart cu k, iar toate ariile triunghiurilor devin de k2 ori mai mici.

Teorema. (proprietate de aditivitate pentru arii). Daca D este un punct din interiorul laturii BC a unui triunghi ABC, atunci SABC = SABD + SACD (fig.2.5).

Matematica Capacitate Aria unui triunghi 3

Demonstratie. Sa consideram inaltimea AH. Avem

S_{ABC}=\frac{BC\cdot A H}{2}= \frac{(BD+DC)\cdot A H}{2}= \frac{BD\cdot A H}{2}+\frac{DC\cdot A H}{2}= S_{ABD}+S_{ACD}

Observatie. Enuntul “proprietatii generale de aditivitate” este complicat si nu il vom folosi. In problemele de mai jos, vom indica alte expresii ale acestei proprietati; in paragraful urmator vor aparea de asemenea alte proprietati carora li se potriveste acest titlu.

In incheierea acestui paragraf, sa aratam cum teoremele demonstrate aici, desi simple, permit scurtarea rezolvarii unor probleme.

Problema rezolvata. Sa se demonstreze ca suma distantelor unui punct din interiorul bazei unui triunghi isoscel la cele doua laturi congruente este constanta.

Matematica Capacitate Aria unui triunghi 4

Ipoteza: DE⊥AB,DF⊥AC,AB≡AC

Concluzia:DE+DF=… (constant)

Demonstratie. Conform teoriei de aditivitate S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}, deci S_{ABC}=\frac{AB\cdot D E}{2}+\frac{AC\cdot D F}{2}=\frac{AB\cdot(DE+DF)}{2}. Obtinem DE+DF=\frac{2\cdot S_{ABC}}{AB}, deci este aceeasi pentru toate pozitiile lui D in interiorul segmentului BC.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.