Aria unui patrulater

Inainte de a o defini vom avea nevoie de o lema.

Lema. Fie ABCD un patrulater convex. Atunci {\color{Blue} S_{ABC}+S_{ADC}=S_{BCD}+S_{ABD}}  (fig. 2.7).

Matematica Capacitate Aria unui patrulater 1

Demonstratie. Sa notam cu O intersectia diagonalelor patrulaterului. Conform proprietatii de aditivitate acem:

S_{ABC}+S_{ADC}= S_{AOB}+S_{BOC}+S_{DOA}+S_{COD}=

 (S_{BOC}+S_{COD})+(S_{AOB}+S_{DOA})= S_{BCD}+S_{ABD}.

Definitie. Prin aria unui patrulater convex ABCD intelegem numarul S_{ABC}+S_{ADC} (vezi fig 2.7), notat cu {\color{Blue} S_{ABCD}}.

Observatie. Problema corectitudinii acestei definitii rezolvata prin lema precedenta, apare datorita faptului ca am convenit sa consideram patrulaterul ABCD drept, tot una cu BCDA etc.

Inainte de a enunta teorema privind aria unui paralelorgram, sa reamintim ca daca avem doua drepte paralele a si b, (fig. 2.8), atunci distanta de la un punct A de pe a la dreapta b este aceeasi prentru toate punctele A∈a; ea se numeste “distanta de la a la b” si este tot una cu distanta de la b la a.

Matematica Capacitate Aria unui patrulater 2

Vom numi inaltime corespunzatoare unei laturi a unui paralelorgram, distanta intre acea latura si latura opusa.

Teorema. Aria unui paralelogram este egala cu produsul dintre o latura a sa si inaltimea curespunzatoare.

Matematica Capacitate Aria unui patrulater 3

Ipoteza: AB∥CD,AD∥BC;AA’⊥CD,CC’⊥AB

ConcluzieS_{ABCD}=CD\cdot AA\prime

Demonstratie. Avem AA\prime\equiv CC\prime conform proprietatilor distantei intre doua drepte paralele, AB, CD mentionate mai sus si AB\equiv CD (laturi opuse intr-un paralelogram). Obtinem

 S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD}= \frac{AB\cdot C C\prime}{2}+\frac{CD\cdot A A\prime}{2}= CD\cdot AA\prime.

Consecinta 1. Aria unui dreptunghi este egala cu produsul dintre lungimea si latimea sa.

Matematica Capacitate Aria unui patrulater 4

Consecinta 2. Aria unui patrat este egala cu patratul lungimii laturii sale.

Matematica Capacitate Aria unui patrulater 5

Teorema. Aria unui trapez este egala cu produsul dintre semisuma bazelor sale si inaltimea sa. (intelegand prin inaltime a unui trapez distanta intre baze).

Matematica Capacitate Aria unui patrulater 6

Ipoteza: AB∥CD,DD’⊥AB

Concluzie: S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot DD\prime

Demonstratie. Sa ducem si BB’⊥CD, B’ fiind situat pe dreapta CD. Avem BB’≡DD’ (distanta dintre dreptele paralele AB, CD). Obtinem S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}= \frac{AB\cdot D D^\prime}{2}+\frac{CD\cdot B B^\prime}{2}= \frac{(AB+CD)\cdot D D^\prime}{2}etc.

Observatie. In general aria unui poligon se defineste ca suma ariilor unor triunghiuri in care acesta “se descompune” (fig. 2.13).

Matematica Capacitate Aria unui patrulater 7

 

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.